汪志強(qiáng)，黃利華，李學(xué)斌

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢 430064)

齊次邊界條件下圓柱殼的自由振動(dòng)研究

汪志強(qiáng)，黃利華，李學(xué)斌

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢 430064)

基于 Flügge 彈性薄殼理論研究圓柱殼在齊次邊界條件下的自由振動(dòng)問(wèn)題。圓柱殼的自振頻率通過(guò)位移控制方程和邊界條件控制方程聯(lián)立求解獲得。引入一般形式的位移函數(shù)之后，位移控制方程能夠得到關(guān)于頻率和波數(shù)的頻散圖，聯(lián)合邊界條件后轉(zhuǎn)化為 8 階矩陣行列式的零點(diǎn)求解。討論自振頻率點(diǎn)在頻散曲線中的位置，給出純虛數(shù)曲線分支的含義。還討論精確解和常用梁方法的聯(lián)系，研究振型在 3 個(gè)頻率區(qū)域變化的情況。

圓柱殼；自由振動(dòng)；邊界條件；波傳播方法

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，它的動(dòng)態(tài)特性更是得到很多研究人員的持續(xù)關(guān)注[1]。對(duì)于圓柱殼的自由振動(dòng)問(wèn)題，通常的求解是基于位移方法，即根據(jù)圓柱殼的振動(dòng)控制方程，引入一般位移表達(dá)式，然后再依據(jù)邊界約束獲得頻率。對(duì)于圓柱殼沿長(zhǎng)度方向的位移表達(dá)形式大致可以分成兩類(lèi)，即帶指數(shù)項(xiàng)的精確表達(dá)式[2]和其他近似表達(dá)式（如梁函數(shù)[3]、多項(xiàng)式[4]等）。近似表達(dá)式僅僅能夠滿足某些邊界條件，這種近似實(shí)際上會(huì)帶來(lái)誤差。

本文基于 Flügge 彈性薄殼理論[5]，給出了自由振動(dòng)頻率和波數(shù)的精確解形式，并針對(duì)齊次邊界條件推導(dǎo)了控制方程。通過(guò)聯(lián)立振動(dòng)控制方程和邊界約束方程獲得頻率之后，本文再進(jìn)一步研究了邊界條件和頻散曲線之間的關(guān)系，找出了頻率-波數(shù)點(diǎn)在頻散曲線上的位置。對(duì)于面內(nèi) 2 種振動(dòng)（軸向?yàn)橹鳌h(huán)向?yàn)橹鳎?duì)應(yīng)的高階頻率也進(jìn)行了探討。通過(guò)行列式曲線以及頻散曲線研究了截止（起始）頻率的 3 個(gè)區(qū)域，以及圓柱殼振動(dòng)方式和這 3 個(gè)頻率段的關(guān)系。

1 理論分析

圖1 給出了本文討論的圓柱殼模型。殼體長(zhǎng)度L，中面半徑R，厚度h。各向同性材料，彈性模量E，泊松比v，剪切模量G，密度ρ。殼體中面在坐標(biāo)軸（x，φ，z）上位移分量分別為u，v和w（向內(nèi)為正）。

基于 Flügge 彈性薄殼理論[5]，圓柱殼的自由振動(dòng)方程可以表示為如下矩陣形式：

基于分離變量方法的思路，假設(shè)殼體振動(dòng)的中面位移函數(shù)形式為：

式中：U0，V0和W0為振幅；λ為軸向波數(shù)；n為周向波數(shù)；ω為振動(dòng)圓頻率（1/s）。將式（2）代入式（1），可以得到如下矩陣形式的控制方程：

其中方程（3）存在非零解的條件是系數(shù)行列式等于 0 ，即

式（4）即為圓柱殼自由振動(dòng)的控制方程。該方程是關(guān)于圓柱殼幾何參數(shù)以及材料參數(shù)的特征方程。該方程是關(guān)于軸向波數(shù)λ的 8 次方程或者頻率ω的 6 次代數(shù)方程。

式中g(shù)i（i= 0，2，4，6，8），bj（j= 0，2，4，6）為方程的系數(shù)。

設(shè)定圓柱殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)，并假設(shè)環(huán)向振動(dòng)波數(shù)n之后，方程（4）中未知數(shù)為軸向波數(shù)λ和頻率ω。

求解方程（5）可得到的 8 個(gè)精確解，這里簡(jiǎn)寫(xiě)為：

式中ai（i= 1～9）為參數(shù)。

方程（6）的 3 個(gè)根表示為：

式中ji（i= 1～5）為參數(shù)。

本文討論圓柱殼的齊次邊界條件，端部（x= 0，L）的邊界條件包括位移和轉(zhuǎn)角約束以及力、力矩約束[1]，即

將式（2）代入式（9）得到未知數(shù)軸向波數(shù)λ和頻率ω的邊界控制方程。

聯(lián)立邊界控制方程（9）和方程（4）就能求解齊次邊界下圓柱殼的振動(dòng)頻率。先依據(jù)式（7）得到 8 個(gè)根，分別求出振型。

根據(jù)式（10）的振型，改寫(xiě)式（2）的位移函數(shù)并代入邊界條件（9），可以得到一個(gè)關(guān)于Wi的 8 階齊次方程組

令系數(shù)矩陣A的行列式等于 0，則

求得頻率ω。

式（12）是一個(gè)關(guān)于頻率的超越方程。通常采用“掃頻”方式求解，即設(shè)定一定的頻率范圍，依照一定的頻率步長(zhǎng)進(jìn)行掃頻計(jì)算。

2 數(shù)值算例和討論

本文討論圓柱殼在齊次邊界條件下的自振特性，數(shù)值算例的基本參數(shù)是：L= 0.4 m，R= 0.1 m，h= 0.004 m，E= 2.11 × 1011N/m2，v= 0.3，考慮了 3 種典型的邊界條件[1]，即薄膜簡(jiǎn)支 SD-SD（shear diaphragms），兩端固定 C-C（Clamped）和簡(jiǎn)支-固定（SD-C）。定義無(wú)量綱的頻率參數(shù)為：

表1 給出了 3 種邊界下的頻率計(jì)算值。表中m為圓柱殼在軸向形成的振型半波數(shù)。

圓柱殼的兩端共有 8 個(gè)邊界條件，根據(jù)式（9）能夠組合成 136 種邊界[1]。依據(jù)本文給出的算法計(jì)算過(guò)程稍顯復(fù)雜，計(jì)算量也比較大。在分離變量的求解過(guò)程中，很多研究在軸向不采用指數(shù)項(xiàng)eλx而是采用更簡(jiǎn)潔的一階或者多項(xiàng)式表達(dá)。在 1 階表達(dá)式中，最常用的就是梁的橫向振動(dòng)形式，即把梁的邊界條件近似作為圓柱殼的邊界條件。

圓柱殼的邊界條件（9）是關(guān)于波數(shù)λ和頻率ω兩個(gè)未知量的方程。通過(guò)引入梁邊界方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，式（9）就變成了僅僅關(guān)于波數(shù)λ的方程。這種簡(jiǎn)化過(guò)程實(shí)際上也是波傳播方法的主要思路[6-7]。與表 1 中 3 種邊界條件對(duì)應(yīng)，梁橫向振動(dòng)的邊界條件和頻率方程見(jiàn)表 2[8]：

如果不考慮邊界條件式（9），方程（4）所表示的方程實(shí)際上就是圓柱殼的頻散方程[7]。當(dāng)n= 2 時(shí)，波數(shù)λ和頻率參數(shù)Ω的圖形化顯示見(jiàn)圖 2。方程（4）有 8 個(gè)根，在圓柱殼的振動(dòng)范圍，它們的形式為：

表1 3 種邊界下的頻率參數(shù)Ω計(jì)算值Tab. 1 Frequency parameters，Ωfor 3 boundary conditions

表2 梁的邊界條件和頻率方程Tab. 2 Characteristic equations and roots for beam vibration

其中，λ1,λ2,λ3,λ4都是正的實(shí)數(shù)。圖 2 給出了波數(shù)的實(shí)數(shù)、虛數(shù)以及復(fù)數(shù)形式的變化情況。根據(jù)頻率的范圍不同，這些根的形式和數(shù)量都會(huì)變化（文末 3D 圖能清晰看出）。（a）和（a）′分支曲線表示純虛數(shù)解，即其數(shù)值是 ±λ2。

從理論分析可知，圓柱殼的頻率是通過(guò)式（4）和式（9）聯(lián)立求解。對(duì)于式（4）添加邊界條件約束式（9），那么頻率點(diǎn)就會(huì)限定在這張圖的某條分支曲線上。以SD-SD邊界為例，對(duì)于m= 1，2，3，n= 2 時(shí)的 3 個(gè)頻率分別為 0.118 4，0.331 9 和 0.525 6（參見(jiàn)表 1）。這3 個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的純虛數(shù)解 |λ2| = 7.855 4，15.706 9 和 23.563 4。式（9）是一個(gè)關(guān)于頻率和波數(shù)的超越方程，難以圖形化表達(dá)。這里借用波傳播法的思路，即利用表 2 確定圓柱殼的頻率。對(duì)于SD-SD邊界，將波數(shù)表達(dá)式 λL=mπ 代入式（4）求解得到前 3 階頻率為0.118 4，0.331 9 和 0.525 6，與精確解相同。圖 3 給出了圖 2 的局部（下半部，|imag（λ）|＜30），并且在左側(cè)還給出了簡(jiǎn)支邊界條件下梁的振型示意圖?？紤]前3 階模態(tài)，從梁的橫向振型波數(shù)點(diǎn)λL=π,2π,3π可以得到對(duì)應(yīng)的波數(shù)分別為 λBeam= 7.854 0，15.707 9和 23.561 9。通過(guò)梁的方法得到的 λBeam和圓柱殼的|λ2|非常接近。由此分析可知，圓柱殼的自振頻率點(diǎn)位于頻散圖純虛數(shù)那支曲線上（圖 2 的（a）,（a）’曲線）。從振動(dòng)范圍考慮，其他波數(shù)解是方程（4）的增根。

以不同邊界下梁的波數(shù)節(jié)點(diǎn)畫(huà)水平線和頻散圖（a）曲線相交，就能夠得到圓柱殼的頻率，而這也正是波傳播法的求解思路。需要注意的是，這種用梁邊界代替圓柱殼的邊界會(huì)帶來(lái)誤差，例如，對(duì)于C-C邊界，類(lèi)似的結(jié)果見(jiàn)圖 4。從圖 4 可以看出，連接梁的波數(shù)節(jié)點(diǎn)和圓柱殼的頻率點(diǎn)的線段已經(jīng)不平行于橫軸。如果用平行線和圓柱殼的（a）分支相交（即波傳播方法），則得到的頻率就會(huì)有較大誤差。前 3 階模態(tài)基于梁邊界得到的波數(shù) λBeam= 11.825，19.632 5 和27.490 0，而精確解得到的波數(shù) |λ2| = 10.155 8，16.683 1和 24.130 7。采用波傳播方法，將 λBeam代入式（4）求解，得到的頻率分別為 0.223 6，0.434 7 和 0.603 0。這和精確解得到的頻率 0.177 6，0.358 4 和 0.537 6 已經(jīng)有較大的誤差。誤差和結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)以及振型（m，n）、邊界條件相關(guān)。經(jīng)過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，邊界約束越強(qiáng)，圓柱殼越短，則波傳播方法的誤差也越大[7]。在圖形上看出，連接梁的波數(shù)節(jié)點(diǎn)和圓柱殼頻率點(diǎn)線段的斜率也越大。圖 4 的左上角還給出了梁振型函數(shù)的全貌。

對(duì)于SD-C邊界，前 3 階頻率為 0.148 4，0.346 4和 0.531 6，對(duì)應(yīng)的純虛數(shù) |λ2| = 9.053 9，16.238 7 和 23.845 3，沿著x方向的形狀是eiλ2的虛部，見(jiàn)圖 5。圖中還給出了對(duì)應(yīng)梁的振動(dòng)模態(tài)。從圖中可以看出，在SD端圓柱殼模型和梁模型相差不大，而在固定邊界處振型相差較大。

圖6 給出了純虛數(shù)λ2解隨頻率變化的情況。根據(jù)前述分析，自振頻率點(diǎn)位于頻散圖的純虛數(shù)分支上。對(duì)于頻率的求解，實(shí)際上式（6）在不同的頻率區(qū)間可以降冪。隨著頻率逐漸增大，這個(gè)方程的次數(shù)可以是2，4 或者 6 次。注意到，圖中波數(shù)為零時(shí)曲線和頻率軸有 3 個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于n= 2，這 3 個(gè)頻率分別為 0.031 0，1.183 3 和 2.236 1。這 3 個(gè)點(diǎn)實(shí)際上是圓柱殼中傳播波的起始頻率 ?cut?on，也是對(duì)應(yīng)虛數(shù)波的截止頻率。這些頻率隨幾何參數(shù)以及模態(tài)變化。圖 7 給出了不同n值時(shí)的純虛數(shù)曲線。

當(dāng)波數(shù)為 0 ，3 個(gè)起始頻率通過(guò)式（8）和式（13）可以得到：

圖6和圖7 還可以和長(zhǎng)度待定方法聯(lián)系起來(lái)使用。即給定一個(gè)頻率（大于第 1 個(gè)起始頻率），總能夠找到與之對(duì)應(yīng)的至少 2 個(gè)波數(shù) λ（負(fù)數(shù)舍去），聯(lián)合邊界條件（參考圖 3 或者圖 4），由此波數(shù)可以求解得到殼體的長(zhǎng)度。這其實(shí)就是長(zhǎng)度待定方法的求解過(guò)程[10]，這種方法能夠用于圓柱殼的動(dòng)力設(shè)計(jì)。

本文是利用系數(shù)矩陣行列式進(jìn)行邊界條件的計(jì)算并判斷頻率點(diǎn)。式（12）中A是一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣。在實(shí)際的計(jì)算中，A的行列式并不真正等于 0。通常使用行列式的模值進(jìn)行頻率點(diǎn)的判斷。在掃頻過(guò)程中，模值曲線會(huì)出現(xiàn)很多的局部極小值點(diǎn)。對(duì)于這些極小點(diǎn)的數(shù)值需要仔細(xì)甄別。由于起始（截止）頻率的存在，低于首個(gè)起始頻率的點(diǎn)都不會(huì)是圓柱殼的自振頻率。圖 8 給出了一個(gè)SD-SD邊界算例。當(dāng)n= 8 時(shí)，模值曲線前 2 個(gè)極小值點(diǎn)用P1和P2表示，從頻散圖可以看出，P1點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 8 個(gè)復(fù)數(shù)解向?qū)崝?shù)、虛數(shù)解和復(fù)數(shù)解過(guò)渡，而P2點(diǎn)就對(duì)應(yīng)首個(gè)起始頻率，Ωp2= 0.902 2。從這個(gè)過(guò)程還可以看出，P1和P2點(diǎn)是和圓柱殼的邊界條件無(wú)關(guān)的，它只取決于殼體的幾何（不含邊界）與材料參數(shù)。

SD-SD邊界的近似梁函數(shù)表示中，經(jīng)常使用三角函數(shù)近似表示軸向位移，式（4）就是關(guān)于頻率Ω2的 3 次方程。根據(jù)振型判斷，最低頻率、中間頻率和最高頻率分別對(duì)應(yīng)著徑向位移分量w最大、軸向位移分量u最大、切向位移最大v而其他 2 個(gè)方向位移較小的運(yùn)動(dòng)[11]。本文使用的精確解解過(guò)程也能夠計(jì)算對(duì)應(yīng)軸向位移分量u和切向位移分量v為主的圓柱殼頻率。在圖 6和圖7 中，第 2 個(gè)和第 3 個(gè)起始頻率之后的純虛數(shù)分支，就分別代表了軸向位移u和切向位移v對(duì)應(yīng)的較高頻率分布。結(jié)合圖 3 和圖 6 的思路，可以求解這 2 種較高階頻率。仍舊以SD-SD邊界為例，圖 9給出了這樣的計(jì)算過(guò)程。從梁的振型結(jié)點(diǎn)過(guò)來(lái)的連接線（平行）對(duì)應(yīng)共有 9 個(gè)頻率點(diǎn)，這些點(diǎn)反映在系數(shù)矩陣行列式曲線上的情況如圖 10 所示。

從圖 10可看出，第1階起始頻率為 0.031，遠(yuǎn)小于環(huán)頻率（Ωring= 1）。在 [0.031，1] 頻率區(qū)間有很多的頻率點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)于徑向w為主的振型。軸向位移u為主的頻率出現(xiàn)在第 2 個(gè)起始頻率之后，切向位移v為主的頻率則出現(xiàn)在第 3 個(gè)起始頻率之后。圖中依照起始頻率給出了 3 個(gè)頻率范圍（Ⅰ 區(qū), Ⅱ 區(qū)和 Ⅲ區(qū)）。在 Ⅰ 區(qū)只有（a）分支，即這個(gè)區(qū)域內(nèi)的振動(dòng)均是對(duì)應(yīng)徑向位移較大的情況，這也就是通常圓柱殼振動(dòng)考慮的范圍（Ω＜1）。在區(qū)域 Ⅱ 內(nèi)，存在 2 條曲線（a）和（b），因此，會(huì)出現(xiàn)軸向位移u比較大的振型（曲線（b）），如m= 1，2，3 的軸向振型，也會(huì)出現(xiàn)高階對(duì)應(yīng)徑向位移w為主的振型（曲線（a）），例如m= 14 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 3 個(gè)頻率是 1.707 2，6.616 6 和11.181 3。在 Ⅲ 區(qū)域里，則 3 種振型會(huì)并存。圖中除了給出切向v為主的前3階頻率點(diǎn)，也給出了m= 18 時(shí)徑向振動(dòng)為主以及m= 6 時(shí)軸向振動(dòng)為主的頻率點(diǎn)。

為了更好理解頻散圖形對(duì)于求解頻率的理解，本文還給出了方程（4）的三維圖形。從圖中能夠清晰看出 8 個(gè)波數(shù)隨頻率的變化情況。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文采用精確解方法研究圓柱殼的自由振動(dòng)頻率特性。可以得到如下結(jié)論：

1）圓柱殼的所有齊次邊界條件的頻率點(diǎn)都存在于頻散曲線中的純虛數(shù)分支上。對(duì)于振動(dòng)而言，根據(jù)研究的頻率范圍，頻散曲線可以退化為 2，4 或者 6 次方程。

2）精確解方法能夠求解對(duì)應(yīng)的以軸向位移和切向位移為主的頻率，它們和高階徑向?yàn)橹鞯念l率交叉在一起。

3）圓柱殼自振存在著最低的起始頻率，這個(gè)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼的頻率。加上邊界約束之后的頻率均高于該起始頻率。

4）通常采用的梁橫向振動(dòng)振型和波傳播法得到的頻率均存在誤差。其中SD-SD的誤差非常小，可以忽略。邊界約束越強(qiáng)，殼體越短，則誤差越大。

[ 1 ]LEISSA A W. Vibration of Shells (NASA SP 288)[R]., 1993.

[ 2 ]FORSBERG K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of thin cylindrical shells[Z]. 1964: 2.

[ 3 ]DAI L, YANG T, DU J, et al. An exact series solution for the vibration analysis of cylindrical shells with arbitrary boundary conditions[J]. Applied Acoustics. 2013, 74: 440-449.

[ 4 ]SHARMA C B. Free vibrations of clamped-free circular cylinders[J]. Thin-Walled Structures. 1984, 2(1): 175-193.

[ 5 ]FLUGGE. Stresses in shells[M]. Springer: 1973.

[ 6 ]ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach[J]. Journal of Sound and Vibration. 2001, 239(3): 397-403.

[ 7 ]XUEBIN L. Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation[J]. Journal of Sound and Vibration. 2008, 311: 667-682.

[ 8 ]方同, 薛璞. 振動(dòng)理論及應(yīng)用[M]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 1998.

[ 9 ]陳正翔, 江松青, 張維衡. 圓柱殼中結(jié)構(gòu)振動(dòng)波的傳播特性[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào). 1998, 11(4): 450-456. CHEN Zheng-xiang JIANG Song-qing ZHANG Wei-heng. Dispersion characteristics of structure vibration waves in cylindrical shells[J].Journal of Vibration Engineering. 1998, 11(4): 450-456.

[10]WARBURTON G B. Vibration of thin cylindrical shells[Z]. 1965: 7, 399-407.

[11]ARNOLD R N, WARBURTION G B. Flexural vibrations of the walls of thin cylindrical shells having freely supported ends[Z]. 1949: 197.

Vibration analysis of circular cylindrical shells under arbitrary boundary conditions

WANG Zhi-qiang, HUANG Li-hua, LI Xue-bin
(Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430064, China)

The study of circular cylindrical shells under arbitrary boundary conditions is provided, based on Flügge thin shell theory. The frequency can be obtained from motion control equations and boundary condition equations. An exact displacement expression is used for analysis. The sweep frequency skill is utilized for finding the roots of corresponding equation which derived from those two characteristic equations. The zeros of this equation are the frequencies of shells depending on specific boundaries in both ends. The dispersions plots of shells are studied together with boundary conditions. From the analysis, the frequency-wave points are located on the purely imaginary part of dispersion plot for arbitrary boundary conditions. The main procedure of wave propagation approach is also discussed for vibrations of shells. The total frequency domain could be divided into 3 parts, which corresponding to 3 vibration types of shells. Numerical examples are provided in this paper for demonstration of present analysis procedure.

circular cylindrical shells；free vibration；boundary conditions；wave propagation approach

U661.44

A

1672 - 7619(2017)04 - 0024 - 06

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.04.005

2016 - 06 - 03；

2016 - 07 - 04

汪志強(qiáng)(1990 - )，男，碩士研究生，研究方向?yàn)闈撏ЫY(jié)構(gòu)振動(dòng)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化。