曹克凡

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。由此可見，幾何直觀對(duì)學(xué)生而言是一種有效的學(xué)習(xí)方法，對(duì)教師而言是一種有效的教學(xué)手段，它是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著舉足輕重的作用，有助于提高課堂教學(xué)效果。那么在數(shù)學(xué)課堂上，如何借助幾何直觀，來幫助學(xué)生自主探索呢？下面筆者結(jié)合教學(xué)，談一談具體的想法和做法。

借助幾何直觀，激活探究思路

幾何直觀可以將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，把數(shù)學(xué)推理過程變得直觀，讓學(xué)生展開形象思維。例如，教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”時(shí)，出示問題， 讓學(xué)生思考兩個(gè)圖形的面積相等嗎？學(xué)生首先憑借直觀感覺，進(jìn)行猜測(cè)。有的學(xué)生認(rèn)為一樣大，但又不太確定。怎么辦？在問題情境的驅(qū)使下，激發(fā)了學(xué)生產(chǎn)生自主探索的欲望，喚醒了學(xué)生原有認(rèn)知中的體驗(yàn)，主動(dòng)去尋求辦法，不知不覺地開始探究。同學(xué)們通過在圖上畫一畫，算一算，或動(dòng)手剪一剪、拼一拼等活動(dòng)，借助眼前圖形中可看見的東西，進(jìn)行思考和想象，經(jīng)過體驗(yàn)和嘗試，最終找到了切實(shí)可行的辦法，即通過把原來的兩個(gè)不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成長方形后，再比較面積的大小就變得簡單容易多了。在這個(gè)活動(dòng)過程中，不僅借助幾何圖形，發(fā)展了學(xué)生的空間想象力。同時(shí)，讓學(xué)生深切地感受到轉(zhuǎn)化策略在學(xué)習(xí)中的重要意義和價(jià)值。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)自始至終，學(xué)生是在借助幾何直觀來觀察、思考、分析、想象，在對(duì)比中不斷辨析，使得研究對(duì)象變得顯而易見，變?cè)緩?fù)雜而抽象的問題簡單化、形象化，有效助推了自己探索解決問題的思路，活躍了思維，打通了思路，活用了思想，直觀地理解了數(shù)學(xué)。

借助幾何直觀，激活探究方法

有些數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是外顯的、直觀的，還有很多數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是隱性的、抽象的，這是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。但是，這些抽象的對(duì)象是可以追溯其源頭的，它的源頭一定是具體的。在數(shù)學(xué)中，需要依托幾何直觀去想象和思考抽象的問題。所以，讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣，學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，運(yùn)用幾何直觀就可以借助于不受語言束縛的“心理圖像”，使探究方法活起來。例如，在教學(xué)“平均數(shù)”時(shí)，有這樣一道題：“李陽的期末考試成績單上的數(shù)學(xué)成績不小心被弄臟看不清了，你能幫助他算出數(shù)學(xué)得多少分嗎？”解答時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生畫出第二幅圖。

學(xué)生就能根據(jù)平均數(shù)的意義和圖形得出簡捷的解法：85+（3+4）=92（分）。由此可以看出，利用數(shù)形結(jié)合由數(shù)學(xué)問題的條件畫出圖形，運(yùn)用幾何直觀，可以使學(xué)生把抽象的算理形象化、直觀化，更有助于學(xué)生理解知識(shí)其內(nèi)部的因果聯(lián)系，讓探究方法活起來。

借助幾何直觀，激活探究過程

著名物理學(xué)家楊振寧說過：每一個(gè)物理模型都有一種幾何的表示，反之，每一種幾何都可以找到一個(gè)物理模型?？梢姡瑤缀沃庇^與“邏輯”“推理”密不可分，直觀是抽象的基礎(chǔ)，也是推理的基礎(chǔ)。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象，把數(shù)量關(guān)系的符號(hào)形式與幾何圖形形式有機(jī)結(jié)合，從而形成分析、研究、解決問題的數(shù)學(xué)思想和策略。這是數(shù)學(xué)非常重要的思維方式。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供典型的習(xí)題，善于“借題發(fā)揮”，有效激活學(xué)生探究活動(dòng)的過程。例如，教學(xué) “+++”時(shí)，學(xué)生首先想到可以先通分算出得數(shù)。但是，如果僅僅就此止步，這道題更多的“營養(yǎng)的成分”就流失，更重要的思維價(jià)值沒有被挖掘。可以激發(fā)學(xué)生：這道算式還隱藏著什么規(guī)律呢？學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)加數(shù)是，后面的每個(gè)數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的二分之一。然后，繼續(xù)追問：如果在這個(gè)算式的后面繼續(xù)寫下去，應(yīng)該是？如果仍然先通分再計(jì)算，方便嗎？學(xué)生搖頭并思考究竟有沒有更加簡捷的方法呢？進(jìn)而繼續(xù)引導(dǎo)：想一想，我們?cè)谘芯糠謹(jǐn)?shù)時(shí)，常常用圖形來表示分?jǐn)?shù)。如果用這個(gè)正方形表示單位“1”，你能表示出算式中的每一個(gè)分?jǐn)?shù)嗎？

學(xué)生在圖中涂色表示出每一部分的分?jǐn)?shù)后，進(jìn)一步觀察能否有什么新的發(fā)現(xiàn)？讓學(xué)生把數(shù)和圖形聯(lián)系起來，不斷觀察和感悟，最終會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形中的涂色部分就表示這4個(gè)分?jǐn)?shù)的和，用正方形減去空白部分，就是涂色部分。即1-=。這樣，將復(fù)雜的加法計(jì)算轉(zhuǎn)化成簡單的減法計(jì)算。在這個(gè)過程中，學(xué)生將數(shù)或算式跟圖形結(jié)合起來，激活了探究過程，體驗(yàn)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題的策略。

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師要善于借助幾何直觀，充分利用幾何直觀的價(jià)值，使分析思維和直覺思維互補(bǔ)互用，讓學(xué)生的自主探索活動(dòng)活起來。

（作者單位：江蘇省徐州市星光小學(xué)）