馮宇

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2017）04-0158-02

函數(shù)是貫穿高中代數(shù)知識(shí)的中樞命脈，如果對(duì)函數(shù)的感念，函數(shù)的思想沒有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)很難學(xué)好高中數(shù)學(xué)。函數(shù)的概念究其本質(zhì)就是自變量x和函數(shù)值y之間的一種代數(shù)關(guān)系式。給x一個(gè)值，代入到函數(shù)關(guān)系式中能夠得到唯一的一個(gè)y值，這個(gè)代數(shù)關(guān)系式我們稱為函數(shù)的解析式。從對(duì)應(yīng)的角度來談函數(shù)，函數(shù)就是定義域這個(gè)集合與值域這個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從定義域到值域只許一對(duì)一，多對(duì)一，不允許一對(duì)多，這與函數(shù)的定義相吻合。這種特殊的關(guān)系在高中代數(shù)領(lǐng)域無處不在，只要你細(xì)心去思考，從函數(shù)角度理解一些代數(shù)關(guān)系就會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的知識(shí)可以解決很多問題，在各種題中很多關(guān)系都可以認(rèn)為是函數(shù)關(guān)系。

所謂的高中解題的函數(shù)思想，就是利用函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的定義域·值域·單調(diào)性·奇偶性·對(duì)稱性·周期性等解題技巧解決函數(shù)，非函數(shù)的問題，關(guān)鍵是你得從函數(shù)的角度來看待問題。數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+（或它的有限子集﹛1，2，3，…，n﹜）為定義域的函數(shù)：an=f（n）。

當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。因此函數(shù)的一些解題技巧都可以巧妙的利用到數(shù)列上。

1.數(shù)列也有圖像

數(shù)列作為一個(gè)特殊的函數(shù)也有自己的圖像，它的圖像就是分布在和它所對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)的光滑曲線上的離散的點(diǎn)。

例如：數(shù)列an=n+2 它的圖像就是分布在y=x+2這個(gè)一元一次函數(shù)圖像上的離散的點(diǎn)：

2.很多一元二次函數(shù)的運(yùn)算技巧都可以應(yīng)用到數(shù)列上

例如：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-7n+6，在此數(shù)列中有多少項(xiàng)為負(fù)數(shù)？

此題就是利用一元二次不等式的解法來解決數(shù)列問題的簡單實(shí)例。

由n2-7n+6<0得1

Qan=（n-72）2-254，∴對(duì)稱軸方程為n=72=3.5，Qn∈N+，故n=3或4時(shí)，數(shù)列有最小值，最小值為32-7×3+6=-6。

這樣一元二次函數(shù)的解題技巧就很巧妙的應(yīng)用到數(shù)列身上了。我們也可以利用一元二次函數(shù)圖像的知識(shí)解答此題，此數(shù)列的圖像是分布在y=x2-7x+6這個(gè)拋物線上的離散的點(diǎn)：

如圖所示，n=3和n=4這兩個(gè)點(diǎn)距離中軸一樣遠(yuǎn)，所以它倆同為整個(gè)圖像的最低點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)處同時(shí)產(chǎn)生數(shù)列的最小值。圖像也顯示出n=2，3，4，5點(diǎn)處都在x軸的下方，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)值都為負(fù)，這和我們之前所得到的結(jié)果相吻合。有效的利用函數(shù)的圖像可以幫我們解決很多數(shù)列的問題。

3.其它初等函數(shù)的運(yùn)算技巧也可以應(yīng)用到數(shù)列上

例如：已知數(shù)列an=n-2016n-2015求an的最大值。

此題我們單純的運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)靠代數(shù)的邏輯推理變形去做也可以。但是，不僅麻煩而且解法過于偏狹，只適用于此題。如果利用函數(shù)的思想，配以函數(shù)圖像變換的方法去做就顯得思路清晰好懂，而且讓學(xué)生從中得到啟示可以將函數(shù)的思想運(yùn)用到其它數(shù)列題中，既理解了函數(shù)，又理解了數(shù)列，同時(shí)又復(fù)習(xí)了函數(shù)圖像變換的解題技巧。

我們先將此數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行變形：

an=n-2016n-2015=n-2015-1n-2015=1-1n-2015

此數(shù)列的圖像相當(dāng)于分布在函數(shù)f（x）=1-1x-2015上的離散的整數(shù)點(diǎn)。f（x）的圖像是由初等函數(shù)g（x）=1x的圖像先向右移動(dòng)2015個(gè)單位，再關(guān)于x軸翻折，最后向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的雙曲線：

如圖可以看到，n是取不到2015的，那么離n=2015最近的兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)是n=2014產(chǎn)生了最大值點(diǎn)，一個(gè)是n=2016產(chǎn)生了最小值點(diǎn)。所以當(dāng)n=2014時(shí)，數(shù)列有最大值。

這種方法形象直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)性。

還有很多數(shù)列題可以用函數(shù)的方法解決，尤其是函數(shù)的圖像更能幫助我們解決數(shù)列中抽象難于理解的問題，在這里我們就不一一列舉了。

任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征，因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)。因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁。揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地求解數(shù)列問題。

如果我們面對(duì)每一道數(shù)列題時(shí)，都能從函數(shù)的角度去分析，去思考，讓數(shù)列綻放函數(shù)的光彩，那會(huì)將我們的數(shù)學(xué)思維提高到一個(gè)更高的境界，解題更加迅速和快捷。