朱其明　費為銀　費晨

摘要

闡述了私募股權(quán)投資的估值問題.首先簡要介紹了投資組合問題的發(fā)展歷史與研究成果.接著較為詳細地論述了私募股權(quán)投資的估值問題的研究現(xiàn)狀，包括有限合伙人的投資組合選擇，以及對投資企業(yè)的價值評估體系和評估方法的研究，并給出了所要研究的模型，即含有未支撐風(fēng)險的私募股權(quán)投資模型.最后給出所要研究模型在通脹環(huán)境、Knight不確定環(huán)境下以及跳擴散環(huán)境下的拓展框架.關(guān)鍵詞投資組合；私募股權(quán)投資；隨機分析；通貨膨脹；Knight不確定；跳風(fēng)險

中圖分類號O21163；F8309

文獻標(biāo)志碼A

0引言

隨著人們理財意識的增強，越來越多的人會將手中的資金用于投資，以獲得更高的收益.而為了分散風(fēng)險保障投資者的利益，投資一般都遵循投資組合的原則，通俗地說，即“不能把所有雞蛋放在同一個籃子里”.一般投資者由于市場信息、專業(yè)知識以及操作水平的缺失，往往會造成投資策略的失誤，從而未獲得較好的投資收益，于是促成了投資基金的產(chǎn)生.即投資者將自己的資金放在投資基金中，由專業(yè)的基金管理者進行投資，使得投資者獲得相應(yīng)的收益，同時投資者支付基金管理者相應(yīng)的報酬.目前存在的投資基金包括共同基金、對沖基金和私募股權(quán)投資基金等.本文主要探討私募股權(quán)投資估值問題的研究進展.

1952年，Markovitz[1]最早提出投資組合理論，指出投資者在進行投資時的期望收益往往與實際收益存在一定的差別，而這一部分差別便是由投資所存在的風(fēng)險造成的.他用方差來刻畫風(fēng)險，提出了均值方差模型，為近現(xiàn)代金融學(xué)研究投資組合選擇問題奠定了基礎(chǔ).Tobin[2]研究了風(fēng)險行為的流動性偏好.Modigliani等[3]提出了著名的MM理論，其中蘊含了重要的無套利均衡思想.后來很多學(xué)者在這個思想的基礎(chǔ)上加以應(yīng)用和發(fā)展.Sharpe[4]在投資組合理論的基礎(chǔ)上，得出相對簡化的計算方法，提出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM），研究了市場上均衡價格形成的原因，以及證券市場上資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險資產(chǎn)之間的關(guān)系.利用此模型，可以解決資產(chǎn)估值和計算資金成本預(yù)算等問題，是現(xiàn)代金融市場中價格理論的核心支柱，被廣泛應(yīng)用于理財和投資決策等領(lǐng)域.Lintner[5]研究了風(fēng)險資產(chǎn)的價值，在股票上的風(fēng)險投資組合選擇和資本預(yù)算問題，解決了風(fēng)險厭惡投資者的最優(yōu)證券投資組合選擇問題，并將其應(yīng)用于計算一家在市場上有股票交易公司的資本預(yù)算上.然而之前的研究都是相對于單一投資期而言的，Samuelson[6]將模型推廣到了多期情形，利用隨機動態(tài)規(guī)劃方法，研究了投資者終身的消費和投資組合決策問題.Merton[7]研究了在連續(xù)時間模型下的最優(yōu)消費和投資組合問題.隨著Merton模型的出現(xiàn)，國內(nèi)外大批學(xué)者在此模型基礎(chǔ)上對投資組合和消費問題做了進一步研究，并得出了較好的成果.

一般投資者在投資過程中總會遇到各種各樣的風(fēng)險，且缺乏專業(yè)的知識及操作手段，往往會造成很大的損失.私募股權(quán)投資基金的出現(xiàn)有效地解決了這一問題，其不僅可以規(guī)避風(fēng)險，幫助投資者獲得較高的收益，同時可以幫助企業(yè)解決資金困難和發(fā)展瓶頸等問題.但由于私募股權(quán)投資具有高風(fēng)險、高收益和信息非公開的特性，投資者對私募股權(quán)投資的認識并不完整，且近年來私募股權(quán)投資在我國的發(fā)展迅速，因此對私募股權(quán)投資的研究具有較為重要的意義.下面就私募股權(quán)投資的發(fā)展及研究現(xiàn)狀做進一步的闡述.

1私募股權(quán)投資的估值問題研究回顧

私募股權(quán)投資，簡稱PE，起源于美國.1976年，華爾街著名的投資銀行貝爾斯登（BSC）旗下3名投資銀行家抓住時機，合伙成立了一家新的投資公司：科爾伯格克拉維斯集團（KKR），專門從事并購業(yè)務(wù)，這是最早的私募股權(quán)投資公司.迄今，全球已有數(shù)萬家私募股權(quán)投資公司，KKR公司、凱雷投資集團和黑石集團都是其中的佼佼者.國外私募股權(quán)投資基金經(jīng)過40年的發(fā)展，成為僅次于銀行貸款和IPO的重要融資手段.私募股權(quán)投資通過私募基金對非上市公司進行權(quán)益性投資，組織形式可分為有限合伙制、公司制和信托制.國外80%的私募股權(quán)投資基金采用的是有限合伙制，即通過非公開的私募形式，由有限合伙人（投資者）拿出資金放入私募股權(quán)投資基金中，交由專業(yè)的普通合伙人（基金管理者）尋找具有發(fā)展?jié)摿Φ姆巧鲜泄具M行投資，并提供專業(yè)技術(shù)幫助公司發(fā)展，為有限合伙人創(chuàng)造利益.而普通合伙人可獲得固定的管理費以及基于業(yè)績表現(xiàn)的激勵費.廣義的私募股權(quán)投資包含被投資企業(yè)首次公開發(fā)行股票前各階段所進行的權(quán)益投資，即投資者對處于萌芽期、初始期、發(fā)展期、拓展期、成熟期以及PreIPO各個時期企業(yè)進行的投資.相關(guān)資本按照投資階段可分為創(chuàng)業(yè)投資、發(fā)展資本、并購基金、夾層資本、重振資本、 PreIPO資本以及其他如上市后私募投資、不良債權(quán)和不動產(chǎn)投資等.

人們對私募股權(quán)投資的認識往往存在一定的誤區(qū)，例如認為私募股權(quán)投資與對沖基金是同一概念，然而實際上它們之間存在一定的區(qū)別.雖然它們都是通過私募形式募集資金，且具有非公開、高收益的共性，但私募股權(quán)投資主要投資于未上市的公司等一級市場，而對沖基金主要是通過各種交易手段在二級市場上通過空買空賣的交易操作來獲利.因此對私募股權(quán)投資的理論研究至關(guān)重要.下面闡述國內(nèi)外學(xué)者對私募股權(quán)投資估值問題的研究進展.

2010年，Metrick等[8]利用1993—2006年間238個私募股權(quán)投資基金記錄數(shù)據(jù)分析了私募股權(quán)投資行業(yè)的經(jīng)濟學(xué)意義，建立了關(guān)于基金管理者期望收益的模型，發(fā)現(xiàn)在樣本基金中，管理者的收益中固定管理費占2/3.2011年，Metrick等[9]繼續(xù)研究了創(chuàng)業(yè)投資和其他階段的私募股權(quán)投資，定義了私募股權(quán)投資的理論范疇，并就私募股權(quán)投資所具有的存在性、管理者所做的工作與收益以及管理報酬合約的簽訂等問題做出了系統(tǒng)的回答，最后指出私募股權(quán)與其他資產(chǎn)集的不同主要在于信息的不對稱以及流動性不足.

國內(nèi)外學(xué)者在研究私募股權(quán)投資的業(yè)績表現(xiàn)時，通常會全面研究各個投資階段的業(yè)績表現(xiàn)，從而得出更加合理的結(jié)果.Harris等[10]利用Burgiss數(shù)據(jù)，對美國近1 400個并購和創(chuàng)業(yè)投資基金數(shù)據(jù)的研究進行了分析，發(fā)現(xiàn)它們的業(yè)績一致好于公開市場上的投資.Kaplan等[11]從收益、持久性和現(xiàn)金流3個方面研究了私募股權(quán)投資的業(yè)績表現(xiàn)，指出扣除費用后，基金的平均收益近似等于S&P 500指數(shù)，盡管基金之間存在異質(zhì)性，但基金之間的合作會使得收益更加持久，而且具有出色業(yè)績的合作更有可能提高后續(xù)基金的業(yè)績，并且這些結(jié)果從根本上區(qū)別于共同基金.而Phalippou等[12]指出私募股權(quán)投資的業(yè)績表現(xiàn)被夸大了，主要是因為在統(tǒng)計過程中太傾向于對業(yè)績表現(xiàn)好的基金數(shù)據(jù)的使用.他們發(fā)現(xiàn)扣除費用成本后的私募股權(quán)投資業(yè)績低于S&P 500指數(shù).由此可見對私募股權(quán)投資的風(fēng)險估計存在一定的誤差，尚有一部分風(fēng)險未被察覺.從這些實證研究可以發(fā)現(xiàn)，對私募股權(quán)投資業(yè)績的評價存在從樂觀到理性的過程，而這樣的變化引起了一個有爭議的問題：私募股權(quán)投資的業(yè)績表現(xiàn)是否足以補償有限合伙人所承擔(dān)的風(fēng)險成本以及長期的資金流動性不足？令人驚訝的是，盡管對這些風(fēng)險成本的分析文獻很少，但目前社會上對私募股權(quán)投資的配額卻在逐漸增加.

隨著對私募股權(quán)投資業(yè)績表現(xiàn)的理性認知，國內(nèi)外學(xué)者希望找出影響私募股權(quán)投資的風(fēng)險因素，所以進一步研究了風(fēng)險與收益的關(guān)系，并得出了一些重要結(jié)果.Jegadeesh等[13]研究了私募股權(quán)投資的風(fēng)險和收益，指出私募股權(quán)投資的收益與GDP的增長成正相關(guān)關(guān)系，而與信用利差成負相關(guān)關(guān)系.Lerner等[14]研究發(fā)現(xiàn)不同的有限合伙人在私募股權(quán)投資中的收益是顯著不同的.通過對一些數(shù)據(jù)的挖掘分析發(fā)現(xiàn)，捐贈基金（狹義上為公共養(yǎng)老金）對私募股權(quán)投資的收益高于平均收益近21%.雖然通過對再投資策略的研究表明捐贈基金對私募股權(quán)投資回報的預(yù)測更加準確，但主要因素在于投資者的成熟度以及對潛在的投資機會的發(fā)掘.Cochrane[15]研究了創(chuàng)業(yè)投資的風(fēng)險和收益問題，度量了創(chuàng)業(yè)投資的期望收益和標(biāo)準差，并利用極大似然估計來修正選擇性偏差.對于風(fēng)險的存在，Caballero[16]研究發(fā)現(xiàn)由于收益的不確定導(dǎo)致“預(yù)防性儲蓄”成為總的累積財富的一個重要來源.

在私募股權(quán)投資中，杠桿的作用明顯.首先，對于給定規(guī)模的私募股權(quán)投資，杠桿可以增加私募股權(quán)投資資產(chǎn)的規(guī)模，可以減少每單位無杠桿資產(chǎn)的管理費；其次，杠桿可以將一部分私募股權(quán)投資的風(fēng)險轉(zhuǎn)化給多樣化的債權(quán)人，從而可以減少有限合伙人的投資風(fēng)險.Axelson等[17]研究了在并購交易中杠桿比例的決定因素與定價，指出私募股權(quán)投資注重執(zhí)行杠桿并購交易時的資本結(jié)構(gòu)，并給出了估計資本結(jié)構(gòu)的理論.他們利用1980—2008年的樣本數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)并購?fù)顿Y中杠桿的決定因素不同于公開市場的理論，而由整個經(jīng)濟體系中信貸條件的變化所決定.他們建議當(dāng)信貸較容易時，應(yīng)增加杠桿比例.Ivashina等[18]主要研究了杠桿并購企業(yè)與銀行之間的關(guān)系型借貸，即銀行的貸款決策主要基于通過長期和多種渠道的接觸所積累的關(guān)于私募股權(quán)投資基金的相關(guān)信息進行.通過研究1993至2005年間1 590個貸款融資私募基金下的杠桿收購的樣本數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)私募股權(quán)投資企業(yè)的銀行關(guān)系是影響向銀行貸款的利率和契約結(jié)構(gòu)的重要因素.隨著與銀行關(guān)系強度的提升，可以有效降低利差，增加最大貸款量，這對私募股權(quán)投資的融資是至關(guān)重要的.

私募股權(quán)投資縱然擁有較高的收益，但同樣伴隨著相當(dāng)大的風(fēng)險，因此對私募股權(quán)投資企業(yè)全面準確的估值顯得尤為重要.雖然很多專業(yè)投資管理機構(gòu)將各種投資估值方法運用到項目估值和投資決策中，但由于不能深刻理解這些方法的內(nèi)在意義，以及評估者主觀性對企業(yè)估值的不利因素往往造成錯誤的估值，從而給投資者造成巨大的損失.如何準確地估值私募股權(quán)投資成為重要的問題.國內(nèi)外眾多學(xué)者對這一問題進行了探討和研究.Black等[19]指出在完備市場下，只有股票價格的當(dāng)前值和未來的預(yù)測有關(guān)，而變量以往的演變過程和變化方式與未來的預(yù)測并不相關(guān).同時給出了著名的BS期權(quán)定價公式.由BS模型可知，期權(quán)價格的決定因素廣泛，股票合約的期限、股票當(dāng)前價、無風(fēng)險利率水平和交割價等都會對期權(quán)價格造成影響.這項工作對金融創(chuàng)新和各種新興金融產(chǎn)品的面世起到了重要的推動作用.Chung等[20]認為在評估企業(yè)的市場價值時，應(yīng)綜合考慮資產(chǎn)內(nèi)部價值和未來增值機會.增值機會的現(xiàn)值反映未來投資的價值，即預(yù)期收益率將超過資本機會成本的超額收益率.同時通過實例證明企業(yè)未來成長價值因素的作用遠大于內(nèi)部資源價值起到的作用.Meyer等[21]主要研究了投資基金在股權(quán)評估中所出現(xiàn)的重難點，開創(chuàng)性地以模型來研究私募股權(quán)投資，得出了私募股權(quán)機構(gòu)關(guān)于計算公允價值的方法、基金評級系統(tǒng)、投資組合設(shè)計及評分體系，初步形成全面有效的私募股權(quán)投資程序.然而當(dāng)市場是不完備的時候，私募股權(quán)投資的風(fēng)險不完全由市場所支撐，標(biāo)準的一價原則不再成立.

另一方面，私募股權(quán)投資的研究與關(guān)于流動性不足資產(chǎn)的估值和投資組合選擇問題的研究息息相關(guān).例如受限制股票、高管薪酬、不可交易勞動收入、流動性不足的創(chuàng)業(yè)企業(yè)和對沖基金鎖定.文獻[2225]研究了帶有不可交易勞動收入的投資組合和消費.Kahl等[26]分析了連續(xù)時間下帶有受限股票的投資組合選擇模型.文獻[2728]研究了在非完備市場下的創(chuàng)業(yè)公司.對于對沖基金，文獻[2931]分析了管理費和基于業(yè)績表現(xiàn)的高水印對杠桿和估值的影響.Ang等[32]研究了帶流動性不足資產(chǎn)的投資組合選擇問題，提出了一個關(guān)于最優(yōu)分配到流動資產(chǎn)和流動性不足資產(chǎn)的模型.其中流動性不足資產(chǎn)只能在一個隨機發(fā)生的交易機會到來時才可以被交易，這個交易機會也叫做流動性事件，在模型中是用一個獨立同分布的Poisson過程來模擬的.流動性不足風(fēng)險導(dǎo)致風(fēng)險厭惡系數(shù)增加，投資者既會減少對流動性不足資產(chǎn)的投資，也會減少對流動性資產(chǎn)的投資，其原因是投資者需要考慮平滑消費.由此可見，當(dāng)流動性風(fēng)險較大時，很大程度影響了管理者的投資組合選擇策略.

綜合以上文獻，在私募股權(quán)投資中，仍未出現(xiàn)任何量化流動性不足成本、管理者增值技術(shù)指標(biāo)以及私募股權(quán)投資管理報酬的研究文獻.而Sorensen等[33]較為全面地解決了這些問題.Sorensen等[33]研究了私募股權(quán)投資的業(yè)績是否足以補償投資者所承擔(dān)的風(fēng)險、長期流動性不足以及支付給管理者的管理費和激勵費，分析了投資者的投資組合選擇問題，發(fā)現(xiàn)管理費、激勵費及流動性不足所帶來的成本很高，并指出基金一般采用2/20形式的管理報酬合約較為合理.管理者必須提供足夠大的增值技術(shù)才能補償投資者所承擔(dān)的這些成本，傳統(tǒng)的私募股權(quán)投資業(yè)績度量不再適用.以下簡要闡述Sorensen等[33]的模型.

主要是在以下幾個方面做出了貢獻.第一，考慮了未支撐風(fēng)險，指出私募股權(quán)投資的風(fēng)險并不完全是由公開市場所支撐的；第二，在私募股權(quán)投資中，流動性不足所造成的成本是相當(dāng)大的，普通合伙人必須創(chuàng)造足夠大的α才能彌補有限合伙人的收益；第三，給出了更加簡易的關(guān)于杠桿和相關(guān)風(fēng)險債務(wù)的定價公式，同時在傳統(tǒng)的BS期權(quán)定價公式中加以發(fā)展，給出了私募股權(quán)投資資產(chǎn)、普通合伙人報酬和有限合伙人合伙利益的期權(quán)定價公式；第四，提出了更符合實際的替代業(yè)績度量表達式，即公開市場等價（PME）和內(nèi)部收益率（IRR）.

近年來，在投資環(huán)境不斷完善的背景下，我國正吸引著全球的私募資本，私募股權(quán)投資在我國得以快速發(fā)展.徐子堯等[34]利用對深交所創(chuàng)業(yè)板企業(yè)的實證分析，研究了私募股權(quán)投資對上市公司過度投資行為的影響，指出私募股權(quán)投資可以有效減少上市公司濫用自由現(xiàn)金流的過度投資行為.他們鼓勵公司積極引進優(yōu)秀的私募機構(gòu)，以促進其投資行為的理性化.趙彤等[35]闡述了私募股權(quán)投資的理論定義和特征，進而對北美州、歐洲和亞太地區(qū)所呈現(xiàn)出的私募股權(quán)投資的發(fā)展特征和產(chǎn)生原因進行了比較和分析，從中總結(jié)出對我國發(fā)展私募股權(quán)投資的啟示.郝寧等[36]分析了我國私募股權(quán)投資基金的發(fā)展現(xiàn)狀，并給出了建議.王燕鳴等[37]研究了我國私募股權(quán)投資的流動性風(fēng)險.在私募股權(quán)投資的估值問題方面，經(jīng)典的估值理論包括現(xiàn)金流量貼現(xiàn)法、相對估價法、資產(chǎn)評估法和期權(quán)法.靳磊[38]比較分析了國內(nèi)外私募股權(quán)投資公司的估值方法，梳理了估值模型著重考察的現(xiàn)金狀況、資本結(jié)構(gòu)、股東價值和社會責(zé)任等.劉炯暉[39]介紹了我國私募股權(quán)投資行業(yè)的情況，指出了造成當(dāng)前私募股權(quán)機構(gòu)普遍陷入發(fā)展困境的主要原因，并就如何進一步完善私募股權(quán)行業(yè)發(fā)展提出了建議.周翔翼等[40]分析了中國大陸私募股權(quán)市場1994—2008年間的風(fēng)險投資數(shù)據(jù)，探討了風(fēng)險投資資金注入對新增投資估值的影響.常忠義[41]在非穩(wěn)態(tài)均衡的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)假設(shè)下，基于博弈情勢的估值假說的基本原理，運用博弈分析等方法對私募股權(quán)投資企業(yè)進行了估值，是對經(jīng)典估值方法的很好補充.綜上可見，由于私募股權(quán)投資環(huán)境的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的估值方法在某些情形下存在一定的短板，而目前在私募股權(quán)投資估值問題中，對期權(quán)法的理論研究發(fā)展有限，因此在私募股權(quán)投資估值問題研究中，對傳統(tǒng)期權(quán)估值方法加以發(fā)展具有重要意義.

2帶有未支撐風(fēng)險的私募股權(quán)投資模型的擴展

下面將針對通貨膨脹情形、Knight不確定以及跳擴散情形下的理論研究進行闡述，進而通過分析得出在上述模型的基礎(chǔ)上，可以在這3個框架下進行拓展并給出相應(yīng)的思路.

21通脹情形下的投資組合研究回顧

高通脹率往往與經(jīng)濟滯脹、失業(yè)率高以及經(jīng)濟危機的爆發(fā)具有密切的關(guān)系.通貨膨脹的存在影響著投資者的投資.在20世紀最后的20年，通貨膨脹開始從西方強國轉(zhuǎn)而侵蝕著發(fā)展中國家，尤其是中國.雖然未來通貨膨脹的發(fā)展情況無法預(yù)測，但可以肯定的是，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，我國貨幣政策與財政政策的逐漸放寬以及投資環(huán)境的開放，通貨膨脹必將繼續(xù)存在.因此，在通脹環(huán)境下最優(yōu)投資策略的研究具有重要的意義.

Mundell[42]研究了通脹和實際利率，指出利率會隨著預(yù)期通脹率的增加而增加.Brennan等[43]研究了在通脹環(huán)境下，有限投資期限的投資者的動態(tài)資產(chǎn)分配問題.投資者的最優(yōu)投資策略和間接效用通過簡單的閉型式給出，并指出對沖需求依賴于投資者的投資期限、風(fēng)險厭惡以及投資組合中債券的期限.張成思[44]研究了1980—2007年中國通貨膨脹的慣性特征，指出我國貨幣政策的滯后效應(yīng)明顯，通貨膨脹對政策變化的反應(yīng)緩慢.姚海祥等[45]在考慮通貨膨脹因素下，利用均值-方差模型研究了連續(xù)時間投資組合選擇問題.費為銀等[46]研究了通脹服從均值回復(fù)過程的最優(yōu)消費和投資策略.費為銀等[47]在展望理論的框架下研究了通脹因素對帶激勵的對沖基金最優(yōu)投資的影響，得出了經(jīng)通脹折現(xiàn)的風(fēng)險資產(chǎn)價格動力學(xué)方程，并以考慮通脹因素后的終端財富效用最大化為目標(biāo)，利用鞅方法推導(dǎo)出對沖基金管理者的最優(yōu)投資策略.

綜合上述文獻，可見在公開市場上的投資組合選擇以及對沖基金投資方面進行研究的學(xué)者已經(jīng)在通脹環(huán)境下做出了一些研究工作，并得出了重要的結(jié)果.然而在通脹環(huán)境下的私募股權(quán)投資問題尚未展開.為了適應(yīng)現(xiàn)實中市場環(huán)境的變化，我們的理論研究應(yīng)注意到通脹環(huán)境的變化.由于私募股權(quán)投資中含有流動性不足的風(fēng)險，其投資期限較長，通脹因素很可能對其具有很大的影響，因此需在帶有未支撐風(fēng)險的私募股權(quán)投資模型中利用通貨膨脹折扣率對資產(chǎn)價格進行折現(xiàn)，使得模型更加具有現(xiàn)實意義，也更加符合中國目前所處的經(jīng)濟環(huán)境.

22Knight不確定下的投資組合研究回顧

以上對私募股權(quán)投資的研究中，所謂的“風(fēng)險”都是有概率分布的不確定性，但在現(xiàn)實生活中，由于時間或主客觀條件的限制，例如信息的不完善和數(shù)據(jù)的不明確等使得人們無法得到一個精確的概率，甚至沒有客觀概率.Knight[48]最早提出了這個問題，并將不確定性分為概率不確定性和Knight不確定性（模糊不確定性）.Ellsberg[49]研究了風(fēng)險及模糊性.在實際生活中，Knight不確定性也更符合實際情況，通過對Knight不確定性的研究往往會得出許多更好的結(jié)果.因此在投資組合的研究上，Knight不確定也引起越來越多學(xué)者的關(guān)注.Epstein等[50]研究了Knight不確定下的跨期資產(chǎn)定價問題，推廣了Lucas的一般均衡純交換經(jīng)濟理論，給出了均衡的存在性的證明，同時通過“Euler不等式”刻畫了均衡定價.Chen等[51]研究了連續(xù)時間下含糊、風(fēng)險和資產(chǎn)收益，刻畫了一個連續(xù)時間跨期多先驗效用模型.模型中容許對含糊不確定的厭惡，在一個具有代表性的代理人資產(chǎn)市場背景下，模型傳達了對超額收益的約束，并反映了“風(fēng)險溢價”和“含糊溢價”的區(qū)別.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)ei[52]采用遞推多先驗效用函數(shù)，研究了在區(qū)別含糊和風(fēng)險的情形下，一個帶有預(yù)期的Merton類模型的最優(yōu)消費和投資組合問題，指出了含糊和預(yù)期對投資者行為的影響.Peng[53]研究了不確定情形下的非線性期望和隨機微積分，特別是次線性期望，給出了最大化分布和G正態(tài)分布、非線性期望空間下的大數(shù)定理和中心極限定理，開創(chuàng)性地提出了G布朗運動過程和G伊藤積分，進而得出應(yīng)用廣泛的G伊藤公式.他提出的G鞅、Jensen不等式以及相應(yīng)的隨機微分方程也具有相當(dāng)大的作用.最后還給出G布朗運動的容度和擬必然分析.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)ei等[54]研究了G布朗運動下的最優(yōu)隨機控制與最優(yōu)消費和投資組合問題，得出了兩基金分離定理的顯式表達式，并強調(diào)在現(xiàn)實經(jīng)濟環(huán)境中，受G布朗運動干擾的隨機控制系統(tǒng)的研究是非常貼合實際的，并且得出的結(jié)論也更加準確，更能反應(yīng)實際經(jīng)濟意義.韓立巖等[55]研究了Knight不確定環(huán)境下基于模糊測度的期權(quán)定價模型，運用λ模糊測度和Choquet 積分求解歐式無紅利期權(quán)的價格，所得期權(quán)價格是一個區(qū)間而不是某個特定數(shù)值，指出模糊測度參數(shù)λ的取值可以反映投資者個體的主觀情緒，并且λ的變化能夠反應(yīng)投資個體的情緒變化.徐元棟等[56]綜述了Knight不確定性下的行為決策理論，并在之基礎(chǔ)上，分析了行為決策科學(xué)發(fā)展過程中存在的問題，提出了進一步的研究領(lǐng)域.費為銀等[57]研究了奈特（Knight）不確定下帶高水印的對沖基金最優(yōu)投資組合，其中資產(chǎn)價格的波動是用G布朗運動來刻畫的，基金管理者是通過高水印管理報酬合約來補償?shù)?，管理者的目?biāo)是實現(xiàn)預(yù)期累計激勵費的凈現(xiàn)值的最大化.利用非線性期望下隨機分析和隨機動態(tài)規(guī)劃方法推導(dǎo)出帶有特定邊界條件的值函數(shù)的GHJB方程，從而獲得最優(yōu)投資組合策略，其中管理者是風(fēng)險中性的，其最優(yōu)投資組合不受高水印合約中激勵費率的影響.

因此，在含有未支撐風(fēng)險的私募股權(quán)投資模型中可以考慮利用G布朗運動來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的不確定性，同時私募股權(quán)投資中的期權(quán)定價不同于標(biāo)準的“風(fēng)險中性”BS定價公式，其定價公式中包含管理者的增值技術(shù)“α”，而在Knight不確定環(huán)境下私募股權(quán)投資的定價公式也值得去發(fā)展探索，進而得出更貼近實際的理論成果.

23跳擴散環(huán)境下的動態(tài)資產(chǎn)配置研究回顧

現(xiàn)實生活中，一些重大事件的發(fā)生往往會引發(fā)股票價格和波動率的突然變化，而這種由突發(fā)事件所帶來的風(fēng)險即被稱為跳風(fēng)險.例如，1987年10月19日，股票市場的崩盤事件使得道瓊斯指數(shù)下降了508個點.由此可見，跳風(fēng)險的影響是巨大的，與突發(fā)事件相關(guān)的跳風(fēng)險在很多方面都影響著動態(tài)投資組合選擇.因此，越來越多的國內(nèi)外學(xué)者開始研究跳風(fēng)險在動態(tài)資產(chǎn)配置問題中的影響，并得出了很多重要的成果.

Merton[7]以及Das等[58]研究了價格跳的影響.Liu[59]研究了隨機波動率的影響.然而之前的研究中都未將波動率的變化和價格變化結(jié)合起來考慮，于是，Liu等[60]研究了價格和波動率都發(fā)生跳對投資策略的影響，并利用Duffie等[61]的雙跳框架，通過隨機最優(yōu)控制方法求出了最優(yōu)投資組合問題的解析解，指出當(dāng)投資者面臨突發(fā)事件風(fēng)險時，是不愿意承擔(dān)杠桿或賣空的.Wu[62]分析了在罕見事件下的最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)分配問題，其中投資機會是隨機且可預(yù)測的，給出了解析形式的近似解.通過比較分析和校準實踐指出跳風(fēng)險不僅使投資者的投資決策更加保守，而且隨著時間的推移，投資者的動態(tài)投資組合再平衡不再引人注目.費為銀等[63]在資產(chǎn)價格處于跳擴散環(huán)境下時，分析了通脹因素和跳的變化對投資者資產(chǎn)分配的影響.他們在理論部分利用It公式推導(dǎo)出通脹環(huán)境下的消費籃子價格動力學(xué)方程，以經(jīng)通脹折現(xiàn)后的終端財富預(yù)期效用最大化為標(biāo)準，運用隨機動態(tài)規(guī)劃方法，求解HJB方程得出最優(yōu)投資策略，獲得最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置策略的近似解，最后分析了通脹對沖需求和跳對短視需求的影響，解釋了相應(yīng)的經(jīng)濟學(xué)意義.費為銀等[64]研究了在極端事件沖擊下含糊厭惡投資者的最優(yōu)投資組合問題，其中投資者不僅對損失風(fēng)險是厭惡的，而且對模型不確定也是厭惡的.

在私募股權(quán)投資中，由于基金持有流動性不足資產(chǎn)的期限較長，一般為10年，在投資期限內(nèi)，發(fā)生突發(fā)事件的概率相對較高，因而在研究私募股權(quán)投資的過程中，考慮在標(biāo)的資產(chǎn)價格公式中加入用Poisson過程來刻畫的跳風(fēng)險因素對最優(yōu)投資組合和消費的影響是至關(guān)重要的.

3總結(jié)

本文首先簡要地介紹了投資組合理論的發(fā)展歷史和研究成果，引出私募股權(quán)投資問題，接著詳細地闡述了私募股權(quán)投資的估值問題的研究現(xiàn)狀，總結(jié)出國內(nèi)外學(xué)者在私募股權(quán)投資上主要研究了業(yè)績表現(xiàn)、風(fēng)險與收益、杠桿和有限合伙人的最優(yōu)投資組合選擇等方面的問題，并較為詳盡地闡述了這方面的研究現(xiàn)狀.

其次，結(jié)合Sorensen等[33]的研究成果，詳細闡述了帶有未支撐風(fēng)險的私募股權(quán)投資模型，指出在實際私募股權(quán)投資過程中，投資者所面對的風(fēng)險并不完全由公開市場所支撐，而是面對很大一部分的未支撐風(fēng)險，這對投資者的投資組合選擇及收益會產(chǎn)生相當(dāng)大的影響.這一理論成果對私募股權(quán)投資估值的研究具有很大的推動作用.接著本文還介紹了在通脹環(huán)境、Knight不確定以及跳擴散環(huán)境下的研究成果.在Sorensen等[33]的研究工作中，主要考慮了風(fēng)險中的未支撐部分，而通過分析發(fā)現(xiàn)，通脹環(huán)境、Knight不確定以及跳風(fēng)險等因素都會影響投資者的最優(yōu)投資策略，因此，可以在現(xiàn)有的模型基礎(chǔ)上從以下幾個方面進行進一步研究：第一，在私募股權(quán)投資中考慮通脹因素；第二，在Knight不確定下，通過引入G布朗運動來對私募股權(quán)投資問題進行研究；第三，考慮在跳擴散環(huán)境下，私募股權(quán)投資的最優(yōu)投資組合和消費.

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Abstract

In this paper，we explain the valuation issue of private equity investment.First，we briefly introduce the development history and research results of the portfolio problem.Then we discuss the research situation of the valuation issue of private equity investment in detail，including the portfolio selection of limited partners，as well as the research on the value evaluation system and evaluation methods of investment enterprises.And we give the model to be studied，namely the private equity model with unspanned risk.Finally，we give the expansion of the framework of the model under inflation，Knightian uncertainty and jump diffusion environment.

Key wordsportfolio；private equity investment；stochastic calculus；inflation；Knightian uncertainty；jump risk