何春良

摘 要：本文筆者對(duì)含雙平方根式無(wú)理函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題的常規(guī)求解進(jìn)行了探究，方法多樣，但要靈活運(yùn)用，值得廣大讀者學(xué)習(xí)與參考.

關(guān)鍵詞：雙平方根式；無(wú)理函數(shù)；最值問(wèn)題

形如y=af（x）+bg（x）+c的函數(shù)叫作含雙平方根式的無(wú)理函數(shù)，這類(lèi)無(wú)理函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題是高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，也是近幾年高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.由于這類(lèi)問(wèn)題的求解涉及函數(shù)、幾何、三角、向量以及不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性，若學(xué)生沒(méi)有掌握比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題是有一定困難的.為此，筆者對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解方法進(jìn)行了總結(jié)與歸納，現(xiàn)將幾種常規(guī)方法一一介紹.

一、單調(diào)性法

例1 求函數(shù)y=3x2-1-4-3x2的值域.

解 易求函數(shù)的定義域?yàn)閇-233，-1]∪[1，233]且為偶函數(shù)，所以

當(dāng)x∈[1，233]時(shí)，函數(shù)y=3x2-1-4-3x2單調(diào)遞增.則當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-1；

當(dāng)x=233時(shí)，ymax=3.故該函數(shù)的值域?yàn)閥∈[-1，3].

二、求導(dǎo)法

例2 求函數(shù)y=5x-1+10-x-226的值域.

解 易知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，10]，當(dāng)x=1時(shí)，y=3-226；當(dāng)x=10時(shí)，y=15-226.當(dāng)x∈（1，10）時(shí)，y′=12（5x-1-110-x），且導(dǎo)函數(shù)y′在（1，10）上單調(diào)遞減.令y′=0，得x=25126.所以當(dāng)x∈（1，25126）時(shí)，y′>0；當(dāng)x∈（25126，10）時(shí)，y′<0.所以原函數(shù)y在（1，25126）上單調(diào)遞增，在（25126，10）上單調(diào)遞減.則當(dāng)x=25126時(shí)，ymax=26；當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3-226.故該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

y∈[3-226，26].

三、整體代換法

例3 求函數(shù)y=2x2+8x2+1+412-x2-4x2的值域.

解 令t=x2+4x2（4≤t≤12），則y=2t+1+412-t.當(dāng)t∈[4，12）時(shí)，y′=12t+1-212-t在[4，12）上單調(diào)遞減.∵當(dāng)t=4時(shí)，y′=13-22<0，∴當(dāng)t∈[4，12）時(shí)，y′<0，函數(shù)y=2t+1+412-t在[4，12]單調(diào)遞減.∴當(dāng)t=4時(shí)，ymax=3+82；當(dāng)t=12時(shí)，ymin=5.故該函數(shù)的值域?yàn)閥∈[5，3+82].

四、基本不等式法

例4 求函數(shù)y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 易知x∈R，y=x2-2x+2+x2+2x+2≥24（x2-2x+2）（x2+2x+2）.

=24（x2+2）2-4x2=24x4+4≥244=22.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以該函數(shù)的值域?yàn)閥∈[22，+∞）.

五、數(shù)形結(jié)合法

例5 求函數(shù)y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.

解 函數(shù)y=（x-1）2+1+（x+1）2+1的幾何意義是表示動(dòng)點(diǎn)P（x，1）到定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離之和.易求點(diǎn)B（1，0）關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（1，2）.

當(dāng)A，P和B′三點(diǎn)共線時(shí)，P點(diǎn)到A和B的距離之和最小，距離最小為|AB′|=22.

故y≥22，即所求函數(shù)的值域?yàn)閥∈[22，+∞）.

例6 設(shè)a，b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為.

解 由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=9，即（a+1）2+（b+3）2=9.

令x=a+1，y=b+3，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成約束件為x>1y>3x2+y2=9，目標(biāo)函數(shù)為z=x+y.

如圖所示：可行域?yàn)锳B弧（不含A，B兩點(diǎn)），沿直線l0∶x+y=0往上平移，直到與AB弧相切時(shí)的P點(diǎn)就為最優(yōu)解，容易求得P（322，322），此時(shí)以P點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為l∶x+y=32，∴Zmax=322+322=32，故（a+1+b+3）max=32.

總之，當(dāng)解完了一道題后，要及時(shí)歸納與總結(jié)方法，力求做到一題多解、多題一解，達(dá)到應(yīng)用自如、熟能生巧、舉一反三的地步，為以后解題打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).