陶茂恩

摘 要：結(jié)合教學(xué)實(shí)際，說(shuō)明了例題在線(xiàn)性代數(shù)課堂教學(xué)中的重要作用，也介紹了選擇合適教學(xué)例題的一些方法.

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù)；教學(xué)；例題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）01-168-02

引言

線(xiàn)性代數(shù)是高等院校理工本、專(zhuān)科生必修課程，是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要理論基礎(chǔ)，它在自然科學(xué)和工程技術(shù)各領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用.該課程的特點(diǎn)是邏輯性、抽象性強(qiáng)，概念多，推理論證多，理論結(jié)論多，而課時(shí)較少，許多學(xué)生反映比其他工科數(shù)學(xué)課程難學(xué).針對(duì)該課程的以上特點(diǎn)，結(jié)合平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為，在課堂教學(xué)的適當(dāng)階段，選用適當(dāng)例題，大大有助于學(xué)生把抽象思維與具體的模型相結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

一、合適的例題有助于學(xué)生對(duì)抽象概念的理解.

在講 階行列式定義的時(shí)候，先介紹行列式是這樣一些項(xiàng)的代數(shù)和：每一項(xiàng)是取自既不同行也不同列的 個(gè)元素的乘積，隨即給出例題①：對(duì)數(shù)表： ，寫(xiě)出所有取自既不同行也不同列的 個(gè)元素的乘積.通過(guò)類(lèi)似例題，學(xué)生就能立刻知道組成行列式的每個(gè)乘積項(xiàng)是怎樣的，這樣的項(xiàng)一共有多少；然后再介紹每一項(xiàng)的符號(hào)如何確定.該課程的第一個(gè)難點(diǎn)—— 階行列式定義，就這樣迎刃而解了.

又如，第四章“向量組的線(xiàn)性相關(guān)性”是學(xué)生最難以理解的一章.為了使學(xué)生更好地理解本章，在介紹完第一節(jié)“向量的定義及其線(xiàn)性運(yùn)算”之后，我沒(méi)有立即接著講第二節(jié)，而是以二維向量空間 為例，引導(dǎo)學(xué)生思考以下兩個(gè)問(wèn)題： ， ， 稱(chēng)為 的一個(gè)基， 中也有這樣的現(xiàn)象，問(wèn)題一：任一向量組中，是否有這樣的“基”？（ 實(shí)際是讓學(xué)生意識(shí)到向量組的極大無(wú)關(guān)組的存在）.又： ， 也是 的一個(gè)基，問(wèn)題二：這樣的“基”如果存在，它是否唯一？若不唯一，不同“基”之間的關(guān)系怎樣？由此給出本章討論的基本問(wèn)題：向量組的結(jié)構(gòu)、向量空間的結(jié)構(gòu)、齊次線(xiàn)性方程組解空間的結(jié)構(gòu).

這個(gè)的例子，使學(xué)生頭腦中有了一個(gè)具體的模型，也對(duì)本章內(nèi)容有個(gè)全局的印象，接下來(lái)的概念理解就會(huì)容易得多.

二、合適的例題有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

合適的例題能揭示定理的證明思路，有助于學(xué)生對(duì)基本性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

“線(xiàn)性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩”，在講該定理之前，先用兩個(gè)非齊次線(xiàn)性方程組（一個(gè)有解，一個(gè)無(wú)解）作為例子，分別對(duì)它們的增廣矩陣作初等行變換，化為行階梯形，得到同解方程組，經(jīng)過(guò)兩個(gè)例子的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生自然而然地得出該定理，從而揭示了該定理的證明思路，也加深了理解.在講線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)，也可采用這個(gè)方法，通過(guò)求解兩個(gè)具體的線(xiàn)性方程組（一個(gè)齊次，一個(gè)非齊次），讓學(xué)生了解到線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)理論，再讓學(xué)生自己回頭讀書(shū)中的定理證明，就很清楚了.

三、合適的例題有助于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

合適的例題還能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，為后續(xù)的教學(xué)做好鋪墊，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能有所發(fā)現(xiàn)，有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

在講完用展開(kāi)法則計(jì)算行列式之后，給出例題②：對(duì)行列式 ，求第四行元素的代數(shù)余子式之和及余子式之和.通過(guò)講解這個(gè)例題，使學(xué)生弄懂代數(shù)余子式的重要性質(zhì)： ，為后面克萊姆法則的證明做好鋪墊.又如，對(duì)矩陣運(yùn)算的講解，除了一些基本運(yùn)算外，對(duì)分塊矩陣的乘法和矩陣的初等變換要給出例題鞏固加強(qiáng)，它們不僅是矩陣運(yùn)算的重要方法和技巧，而且在后面的理論分析中也有重要作用.再如，初等矩陣雖然簡(jiǎn)單，但如不通過(guò)具體實(shí)例，讓學(xué)生弄清初等矩陣與初等變換的密切關(guān)系，學(xué)生就不會(huì)對(duì)后面的用初等變換求逆矩陣得到很好的理解和掌握.

四、精選例題的一些方法.

如何選取合適的例題？除了課本和一些參考資料外，還可以根據(jù)課堂需要，從以下幾個(gè)方面著手：

為便于理解抽象的概念和定理，可選取 等特殊情況作為例子.如在講行列式定義時(shí)，先介紹二階、三階的行列式；在講向量組的線(xiàn)性相關(guān)性之前，先講二維向量空間 這個(gè)例子，等等.選取考研真題作為例子.文中的例題②就是2001年數(shù)學(xué)（四）考研題.考研真題有時(shí)就是針對(duì)重要基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)是容易被忽視或是容易出錯(cuò)的地方，用考研真題做例子，往往使學(xué)生印象深刻，也更能激發(fā)學(xué)生的興趣.

讓學(xué)生自己舉例.在講矩陣運(yùn)算時(shí)，可讓學(xué)生自己舉出不符合乘法交換律、消去律的例子；在完線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)概念后，可讓學(xué)生做類(lèi)似練習(xí)：若 線(xiàn)性相關(guān)， 也線(xiàn)性相關(guān)，舉例說(shuō)明 是否也一定線(xiàn)性相關(guān).讓學(xué)生自己舉例，不僅可以對(duì)所學(xué)概念和性質(zhì)進(jìn)行辨析，以達(dá)到更深刻的理解，也可以鍛煉思維.

例題在線(xiàn)性代數(shù)課堂教學(xué)中有著突出的作用.只有運(yùn)用適當(dāng)?shù)睦}，處理好教學(xué)中的重難點(diǎn)，才能提高課堂教學(xué)的效率，進(jìn)而提高學(xué)生自學(xué)的興趣.只有課堂教學(xué)與課下自學(xué)相結(jié)合，才能提高整個(gè)課程教學(xué)的質(zhì)量.

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.線(xiàn)性代數(shù).第四版，高等教育出版社，2003.

[2] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系：劉先忠，揚(yáng)明.線(xiàn)性代數(shù).第二版，高等教育出版社，2003.

[3] 居余馬，林翠琴.線(xiàn)性代數(shù)簡(jiǎn)明教程.清華大學(xué)出版社，2004.

[4] 史榮昌.線(xiàn)性代數(shù)歷年真題詳解與考點(diǎn)分析.機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[5] 高等代數(shù)教學(xué)研究Ⅲ構(gòu)作實(shí)例在高等代數(shù)教學(xué)中的作用.何日挺，王航平.浙江海洋學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，18：251～253.

[6] 高等數(shù)學(xué)中的“例證法”思想.解烈軍，張藝.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22：144～146.