文/劉旺強(qiáng)，上海大學(xué)

基于ARMA-GARCH模型的上證綜指收益率波動(dòng)性研究

文/劉旺強(qiáng)，上海大學(xué)

本文摘要：收益率波動(dòng)性研究是資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域研究的一個(gè)重要組成部分，本文以上證綜指為研究對(duì)象，運(yùn)用GARCH模型對(duì)2005年1月4日至2016年3月31日上證綜指日收益率進(jìn)行了實(shí)證研究。研究結(jié)果顯示：上證綜指收益率序列具有明顯的波動(dòng)集聚性和異方差的特征，即具有ARCH效應(yīng)?；跁r(shí)間序列特性的ARMA-GARCH模型能夠較好的解釋時(shí)間序列本身的自相關(guān)性以及條件異方差性，運(yùn)用該模型可以較好地對(duì)上證綜指波動(dòng)情況進(jìn)行擬合。

ARMA-GARCH模型；股票價(jià)格指數(shù)；波動(dòng)率；ARCH效應(yīng)

1 引言

上證綜指覆蓋了上海交易所所有上市公司股票，代表了大中小盤(pán)股股票的綜合表現(xiàn)，行業(yè)分布均衡，指數(shù)的整體波動(dòng)性較小，可以全面反映股票市場(chǎng)總體走勢(shì)以及價(jià)格波動(dòng)情況，具有良好的市場(chǎng)代表性。國(guó)內(nèi)許多學(xué)者對(duì)上證綜指進(jìn)行了廣泛的研究與論證。本文基于ARMA-GARCH模型對(duì)上證指數(shù)收益率序列的波動(dòng)特性的基本特征進(jìn)行分析，進(jìn)而對(duì)近十年間上證指數(shù)收益率序列的變動(dòng)情況進(jìn)行模型擬合，以期對(duì)其波動(dòng)情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2 模型介紹

2.1 自回歸條件異方差模型（ARCH模型）

一般的回歸分析和時(shí)間序列分析中，通常假設(shè)計(jì)量模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿(mǎn)足同方差性。而一些時(shí)間序列特別是金融時(shí)間序列，經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出波動(dòng)性集群現(xiàn)象，其方差是隨著時(shí)間變化而變化的，即表現(xiàn)出“異方差性”。Engle（1982）提出的自回歸條件異方差模型（autoregressive conditional heteroscedasticity model，簡(jiǎn)稱(chēng)ARCH）模型很好的解決了時(shí)間序列的波動(dòng)性問(wèn)題，不斷被用來(lái)研究金融市場(chǎng)的收益序列變化的問(wèn)題，同時(shí)奠定了金融時(shí)間序列波動(dòng)異方差模型的基礎(chǔ)。

ARCH（p）一般形式如下：

方差方程：

其中，yt和xt分別表示因變量和自變量， 表示不存在序列相關(guān)性的隨機(jī)干擾項(xiàng)，p表示滯后階數(shù)。模型還要求 ＞0， + +… ＜1。需要注意的是，ARCH（p）模型中仍然假設(shè)隨機(jī)干擾項(xiàng)不存在序列相關(guān)，但是條件方差很可能存在序列相關(guān)，因此建模后還需要對(duì)殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)殘差序列進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)的常用方法主要有殘差平方自相關(guān)圖檢驗(yàn)法和拉格朗日乘數(shù)法。

ARCH模型最主要的特征是可以體現(xiàn)時(shí)間序列波動(dòng)的時(shí)變性和波動(dòng)集群性。

2.2 廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）

GARCH模型成為廣義自回歸條件異方差模型，是ARCH模型的擴(kuò)展，由Bollerslev（1986）提出，其一般形式如下：

此外，ARCH族模型還包括GARCH-M（GARCH-in-mean）模型、TARCH（Threshold ARCH）模型、EGARCH（Exponential GARCH）模型等等。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取與描述性統(tǒng)計(jì)分析

3.1.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取2005年1月4日至2016年3月31日上證綜指每日收盤(pán)價(jià)，共2730個(gè)數(shù)據(jù)。以相鄰兩天收盤(pán)價(jià)指數(shù)的對(duì)數(shù)一階差分來(lái)代表上證指數(shù)的日收益率，計(jì)算公式為：Rt=ln（Pt）-ln（Pt-1），其中Pt和Pt-1分別代表t日和t-1日的收盤(pán)股價(jià)指數(shù)。

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind數(shù)據(jù)庫(kù)，數(shù)據(jù)的處理采用EXCEL 2013、EVlEWS 8.0分析軟件。

3.1.2 描述性統(tǒng)計(jì)分析

分別對(duì)2005年1月4日至2016年3月31日的上證綜指收益率序列利用Eviews軟件進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下：

表1 上證綜指日收益率序列統(tǒng)計(jì)特征

從上述描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可看出，2005年1月4日至206年3月31日上證綜指日收益率序列集中分布于0附近，均值較低，說(shuō)明上證綜指整體收益率較低。偏度為-0.545793，整體呈左偏。峰度為6.642316，說(shuō)明日收益率序列分布較為集中，J-B統(tǒng)計(jì)量較大，為1643.999，且相伴概率接近于0，收益率不服從正態(tài)分布。

綜上，結(jié)合上證綜指收益率序列時(shí)序圖（略）可見(jiàn)，上證綜指日收益率序列具有時(shí)間序列普遍表現(xiàn)出的波動(dòng)集群性和尖峰厚尾特性，且不服從正態(tài)分布。

3.1.3 上證綜指收益率序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

序列的平穩(wěn)性是時(shí)間序列分析的重要前提，為此需要對(duì)上證綜指收益率序列是否平穩(wěn)進(jìn)行檢驗(yàn)，下面采取單位根檢驗(yàn)方法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，結(jié)果如下表：

表2 上證綜指日收益率序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從上表可看出，上證綜指收益率序列是平穩(wěn)的時(shí)間序列。

3.1.4 上證綜指日收益率序列ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

從收益率序列時(shí)序圖（略）可直觀(guān)看出，收益率序列出現(xiàn)大的波動(dòng)后往往伴隨著大的波動(dòng)，小的波動(dòng)后面伴隨著更小的波動(dòng)，即波動(dòng)具有集群性，這說(shuō)明收益率序列的誤差項(xiàng)具有異方差特征，為此對(duì)收益率序列的殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法通常采取ARCH LM檢驗(yàn)法以及殘差自相關(guān)圖（Q檢驗(yàn)）法。此處以ARCH LM檢驗(yàn)方法對(duì)上證綜指收益率殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

表3 上證綜指日收益率序列ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果

從表3可看出，P值接近于0，小于置信度0.05，拒絕原假設(shè)，即殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

通過(guò)殘差平方的自相關(guān)圖也可看出，上證綜指收益率序列的殘差平方自相關(guān)系數(shù)（ACF）與偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）不顯著為0，也驗(yàn)證了收益率殘差項(xiàng)存在ARCH效應(yīng)。

3.2 ARMA-GARCH模型建模

考慮到上證綜指收益率序列具有的異方差特性以及自相關(guān)性，本文擬考慮建立ARMA-GARCH模型對(duì)2005年1月4日至2016年3月31日上證總指數(shù)收益率序列進(jìn)行模型擬合。結(jié)合上證綜指收益率序列殘差自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖，考慮其截尾與拖尾情形，并根據(jù)AlC信息準(zhǔn)則，最后確定以ARMA（1,1）模型為上證指數(shù)收益率序列的均值方程。就波動(dòng)率方程而言，一般的GARCH（1,1）模型能夠較好的模擬大多數(shù)時(shí)間序列波動(dòng)情形以及較好地解釋時(shí)間序列的異方差性。因此，最后確定以GARCH（1,1）模型來(lái)模擬收益率序列的波動(dòng)。

綜上而言，最后確定以ARMA（1,1）-GARCH（1,1）模型來(lái)模擬上證綜指收益率序列，最后得到的方程如下所示：

從分析結(jié)果可以看到，所有的參數(shù)都是顯著的，說(shuō)明前面驗(yàn)證的上證綜指收益率序列存在的自相關(guān)性與異方差特性確實(shí)存在，括號(hào)中的z統(tǒng)計(jì)量以及AlC與SC值也說(shuō)明ARMA（1,1）-GARCH（1,1）模型對(duì)上證綜指收益率序列的擬合度較高，能夠很好的解釋收益率序列的波動(dòng)特性。

4 結(jié)論與政策建議

從上述實(shí)證研究結(jié)果可以看出，上證綜指收益率序列所具有的波動(dòng)集群性表明我國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)幅度較大，我國(guó)股票市場(chǎng)發(fā)展還不太完善，歷史發(fā)展環(huán)境的制約，我國(guó)股票市場(chǎng)特有的模式以及運(yùn)行機(jī)制上的特殊性決定了我國(guó)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)還存在諸多風(fēng)險(xiǎn)。

針對(duì)上述問(wèn)題并結(jié)合本文研究結(jié)果，在此提出一些建議：

（一）完善市場(chǎng)監(jiān)管，盡量減少政府對(duì)市場(chǎng)的直接干預(yù)，適時(shí)適度引導(dǎo)。政府對(duì)于股市的頻繁干預(yù)是我國(guó)股票市場(chǎng)的一個(gè)重要問(wèn)題，應(yīng)適時(shí)適度發(fā)揮政府作用，加強(qiáng)監(jiān)管。

（二）建立股票市場(chǎng)信息發(fā)布及傳遞機(jī)制，確保股市信息能夠準(zhǔn)確快速及時(shí)地傳遞，最大程度減少信息不對(duì)稱(chēng)帶來(lái)的弊端，防止股票市場(chǎng)的大度波動(dòng)。

（三）我國(guó)股票市場(chǎng)發(fā)展尚不成熟, 波動(dòng)具有條件異方差效應(yīng),政府可以利用其計(jì)量工具進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)分析結(jié)果, 制定相應(yīng)政策, 提高股市監(jiān)管能力, 而投資者則可以運(yùn)用股市波動(dòng)規(guī)律, 從而盡可能規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

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