楊淑菊

摘要：利用洛必達(dá)法則求未定式極限是研究生考試的重要內(nèi)容，本文結(jié)合具體的問題探討應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限的計(jì)算方法與技巧。

Abstract： Using L'Hospital's rule to seek infinitive limit is an important content for the postgraduate examination. This paper combines specific problems to discuss calculation methods and skills according to the application of L'Hospital's rule.

關(guān)鍵詞：極限；洛必達(dá)法則；化簡(jiǎn)

Key words： limit；L'Hospital Rule；simplification

中圖分類號(hào)：G633.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）17-0230-02

0 引言

極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的概念，研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題每年都有極限的問題，試題求解要求考生具備靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力?？v觀近年的考研試題，發(fā)現(xiàn)極限題目大多可以用洛必達(dá)法則解決。本文結(jié)合具體的問題探討應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限的計(jì)算方法與技巧。

1 洛必達(dá)法則

設(shè)（1）當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）都趨于零（都趨于無窮大）；（2）f'（x）與g'（x）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)（或者當(dāng)x>X，X為充分大的正數(shù)）都存在，且g'（x）≠0；（3）存在（或無窮大）；則=。

2 實(shí)例

例1（2016年考研數(shù)學(xué)一）求極限：

解析：分子是一個(gè)變上限積分確定的函數(shù)，提示需用洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化分式。注意到x→0，1-cosx2～x4，在應(yīng)用洛必達(dá)法則之前，先進(jìn)行等價(jià)無窮小替換。

解：

例2（2008考研數(shù)學(xué)一）求極限：

解：原式=（用洛必達(dá)法則）

此題求解的過程首先應(yīng)用重要極限公式=1進(jìn)行化簡(jiǎn)，之后用洛必達(dá)法則，在用完一次洛必達(dá)法則又進(jìn)行化簡(jiǎn)。一般的，在考研求有限個(gè)函數(shù)相加減的極限時(shí)，極限存在的先算出；求有限個(gè)函數(shù)相乘的極限時(shí)極限存在且不為零的先求出，這樣可以簡(jiǎn)化求解過程。

例3（2014年考研數(shù)學(xué)一、二、三）求極限：

分析：分子是變限積分確定的函數(shù)，提示需用洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化分式。若直接對(duì)分子分母求導(dǎo)，分子可以簡(jiǎn)化，分母則變復(fù)雜。注意到x→∞，→0，ln1+～先對(duì)分母做等價(jià)無窮小替換。

解：

在此我們看到一個(gè)∞-∞型未定式極限。對(duì)于∞-∞型未定式極限常用的方法有：①若函數(shù)中有分母，通常采用通分后將加減法轉(zhuǎn)化為乘除法，以便于應(yīng)用其它的依據(jù)（比如洛必達(dá)法則）；②若函數(shù)中沒有分母，可采取提公因式、分子有理化、作倒代換等方法。當(dāng)題設(shè)為x→∞時(shí)，可做倒代換t=，轉(zhuǎn)化為t→0再求解。

令u=，則

這時(shí)它又是一個(gè)型的未定式極限，再用洛必達(dá)法則

例4（2017考研數(shù)學(xué)二）求極限：

解析：分子是變限積分確定的函數(shù)且分子的被積函數(shù)含參數(shù)x，積分變量是t，在積分過程中x是常數(shù)，應(yīng)將x分離出來提到積分號(hào)外。

解：令x-t=u，則有t=x-u，dt=-du；t=0，u=x；t=x，u=0

原式=

例5（1997年考研試題）求極限：

解：由=，x→0，ln（1+x）～x得

可用洛必達(dá)法則，但出現(xiàn)循環(huán)、繁瑣、不好約分化簡(jiǎn)，注意到=1把它拆分后先算出。

一般地，若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有當(dāng)sin與cos或sinx與cosx時(shí)一般不用洛必達(dá)法則，而考慮用無窮小量的性質(zhì)：無窮小量乘以有界變量仍是無窮小。

3 總結(jié)

洛必達(dá)法則是求解，未定式極限的一種非常有效的方法，應(yīng)用洛必達(dá)法則之前要化簡(jiǎn)，很多問題如果不化簡(jiǎn)就計(jì)算，計(jì)算過程會(huì)非常的繁瑣，有的甚至可能計(jì)算不出結(jié)果。化簡(jiǎn)的方法有：①求有限個(gè)函數(shù)相加減的極限時(shí)，極限存在的要先算出；②求有限個(gè)函數(shù)相乘除的極限時(shí)，極限存在且不為零的先算出；③等價(jià)無窮小替換。對(duì)于變限積分表示的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，如果被積函數(shù)中含參數(shù)，要先通過換元將參數(shù)分離出來，提到積分號(hào)前面再求導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

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