謝春華+陳海烽

[摘 要] 本文通過分析，界定學(xué)生說題的定義，接著展示一個(gè)學(xué)生利用微課說題的案例和學(xué)生制作微課的體會(huì)，從而提出可以開展讓學(xué)生通過一道題制作微課的學(xué)生說題活動(dòng)，提出學(xué)生制作微課，可以提高他們的學(xué)習(xí)效益，提高他們的思維能力，提高他們的自我效能的觀點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 微課；學(xué)生說題；案例

所謂微課，一般是指時(shí)間小于15分鐘的微視頻講解. 說題，就是將題目的解答思路、方法和解題過程展示出來，達(dá)到給予聽眾啟發(fā)或共鳴的目的. 學(xué)生說題微課是指學(xué)生自己制作微視頻，將自己對(duì)一道題的解答過程分析出來，展示給其他同學(xué). 微課具有可重復(fù)使用的優(yōu)越性，可以迅速在全國(guó)傳播開來，但是讓學(xué)生特別是初中生自己制作微課，展示自己對(duì)一道題的解題分析，案例尚不多見. 由于筆者承擔(dān)了一個(gè)省級(jí)課題的緣故，筆者將之付諸實(shí)踐.

正巧，筆者參加了一個(gè)區(qū)級(jí)的說題教研活動(dòng)，說題的題目選自2016年福建三明市中考第25題，在說題過程中，筆者展示了筆者所在學(xué)校一位學(xué)生獨(dú)立制作的微課，微課的內(nèi)容就是解題過程，受到在場(chǎng)所有老師的稱贊，都說“學(xué)生的能量不可估量”！在贊嘆學(xué)生能力的同時(shí)，教師紛紛對(duì)我們的課題表現(xiàn)出了濃厚的興趣. 現(xiàn)將該生的微課說題過程整理如下.

學(xué)生的微課說題過程

1. 題目呈現(xiàn)

如圖1，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長(zhǎng)的最小值與最大值.

2. 微課說題過程

作為2016年福建三明市的中考?jí)狠S題，題目表達(dá)的是兩個(gè)等腰直角三角形旋轉(zhuǎn). 第（1）問要證明BD=CE，已知條件是兩個(gè)等腰直角三角形（配上PPT動(dòng)畫演示，把已知條件中的兩等腰直角三角形的兩條直角邊加粗、上色，直角標(biāo)出，要證明的兩條邊BD，CE用與已知條件不同的顏色加粗，著重顯示）. 很明顯，條件和目標(biāo)在兩個(gè)相同的三角形中（PPT顯示△ADB和△AEC），所以只要證明這兩個(gè)三角形全等就可以證得BD=CE. （下面是PPT顯示的詳細(xì)解題過程以及相應(yīng)的圖形，即圖2）

對(duì)于第二種情況，即點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，方法與第一種情況相同（PPT展示具體的解題過程，重要結(jié)論打紅色“√”，配圖如圖5），具體的解題過程如下：

第（2）②問是求在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中BP的最大值和最小值. 因?yàn)锽為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，所以要求BP的最大值與最小值，要清楚點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 注意到在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中△ADB≌△AEC是確定的，所以∠DBA=∠ECA. 因?yàn)椤螦BC+∠ACB=90°，所以∠PBC+∠PCB=90°. 所以∠BPC=90°. 所以點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（PPT演示點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，即以BC為直徑的圓，配圖如圖6）.

顯然，當(dāng)BP所對(duì)的圓周角越小時(shí)，BP越?。划?dāng)BP所對(duì)的圓周角越大時(shí)，BP越大. 但是，對(duì)于這個(gè)圓周上的任何一點(diǎn)，點(diǎn)P都能到達(dá)嗎？這要回到點(diǎn)P的定義中去看. 題干中給出點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)，那么射線BD，CE到不了的地方，點(diǎn)P就到不了. 在點(diǎn)B，D，C，E中，B，C兩點(diǎn)為定點(diǎn)，D，E兩點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn). D，E在以A為圓心、1為半徑的圓（⊙A）上運(yùn)動(dòng)（PPT動(dòng)畫顯示以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓，并用紫色凸顯），所以CE與⊙A要有交點(diǎn)，點(diǎn)P才能存在. 要求CE與圓有交點(diǎn)，又要求∠BCP的最小值，所以BP取得最小值時(shí)，就是CE與⊙A在下面相切（圖7）時(shí)；當(dāng)取得最大值時(shí)，就是CE與⊙A相切在上面（圖8）時(shí)（PPT演示CE與⊙A相切的兩種情況）. 思路理清了，解題過程就很簡(jiǎn)單了. 下面是詳細(xì)的解題過程：

（2）②因?yàn)樵凇鰽DE旋轉(zhuǎn)的過程中，

始終有△ADB≌△AEC，

所以∠DBA=∠ECA.

因?yàn)椤螦BC+∠ACB=90°，

所以∠PBC+∠PCB=90°.

所以∠BPC=90°.

所以點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).

因?yàn)锳D=AE=1，所以在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)D，E始終在以點(diǎn)A為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（記作⊙A）.

因?yàn)辄c(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)，

所以當(dāng)CE與⊙A相切時(shí)，BP取得最小值（圖7）和最大值（圖8）.

總結(jié) 求幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題的方法：（1）尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有時(shí)動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)上運(yùn)動(dòng)，有時(shí)在圓上運(yùn)動(dòng)，有時(shí)在拋物線上運(yùn)動(dòng). （2）尋找動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍，這要回到動(dòng)點(diǎn)的定義中去求. （學(xué)生邊說，邊PPT演示總結(jié)過程，PPT如圖9）

學(xué)生感悟

因?yàn)檫@個(gè)微課是我們課題組布置給學(xué)生的任務(wù)，我們只提供題目，其他PPT和微視頻的錄入都是學(xué)生自己一手完成，因此課題組對(duì)學(xué)生如何完成這個(gè)過程很感興趣. 為此，筆者讓學(xué)生寫出其微課制作過程的心得體會(huì).

感 悟

九年五班 陳姝妍

本次做的解題視頻是2016年福建三明市最后一道題，這道題涉及等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn). 這類題我們從初一做到初三，但每次遇到只有似曾相識(shí)的熟悉感，卻沒能一針見血地解答.

本來因?yàn)榉N種原因，這道題我沒做，課堂上老師有講解，我只把老師說的重點(diǎn)和答案抄了下來. 過了幾天，老師讓我做這道題的視頻，我才把扔在柜子里的卷子找出來，花了幾十分鐘做了一遍，發(fā)現(xiàn)我原來連答案都抄錯(cuò)了. 這是我們普遍存在的問題，好題太多，難題做不完，老師卻只有一個(gè)，嗷嗷待哺的學(xué)生近百個(gè)，加上時(shí)間不夠，有時(shí)就要與部分?jǐn)?shù)學(xué)題錯(cuò)過.

認(rèn)真做這個(gè)視頻的原因之一是我覺得這個(gè)視頻有存在的意義，可以給很多和我一樣的同學(xué)一些時(shí)間去理解這道題，再給我們一次聽這道題解法的機(jī)會(huì).

對(duì)我而言，決定要做視頻了，要給同學(xué)講題了，那我就會(huì)不自覺地轉(zhuǎn)換角度看試題，不只是解決問題，而是解析試題. 這樣一折騰，對(duì)于這道題甚至是這次做視頻，我都有許多感觸.

為了讓更多的人聽懂，自己首先要很懂很懂，所以我把題目重新看了好幾遍，看到第三遍，才發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的第（1）問有更簡(jiǎn)單的解法，之前我做了一條輔助線，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)只要運(yùn)用全等三角形，一步就可以完成. 既然是簡(jiǎn)單題，就要用最優(yōu)方法迅速解決，給后面的難題、好題留足時(shí)間.

在第（2）②問中，題目只要求寫答案不用寫過程，我原來隱約感覺可能和圓有關(guān)，求最值最可能的就是相切的時(shí)候，算是半蒙半猜寫出來的. 但是既然是講給別人聽，這樣模模糊糊的觀念不容易表達(dá)，也不準(zhǔn)確，所以我研究了一會(huì)兒，發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型中還隱藏著另外一個(gè)圓，之前老師沒有特別強(qiáng)調(diào)，所以我當(dāng)時(shí)聽了就省略了，但其實(shí)這是問題的關(guān)鍵. 之后，我將兩個(gè)圓結(jié)合起來，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，說明了為什么相切時(shí)BP取到最值.

也許此時(shí)我依然沒有領(lǐng)悟到動(dòng)點(diǎn)問題的精髓所在，但開始錄視頻的時(shí)候，我嘗試著用通俗的語言來表達(dá)出抽象的規(guī)律. 語言最奇妙的地方就在于，當(dāng)你說出你的想法時(shí)，腦海中的想法會(huì)受到表達(dá)方式的微妙影響. 然后我靈光一現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)是動(dòng)的，但規(guī)律卻是固定的！其他題目，哪怕不是在圓上運(yùn)動(dòng)，在拋物線或在直線上運(yùn)動(dòng)，只要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到對(duì)應(yīng)的定義域，再略加分析，就能解決所有此類型的動(dòng)點(diǎn)最值問題——這一總結(jié)才是我最大的收獲.

不管這個(gè)視頻對(duì)別人而言如何，于我就是一次沉下心思考、總結(jié)的過程，我竟意外地在路上撿到許多灑在腳下的珠寶，收獲滿滿.

教學(xué)啟示

1. 學(xué)生微課說題可以提高他們的學(xué)習(xí)效益

學(xué)習(xí)金字塔（圖10）最早是由美國(guó)學(xué)者、著名的學(xué)習(xí)專家愛德加·戴爾1946年發(fā)現(xiàn)并提出的，主要是考查學(xué)生兩周后對(duì)于知識(shí)還能記住多少. 從中我們發(fā)現(xiàn)，塔頂就是我們最常見的第一種學(xué)習(xí)方式——聽講，學(xué)習(xí)保持率為5%. 而塔底是最佳的學(xué)習(xí)方式，就是“教別人”或者“馬上應(yīng)用”，可以記住90%的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 學(xué)生微課說題，就是讓學(xué)生進(jìn)行信息輸出，他們首先要完成對(duì)本試題的理解，在此基礎(chǔ)上才有可能輸出. 從學(xué)生做微課的感受我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生本來只抄寫了解題重點(diǎn)和答案，后來卻花了幾十分鐘去解析試題，從解析試題中我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生終于理解并達(dá)到通透的層次. “然后我靈光一現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)是動(dòng)的，但規(guī)律卻是固定的！”從中可以看出一個(gè)學(xué)生鳳凰涅槃、破繭成蝶的過程. 這個(gè)過程讓學(xué)生所獲數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)比原來做許多類似的題還要多.

2. 學(xué)生微課說題可以提高他們的思維能力

學(xué)生在解析試題的過程中，通過審題，給試題的條件進(jìn)行標(biāo)注，可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)全等三角形. 這其實(shí)就是我們經(jīng)常告訴學(xué)生的“要怎么做”. 這里學(xué)生自己已經(jīng)體會(huì)到如何做，而且通過學(xué)生來告訴學(xué)生，顯然更具可信度. 換句話說，就是更接地氣. 從學(xué)生研題的過程可以看出，學(xué)生開始感到本題和圓有關(guān)，但這只是她的直覺，后來通過研究最終證實(shí)了這一想法的正確性，而且還在此過程中發(fā)現(xiàn)了老師在課堂上沒有講的東西. 由此不難看出學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 最妙的是，學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)最值問題規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，這也是本題的奧妙所在，這個(gè)規(guī)律是今后解決一大類動(dòng)點(diǎn)問題的基礎(chǔ). 有個(gè)這個(gè)思維上的突破，等于提高了自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象能力.

3. 學(xué)生微課說題可以提高他們的自我效能

學(xué)生通過自己呈現(xiàn)微課，做自己同學(xué)的老師，能留住自己的東西，同時(shí)感受到自己存在的價(jià)值. 同學(xué)也會(huì)對(duì)自己有更嚴(yán)格的要求，正如學(xué)生所說：“我嘗試著用通俗的語言來表達(dá)出抽象的規(guī)律. 語言最奇妙的地方就在于，當(dāng)你說出你的想法時(shí)，腦海中的想法會(huì)受到表達(dá)方式的微妙影響. ”同時(shí)學(xué)生還闡述了自己對(duì)找到規(guī)律時(shí)表現(xiàn)出的興奮，即發(fā)現(xiàn)了解決動(dòng)點(diǎn)最值問題的一般方法，這是學(xué)生送給自己最好的禮物. 我們有理由相信，通過微課說題，學(xué)生會(huì)更加自信地出現(xiàn)在考場(chǎng)，對(duì)動(dòng)點(diǎn)最值問題不再犯愁.

通過課題組成員的共同努力，我們對(duì)學(xué)生微課說題的生命力充滿了信心. 現(xiàn)在很多學(xué)生已加入微課說題制作的大軍，學(xué)生由被動(dòng)聽題到自己主動(dòng)說題，由原來的無序思維和混沌狀態(tài)到邏輯有序，隨著學(xué)生微課說題案例的豐富，我們強(qiáng)烈地感受到了學(xué)生的成長(zhǎng). 教學(xué)相長(zhǎng)，這也促使教師在提供試題給學(xué)生時(shí)要更加重視試題的代表性，使學(xué)生成為某道題甚至某類題的專家.