◇曾秀真

從關注思考的答案到關注答案的思考
——小學生高層次數(shù)學思維能力評價方法案例研究

◇曾秀真

一、問題的提出

1.為什么要測查高層次數(shù)學思維能力？

在學生學習了異分母分數(shù)加減法之后，可以設計下列題目進行鞏固練習：

有人用這些題對某區(qū)2220名小學五年級學生進行檢測，發(fā)現(xiàn)學生解題正確率達93%，由此得出結論，學生對異分母分數(shù)加減法的計算掌握得較好。但是，用這樣的題目以這樣的方式進行檢測，考查的是學生對異分母分數(shù)加減法以及對通分、約分、分數(shù)化簡等相關基礎知識和基本技能的掌握情況，很難區(qū)分出學生數(shù)學能力水平的差異。倘若教學中不能發(fā)現(xiàn)那些具有高層次思維能力的學生，就不可能對他們施加有效影響，實施有差異的教學，開發(fā)學生高層次的數(shù)學思維能力也不可能真正落到實處。因此，評價學生高層次的數(shù)學思維能力，需要開辟新的途徑。

2.如何命題才能評價學生的高層次思維能力？

一般來說，測試題的命制應具備三個基本條件：一是基礎落實，二是思路開放，三是策略多樣。以上5道異分母分數(shù)加減法測試題，如果選擇其中1道題，并對命題思路進行調整，可作如下改編。

二、設計的意圖

①式是異分母分數(shù)相加，聯(lián)系到公倍數(shù)、通分、同分母分數(shù)加法等最基本的數(shù)學知識與技能。②式從形式上看只是①式的逆向題，但聯(lián)系的知識基礎與解決問題的策略與方法發(fā)生了很大的變化，不僅思路更加開放、方法更加靈活，而且所承載的數(shù)學思想方法更加多樣，對學生的高層次數(shù)學思維能力構成了挑戰(zhàn)。

1.數(shù)學方法分析。

（1）當b-a=1時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤4；

（2）當b-a=2時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤8；

（3）當b-a=3時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤12；

（4）當b-a=4時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤17；

（5）當b-a=5時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤21；

（6）當b-a=6時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤25；

（7）當b-a=7時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤30；

（8）當b-a=8時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤34；

（9）當b-a=9時，a有正整數(shù)解，且0＜a≤38；

……

結論：當b＞a，且b取大于1的任意正整數(shù)時，a有正整數(shù)解，其取值范圍由b-a的差決定，b與a的差越大，a的取值范圍也越大，并呈現(xiàn)出規(guī)律性變化，即：對于每一個b-a的差，對應的a的最大正整數(shù)解每三個又可看成一個公差是4的等差數(shù)的集合，且集合間連接數(shù)的差均為5。

2.解題思路分析。

（3）根據(jù)和與加數(shù)關系逆算：減法是加法的逆運算，運用“和－一個加數(shù)＝另一個加數(shù)”，可先設定一個分數(shù)作為一個加數(shù)，再用減去設定的分數(shù)，算出另一個加數(shù)。

以上方法中，若只采用思路（1）只能得到6個算式，而采用思路（2）和（3）雖然可寫很多，但會碰到計算煩瑣導致出錯或思路中斷，均需要有序思考，對數(shù)感有較高的要求，且靈活變換解題思路，才能在短時間內寫出不同算式。

三、評價標準及測試結果的分析

1.評分標準的確定分析。

為了更好地檢測學生的高層次思維水平，我們在全國著名特級教師、浙江省功勛教師張?zhí)煨⒗蠋熤笇?，提出如下評分標準：

類別要求答案個數(shù)或解題方法種數(shù)每個答案或每種方法得分 總分基準分 4個答案 3分/個 12加分 3種方法 3分/種 9合計 21

根據(jù)解題要求“不少于4個算式”，評分時以答案達到4個算式為基準，每個算式正確得3分，基本分共12分。為了區(qū)分學生解題時不同的思維能力水平，我們對學生作業(yè)中的三項表現(xiàn)進行了加分：一是答案超過4個算式的加3分，二是有序思考的加3分，三是能運用擴分思路解題的加3分。以上三項加分分別對應于思維的三種品質，不同項的加分可以累加，最多共加9分。此題合計總分為21分。

2.測試結果的統(tǒng)計分析。

2014年6月中旬，我們在浙江省和四川省使用不同版本教材的省城學校、一般城鎮(zhèn)學校中，隨機抽取2220名五年級學生進行測試，結果顯示不同區(qū)域學校的學生各分數(shù)段人數(shù)比例基本與總人數(shù)比例相接近（相關統(tǒng)計圖略），可以看出這些樣本的代表性，說明能力測試題即便是受到地區(qū)差異、教材不同等因素影響，也能檢測出學生解決問題能力的差異。

全體被試的平均分是12.87，難度值是0.58，區(qū)分度是0.50。這里的難度系數(shù)接近0.6，屬于較難題，且有非常好的區(qū)分度，可以作為能力測查中的優(yōu)選題。應特別指出的是，平均分剛好略高于評分標準所制定的基準分12分，正好成了評判學生是否具有高層次思維能力的臨界線。為了進一步說明有效性，我們對省城學校與城鎮(zhèn)學校進行重新分類，分實驗學校（即優(yōu)質學校）與普通學校兩大類，并從上述2220名學生中隨機抽取1282名學生，對各分數(shù)段分布情況進行統(tǒng)計，結果如下圖：

以12分作為區(qū)分低層次思維能力和高層次思維能力的臨界分，上圖可明顯分為兩部分：0～9分為低層次思維水平，其人數(shù)共占總人數(shù)的17.7%；12～21分為高層次思維水平，其人數(shù)共占總人數(shù)的82.3%。

高層次數(shù)學思維水平又可以由低到高分成不同的維度。為了進一步分析，我們對學生的創(chuàng)造性思考方法所得的加分進行統(tǒng)計，以12分為基準分，對學生解答中不同的思路與答案數(shù)，分4種不同的情況進行加分，分別稱為：“加0分”“加3分”“加6分”“加9分”，四類加分情況及所占比例如下表：

水平維度百分比加0分 加3分 加6分 加9分20.2% 30.3% 29.5% 2.3%

此表表明，如果我們把高層次思維水平分成四個維度，那么四個維度的學生分布呈正態(tài)分布，這就建立了一個評價常模。

我們還將實驗學校與普通學校學生的高層次思維維度分布情況進行統(tǒng)計分析，如下圖。

從兩類學校的比較中發(fā)現(xiàn)，普通學校學生的高層次思維水平各維度的分布較為均衡，實驗學校則表現(xiàn)出更大的差異性，且實驗學校學生的高層次思維水平發(fā)展明顯優(yōu)于普通學校學生。

四、解題思路的差異性分析

我們以典型的學生作品為例，分析解題思路的差異性，著重從作品中所展現(xiàn)的解決問題視角來評判學生的高層次數(shù)學思維能力。

1.理解及應用（加0分）。

學生作品1：

水平分析：做對3題得9分，未達基準分。錯在約分后，瞬時記憶或聯(lián)想出錯，將約分后的數(shù)加上原約分前的數(shù)，導致不能有效運用知識解決問題。假設能夠及時調整思路，則為理解及應用水平。

這一思維水平需要理解及概括開放性算式的完整意思，把所學異分母分數(shù)加減相關的通分、約分等知識技能有效應用于解題過程中，進行可逆聯(lián)想。

2.推理及簡化（加3分）。

學生作品2：

水平分析：后幾式是在前幾式的基礎上，進行合情類推而得。這種推算有時無效，如只是對前面算式進行等值擴倍；有時有效，如對和進行重新拆分逆算；有時高效，如形成有序思考。此時規(guī)定，超過4個算式，無論幾個算式，均加3分，高于這一水平的再加分。

這一思維水平要求能在解題過程中進行合情推理，迅速而廣泛地將相關運算過程進行簡化，再造出更多符合要求的算式來。

3.有序及靈活（加6分）。

學生作品3：

水平分析：在逆向拆分思考過程中，存在各種不同的“序”?？梢园捶帜傅囊驍?shù)從小到大，先拆分出分數(shù)單位來，再用和減去這個分數(shù)單位，得到另一個加數(shù)，此題正是這樣思考；也可以直接將和進行有序拆分，如上圖；還可以對和進行有序擴倍拆分。

這一思維水平要求在逆向拆分時，腦中隨時閃現(xiàn)出有序思考的方法策略，同時還要靈活調整解題思路。

4.綜合及創(chuàng)造（加9分）。

學生作品4：

水平分析：用最少算式，得到加分卻最多，這是概括，是簡約思維，有創(chuàng)意。

學生作品5：

水平分析：兩種解題思路，兩類解題方法，本質相同，靈活、深刻、綜合。

這一思維水平要求綜合運用知識，并觸類旁通、創(chuàng)造性解題，能根據(jù)和與其中兩個加數(shù)的關系在不同變化規(guī)律與方法中尋找不變的本質，達到真正的概括與簡約。

以上學生作品中，對分數(shù)分解式有多種不同的表達方式，說明不同學生在解題過程中暴露了不同的差異，我們以此來關注如何思考問題的過程，分析評價小學生不同程度的數(shù)學能力發(fā)展水平。

五、反觀測查后的問題及思考

我們追溯與高層次思維相關的概念，從數(shù)學思維品質的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性等，反觀本次測查與評價，盡可能從學生的思考中考察高層次思維含量。

1.思維批判性的評價。

為什么不要求所有解答有序才加3分，而只要局部有序就可以加3分？

學生作品6：

學生作品7：

過程中評價思維批判性了嗎？高層次思維能力體現(xiàn)在過程中，而不是結果上，關鍵是分析學生有沒有解決問題的思路，而不是關注答案的數(shù)量。超過4個算式的，不管多寫幾個均加3分，不以解答的個數(shù)來衡量思維水平的高低，而是進一步以有序解題加3分來衡量，這樣可以分辨思維狀態(tài)是處于混亂還是清晰。

我們發(fā)現(xiàn)，有的學生一開始就有序思考，而有的學生一開始無序解答，但能及時調整思路展開有序思考，他們邊解題邊總結、反思，在尋找方法和經驗過程中，形成了思維的深刻性和批判性。這就表明，具有高層次思維能力的學生，在批判性方面表現(xiàn)出能及時糾正，能在比較中進行合情推理、分類、評估與監(jiān)控，找出最佳方法或結論。

2.思維深刻性的評價。

錯得越多，扣分也應越多，為什么現(xiàn)在出錯了還比全對的得分高？

學生作品8：出錯了！

分析：錯了3題得滿分，并加9分！錯誤分別是在擴分時，按分母的奇數(shù)倍擴大后造成的：擴11倍時，所拆另一分數(shù)約分后分母88錯算為89；擴13倍時，分母208錯寫成200，26錯寫成25；擴17倍時，分子為13錯位觀察為總和的分子221。

學生作品9：全對了！

范例里追溯思維深刻性了嗎？為什么出錯還給滿分21分？為什么全對才給18分？這不是評價出錯，而是評價觀念不同。學生作品9中，超過4個算式只能加3分，有序思考加3分，此外，沒有其他靈活解題方法與策略就不再加分。這樣的評價不以解題結果為標準，而是以思維的深刻性和靈活性為準繩。

具有高層次數(shù)學思維的小學生，在深刻性方面表現(xiàn)出能發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象的內在聯(lián)系，能主動尋找普遍意義的方法、模式，并遷移、推廣到一般情境中；在靈活性方面表現(xiàn)出能從多個角度和多方向考慮問題，能運用多種不同方法來解決問題，并且正向思考與逆向思考互換自如，及時調整思路。

3.思維敏捷性的評價。

為什么不單獨在8分鐘內完成，而在學生做完前面4道題后完成？

學生作品10：

統(tǒng)整時考查思維敏捷性了嗎？用30分鐘完成以上5道題，不同學生的時間分配各不相同，如果前4題所花時間多了，則第5題只能短時間里分拆分數(shù)，知識技能越差，運用起來越緩慢。作品10表明學生知識技能已過關，為什么第4題能拆分，而第5題不能？分析原因，一是第4題分數(shù)稍簡單；二是從第5題錯例中得到，分子相加都等于13，但這不是同分母分數(shù)相加。說明該生正向思維與逆向思維統(tǒng)配時失調，只需稍作引導即可，或者說只要單獨給足8分鐘，突破0分很有希望。由此，這種以題組系列進行的評價，有利于考查思維的敏捷性，使學生在思維敏捷性方面表現(xiàn)出能很快理解題意并判別題目模式，自覺運用方法，縮短解題時間。

對于學生來說，在解決非常規(guī)問題的過程中，當一種方法無法滿足時，需要變序思考其他解題策略，這時綜合應用能力和思維的創(chuàng)造性便顯露出來，說明這樣的評價具有考查學生創(chuàng)造性思維能力的功效。具有高層次思維能力的學生，在創(chuàng)造性方面表現(xiàn)出能從“新視角”觀察與分析，不受常規(guī)限制，能產生創(chuàng)造性想法。

（作者單位：浙江溫州市鹿城區(qū)教師培訓和科研中心）