◇彭永新

溝通聯(lián)系 感悟思想 整體訓(xùn)練
——“數(shù)與數(shù)的運(yùn)算”總復(fù)習(xí)建議

◇彭永新

“數(shù)與數(shù)的運(yùn)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)，內(nèi)容較多。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生把平時(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)容加以梳理、歸納和提煉，幫助學(xué)生溝通數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，深化對(duì)數(shù)的意義和算理的理解呢？

一、溝通數(shù)的聯(lián)系，突出數(shù)的本質(zhì)

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)等知識(shí)的學(xué)習(xí)貫穿于整個(gè)小學(xué)階段。學(xué)生在新知學(xué)習(xí)和學(xué)期復(fù)習(xí)中已建立了很多聯(lián)系，對(duì)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系也有初步的認(rèn)識(shí)。因此，在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從更高的層面進(jìn)行全面的梳理，凸顯知識(shí)的本質(zhì)屬性，形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到發(fā)展思維、溫故而知新的復(fù)習(xí)目的。

1.緊扣“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”整合整數(shù)、小數(shù)。

整數(shù)、小數(shù)的數(shù)位順序表中，既有整數(shù)的計(jì)數(shù)知識(shí)，也有小數(shù)的計(jì)數(shù)知識(shí)，多數(shù)計(jì)數(shù)知識(shí)是相通且大同小異的，應(yīng)該幫助學(xué)生形成有較高概括度的計(jì)數(shù)觀念。教學(xué)時(shí)，建議學(xué)生先回憶整數(shù)、小數(shù)的意義和計(jì)數(shù)方法，可以用舉例的方式說說什么是整數(shù)、小數(shù)，如3表示3個(gè)一，0.35表示百分之三十五等。

在簡(jiǎn)單回憶整數(shù)、小數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生建構(gòu)統(tǒng)一的計(jì)數(shù)方法。如讓學(xué)生說說整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位及相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率，并填寫整數(shù)、小數(shù)的數(shù)位順序表，使學(xué)生清楚地建構(gòu)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的本質(zhì)：①相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率都是10；②“位值原則”，即哪一位上的數(shù)字是幾，就表示幾個(gè)相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位。在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)的讀寫、大小比較及求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)的方法。

2.緊扣“倍數(shù)和因數(shù)”概念，整合“數(shù)的整除”相關(guān)概念。

有關(guān)倍數(shù)和因數(shù)的概念很多，聯(lián)系緊密，但又容易混淆。復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)緊緊抓住“倍數(shù)和因數(shù)”這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將有關(guān)概念整理成圖1的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生通過構(gòu)造這個(gè)結(jié)構(gòu)將數(shù)的整除相關(guān)概念有機(jī)地串聯(lián)起來。

圖1

3.緊扣“倍比關(guān)系”，連接分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)與比。

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比都能表示一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，但它們也有不同，如，分?jǐn)?shù)有時(shí)還能表示一個(gè)數(shù)量是多少，而百分?jǐn)?shù)和比則不能。因此，復(fù)習(xí)時(shí)可以創(chuàng)設(shè)“等價(jià)”問題，鼓勵(lì)學(xué)生自主構(gòu)建分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)與比之間的聯(lián)系。

如出示“紅花有4朵，黃花有5朵”的情境，請(qǐng)學(xué)生說明紅花朵數(shù)與黃花朵數(shù)之間的關(guān)系。在學(xué)生用分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等不同形式表示兩者之間關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些數(shù)進(jìn)行重新審視，讓學(xué)生嘗試“換一種方式”說話，感受它們之間的共性，從而產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。

再如僅出示“白兔比黑兔多25%”這一條件，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度描述白兔和黑兔只數(shù)之間的關(guān)系，體會(huì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)之間的共性，即分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)都可以表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間的比，比是它們共有的特性，比的方式最能揭示數(shù)量間的本質(zhì)，是直觀明了的表達(dá)方式。

二、感悟數(shù)學(xué)思想，形成能力系統(tǒng)

數(shù)的運(yùn)算涉及許多知識(shí)，主要有四則運(yùn)算的意義、四則運(yùn)算的方法、混合運(yùn)算的順序、運(yùn)算律與簡(jiǎn)便計(jì)算等。在教學(xué)中，不能僅滿足于學(xué)生能熟練、正確地“算”，還要按照課標(biāo)提出的“四基”要求，用數(shù)學(xué)思想的魂來整合運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，提升運(yùn)算技能，形成運(yùn)算能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1.在“變與不變”中，統(tǒng)整整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算法則。

對(duì)于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)、兩位數(shù)的運(yùn)算法則的歸納整理，可以用題組的方式進(jìn)行辨析，發(fā)現(xiàn)其中的“變”與“不變”，感受整數(shù)、小數(shù)四則運(yùn)算的統(tǒng)一性。

如出示23×5、23×45、234×45，讓學(xué)生說說：從兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法到三位數(shù)乘兩位數(shù)，法則有什么樣的變化？能不能用同樣的方法來歸納多位數(shù)乘多位數(shù)的法則？再如出示 234×5、23.4×5、2.34×0.5，從整數(shù)乘法到小數(shù)乘法，又有怎樣的“變”和“不變”？通過比較使學(xué)生對(duì)法則的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識(shí)，將整數(shù)、小數(shù)的乘法運(yùn)算歸結(jié)為相同的結(jié)構(gòu)：從末位算起，滿十進(jìn)一等。

2.在“推理與轉(zhuǎn)化”中，溝通分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算算理。

從表面來看分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，與整數(shù)、小數(shù)的有很大差異，但其實(shí)質(zhì)是相通的。如分?jǐn)?shù)加減法強(qiáng)調(diào)的是相同單位的數(shù)進(jìn)行加與減，這和整數(shù)、小數(shù)“相同數(shù)位相加減”是一回事兒。明白這一道理，計(jì)算就不再是簡(jiǎn)單的技能問題，而是一種思維推理，學(xué)生自然就會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算法則產(chǎn)生自覺“轉(zhuǎn)化或類比”的思想意識(shí)。

3.在“按序與求簡(jiǎn)”中，優(yōu)化四則混合運(yùn)算能力。

對(duì)于四則混合運(yùn)算的復(fù)習(xí)，重在運(yùn)算順序的整理和運(yùn)算律的應(yīng)用，選擇合適的方法計(jì)算，是運(yùn)算能力強(qiáng)的具體體現(xiàn)。

值得注意的是，在數(shù)的運(yùn)算復(fù)習(xí)過程中，還要重視口算（心算）、估算以及用計(jì)算器計(jì)算等計(jì)算方式的有機(jī)補(bǔ)充，并將這些計(jì)算方式和筆算、簡(jiǎn)算統(tǒng)整為一個(gè)有機(jī)的整體（如圖2），以形成科學(xué)運(yùn)算的意識(shí)和能力。

圖2

三、加強(qiáng)整體訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.在“題組訓(xùn)練”中，厘清相似概念。

總復(fù)習(xí)階段，知識(shí)繁多，練習(xí)必須精心巧妙地設(shè)計(jì)，可以將相似易混淆的知識(shí)編排為一組，抑或?qū)⑶昂笥新?lián)系的知識(shí)編排在一起，使學(xué)生在一道題的練習(xí)中分辨是非、區(qū)分聯(lián)系、串聯(lián)整體知識(shí)。如出示下面各數(shù)：45%、、55%、128%，讓學(xué)生選擇填空。

（1）食堂運(yùn)來一批大米，今天吃掉了（ ）。

（2）食堂運(yùn)來一批大米，今天吃掉了（ ）噸。

（3）合唱隊(duì)中男生人數(shù)是女生人數(shù)的（ ）。

這道題提供多個(gè)數(shù)讓學(xué)生有選擇地思考，思維的空間比較大。在選擇合適的數(shù)據(jù)解決問題時(shí)，要充分考慮分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，其中第（2）題只能選擇分?jǐn)?shù)，因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)之間的比率關(guān)系，而第（1）題和第（3）題都是表示比率關(guān)系，但又有區(qū)別，第（1）題不能超過1，第（3）題所有的數(shù)都適合。這道開放性的問題，能很好地幫助學(xué)生厘清分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系。

2.在“一題多解”中，融合不同思路。

一題多解類的練習(xí)，能啟發(fā)學(xué)生從不同的角度，用不同的方法去分析、解決同一問題。如，讓學(xué)生用不同方法計(jì)算0.25×44。

解法1：0.25×4×11=1×11=11；

解法2：0.25×4+0.25×40=1+10=11；

解法3：用豎式計(jì)算；

……

對(duì)這些不同的解法（利用運(yùn)算律計(jì)算、豎式計(jì)算和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算）進(jìn)行比較，將有助于溝通不同方法間的聯(lián)系。

再如：把 2、3、9、10、13、16、25、33、45等9個(gè)自然數(shù)，按不同的標(biāo)準(zhǔn)分成兩類，你有幾種分法？這道題的思路有很多，可以按奇數(shù)、偶數(shù)來分；可以按是不是質(zhì)數(shù)來分；可以按照是不是3的倍數(shù)、有沒有因數(shù)5等來分。這樣就可以將奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、3的倍數(shù)及5的倍數(shù)等概念融為一體，反映出學(xué)生對(duì)“因數(shù)與倍數(shù)”這一內(nèi)容的整體理解和應(yīng)用水平。

3.在“多題一解”中開闊視野。

在運(yùn)用“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)較復(fù)雜的問題情境，不僅可以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的意義，鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)乘除計(jì)算方法的掌握，更重要的是可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。如出示：

如果僅解答第（2）題，學(xué)生往往會(huì)對(duì)耗油量和行駛路程之間關(guān)系的理解產(chǎn)生困惑，而通過解答第（1）題，讓學(xué)生比較兩道題的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生借助時(shí)間與路程之間的關(guān)系，來類推汽車耗油量與行駛路程之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)很好地解決學(xué)生的困惑。

在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解決方法異同的比較中，幫助學(xué)生對(duì)不同情境下的問題解決進(jìn)行有效的溝通融合，形成選擇最佳思路的創(chuàng)新思維?？沙鍪荆?/p>

（2）菜場(chǎng)運(yùn)來番茄300千克，黃瓜的質(zhì)量是番茄的1.25倍，運(yùn)來黃瓜多少千克？

（3）菜場(chǎng)運(yùn)來一些番茄和黃瓜，番茄質(zhì)量和黃瓜的比是4∶5。番茄是300千克，黃瓜有多少千克？

（4）菜場(chǎng)運(yùn)來一些番茄和黃瓜，番茄的質(zhì)量占兩種蔬菜總質(zhì)量的，番茄是300千克，黃瓜有多少千克？

這4道題，雖然表達(dá)方式不同，但都表示番茄和黃瓜質(zhì)量間同樣的數(shù)量關(guān)系。通過這組題的練習(xí)，不僅將各種實(shí)際應(yīng)用問題做了很好的溝通，更重要的是可以通過轉(zhuǎn)化，選擇更合適的方法來解決問題。如對(duì)第（4）題的解答，可以先將“番茄的質(zhì)量占兩種蔬菜總質(zhì)量的”轉(zhuǎn)化為“番茄的質(zhì)量∶黃瓜的質(zhì)量=4∶5”或“黃瓜質(zhì)量是番茄的”，然后直接用“”計(jì)算。這對(duì)開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維具有很高的價(jià)值。

（作者單位：江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué)）