◇吳興元 顧躍超

從問題中來，到問題中去
——小學(xué)數(shù)學(xué)“式與方程、比和比例”的復(fù)習(xí)建議

◇吳興元 顧躍超

“式與方程”和“比和比例”是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，復(fù)習(xí)時需要關(guān)注學(xué)生的概念理解、運算能力和解決問題三個層面的目標(biāo)。如何引導(dǎo)學(xué)生在問題中進行整理復(fù)習(xí)、鞏固應(yīng)用、發(fā)展能力和提升素養(yǎng)，實現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)求知、求聯(lián)、求發(fā)展的總體目標(biāo)呢？

一 借助問題經(jīng)歷知識梳理，深化概念理解

1.關(guān)于“式與方程”。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對代數(shù)式——含有字母的式子的基本要求，是借助現(xiàn)實情境和簡單問題中的數(shù)量關(guān)系分析，理解用字母表示數(shù)的意義，知道代數(shù)式既可以表示一個數(shù)量，也可以表示一種數(shù)量關(guān)系。如小明今年 a歲，爸爸比小明大28歲，那么（a+28）歲既表示爸爸的年齡，也表示爸爸年齡和小明年齡的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生容易產(chǎn)生混淆。在復(fù)習(xí)時，我們可以設(shè)計一些問題情境幫助學(xué)生進一步理解。

如，已知體育用品店里，每個足球售價a元，每個排球售價b元。

（1）買3個足球和2個排球要（ ）元。

（2）式子“4b-a”表示的意思是（ ）和（ ）相差的錢。

（3）根據(jù)已知信息，請你寫出一個含有字母的式子：（ ），這個式子所表示的意思是（ ）。

第（1）題考查學(xué)生是否能夠根據(jù)問題情境寫出代數(shù)式。第（2）題是逆向的，考查學(xué)生是否能夠根據(jù)代數(shù)式理解其含義并表述問題。第（3）題則是考查學(xué)生是否能夠根據(jù)信息獨立提出問題并用代數(shù)式進行表達。需要說明的是，小學(xué)不要求學(xué)生認識代數(shù)式的嚴(yán)格定義，在實際問題中理解代數(shù)式即可。

而對于方程，教材一般會給出描述性定義——像100+x=250、3x=2.4……這樣，含有未知數(shù)的等式就是方程。方程的本質(zhì)是描述與刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)模型，小學(xué)不要求學(xué)生機械記憶方程概念，其基本要求是能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用。因此，在復(fù)習(xí)時應(yīng)當(dāng)側(cè)重在實際問題中幫助學(xué)生進一步理解，可設(shè)計如下的問題。

（1）根據(jù)圖意，列出方程。

（2）根據(jù)下面哪句話的信息可以列出方程6x+5=37？

A．一副羽毛球拍售價37元，比6根短繩的價錢貴5元。

（2）根據(jù)下面哪句話的信息可以列出方程6x+5=37？

A．一副羽毛球拍售價37元，比6根短繩的價錢貴5元。

B．一副羽毛球拍售價37元，比6根短繩的價錢便宜5元。

（3）請你寫出一個能用方程“6x+5=37”解決的問題。

第（1）題是基本練習(xí)，重點考查學(xué)生能否讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程。第（2）題側(cè)重考查學(xué)生能否分析發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的區(qū)別，判斷方程和問題的匹配性。第（3）題則是考查學(xué)生能否根據(jù)方程寫出問題情境，有一定的挑戰(zhàn)性。通過這樣的復(fù)習(xí)，來檢查學(xué)生是否從本質(zhì)上理解方程。

2.關(guān)于“比和比例”。

“比和比例”這兩個數(shù)學(xué)概念是緊密聯(lián)系的，具體包括比的定義、比值、最簡比、比例的定義、解比例、比例尺、正比例和反比例等。復(fù)習(xí)時部分概念可以整體推進，個別概念則需要專項練習(xí)。

如可以設(shè)計以下的問題：

（1）觀察下圖，你能寫出哪些比？哪些比例？

（2）根據(jù)下面圖形中的數(shù)據(jù)，你能寫出哪些比例？還有什么發(fā)現(xiàn)？

單位：厘米

第（1）題主要考查學(xué)生能否根據(jù)情境和數(shù)據(jù)找到盡可能多的比和比例。首先從比的情況看，可以寫出小樹和大樹高度的比、影長的比，小樹和大樹各自影長和高度的比等。進而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，哪些比可以組成比例？既可以從比值來判斷，也可以從比的意義來判斷。第（2）題是從三角形的線段長度比展開的，學(xué)生既可以寫出各種不同比值的比，也可以發(fā)現(xiàn)多個比例：1.5∶3=2.5∶5和3∶5=1.5∶2.5，把這兩個比例的內(nèi)外項進行交換，又可以組成兩個新的比例。

關(guān)于正比例和反比例的復(fù)習(xí)，需要設(shè)計專項練習(xí)，仍可通過問題形式呈現(xiàn)。如可以設(shè)計如下問題：

（1）觀察。表中的兩個量成比例嗎？如果成，成什么比例？

絲帶單價/（元/米）3 4 5 6 …所付總價/元 10.5 14 17.5 21 …步行速度/（米/分）100 80 60 50 …所需時間/分 12 15 20 24 …

（2）判斷。下面每組中的兩個量成比例嗎？如果成，成什么比例？

①六（3）班有42個學(xué)生，班里的男生人數(shù)和女生人數(shù)。

②六（3）班有42個學(xué)生，平均分成若干組，每組人數(shù)和分的組數(shù)。

③圓錐體積一定，圓錐的底面積和高。

④圓錐高一定，圓錐的底面積和體積。

第（1）題是一組基本練習(xí)，重點考查學(xué)生能否通過分析數(shù)據(jù)，從正、反比例的基本定義出發(fā)，進行判斷。第（2）題相對要復(fù)雜一些，主要考查學(xué)生能否通過多種方法自己進行判斷，可以用數(shù)據(jù)舉例說明，也可以根據(jù)兩個量之間的數(shù)量關(guān)系來思考。此外，我們還可以借助圖的形式來設(shè)計正、反比例的判斷練習(xí)。

二 借助問題鞏固計算技能，提升運算能力

“式與方程”和“比和比例”也都涉及運算。解方程、求比值和解比例是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的運算技能，為了凸顯運算的作用及更好地進行檢驗，建議借助具體問題進行復(fù)習(xí)教學(xué)。

1.關(guān)于解方程（比例）。

從結(jié)構(gòu)形式看，解方程也包含了解比例，都是根據(jù)已知數(shù)據(jù)和等式求未知數(shù)的過程。兩者都可以根據(jù)等式性質(zhì)說明每一步的計算過程，也可以根據(jù)運算符號和數(shù)據(jù)特點選擇靈活合理的簡便方法。其中檢驗結(jié)果是否正確，也是特別需要培養(yǎng)的計算習(xí)慣之一。

（1）鞋的尺碼通常用“碼”或者“厘米”作單位，它們之間的換算關(guān)系是：b=2a-10。（b表示碼數(shù)，a表示厘米數(shù)）

①小明穿的鞋子是23厘米，也就是（ ）碼。

②王老師穿的鞋子是42碼，也就是（ ）厘米。

（2）一個足球是用12塊黑皮和20塊白皮縫制而成的，王師傅在縫制過程中一共用掉了60塊白皮，那么相應(yīng)地用掉了多少塊黑皮？解決這個問題時，小紅是這樣寫的：設(shè)用掉了x塊黑皮。12∶x=20∶60。正確結(jié)果是（ ）。

A.24 B.36 C.48 D.60

（3）解下面的方程或比例。

2.關(guān)于求比值和化簡比。

“求比值”和“化簡比”是學(xué)生比較容易混淆的內(nèi)容，復(fù)習(xí)時要幫助學(xué)生明白：比值表示的是前項和后項相除的結(jié)果，是一個數(shù)；化簡比則表示不管用什么方法，最后仍舊是一個比，還是表示兩個數(shù)量的關(guān)系。實踐證明，在實際問題中進行復(fù)習(xí)更合適。

（1）張師傅28天完成了1260個零件的加工任務(wù)。

①零件總數(shù)和加工天數(shù)的比是（ ），化簡后是（ ）。

②零件總數(shù)和加工天數(shù)的比值是（ ），這個比值表示（ ）。

（2）化簡下面的比。

三 借助問題培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題能力

1.側(cè)重數(shù)量關(guān)系分析解決問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系有兩個基本模型：一個是求和模型，即部分+部分=和；另一個是求積模型，如單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程。用方程（比例）解決問題的數(shù)量關(guān)系還是一樣的，只是在分析問題上和原來的算術(shù)思維不同，將未知量假設(shè)為已知的，參與到等量關(guān)系的建立和具體運算中，這都是設(shè)計問題時需要考慮的。

（2）一個容器里裝有鹽水，鹽和水的比是1∶25，再往這個容器里放入6克鹽和10克水，鹽和水的比達到了1∶11。原來容器里裝有多少鹽水？

（3）幼兒園老師給大（1）班小朋友分糖。如果每人分2顆，則多7顆，如果給每人分3顆，就缺18顆。大（1）班有多少位小朋友？一共有多少顆糖？

這三道復(fù)習(xí)題難度有所不同，考查目的也各有側(cè)重。第（1）題的數(shù)量關(guān)系比較常見，一是分數(shù)問題關(guān)系，“增加邊長的”表示新正方形邊長=原來正方形邊長×；二是邊長和周長的關(guān)系，即正方形邊長×4=周長。學(xué)生只要能找到等量關(guān)系就行。

第（2）題略有變化，在解讀信息和分析關(guān)系時，需要知道鹽水前后的變化，得到（原來鹽的質(zhì)量+6克）∶（原來水的質(zhì)量+10克）=1∶11；列方程時，還需要思考先設(shè)哪個未知量為x，由此可以清楚了解學(xué)生是否真正掌握了列方程解決問題。

第（3）題的情境是學(xué)生很少接觸的，如果用算術(shù)解法學(xué)生比較難解釋，用方程解法可以體現(xiàn)其優(yōu)越性。如設(shè)小朋友有x人，那么糖有（2x+7）顆或者（3x-18）顆?？梢粤谐龇匠?2x+7=3x-18。復(fù)習(xí)時，需要強調(diào)通過分析獲得等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。

2.側(cè)重發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題。

解決他人提出的問題固然重要，但是能夠發(fā)現(xiàn)新的問題、提出有價值的問題更重要，這是對創(chuàng)新性人才的基本要求。如何在復(fù)習(xí)教學(xué)中落實這一目標(biāo)呢？這需要教師的創(chuàng)新設(shè)計。

（1）用一個長方形A在下圖中任意框出4個數(shù)。

①你想到了什么問題？

②如果用a表示這4個數(shù)的左起第一個，其他3個可以怎么表示？

③按照這樣的框法，如果知道這4個數(shù)的和是210，那么這4個數(shù)分別是多少？

（2）根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，你能否提出一個新的數(shù)學(xué)問題？

第（1）題的主要目的有兩個：一是給予學(xué)生提出問題的機會；二是解決后面兩個小題時，需要用到代數(shù)式和方程（也可以用算術(shù)方法思考），融會貫通兩種不同的思路。第（2）題考查學(xué)生的舉一反三能力、發(fā)散求異思維能力。如果學(xué)生能提出如下的問題：用長方形B框出的4個數(shù)有什么特點？如果第一個數(shù)用a表示，其他3個數(shù)可以怎么表示？……如果學(xué)生能夠創(chuàng)新性地提出用不同的圖形來框出4個（如長方形C）、5個或者6個數(shù)，研究其規(guī)律，用代數(shù)式來表示，用方程來解答，那就更有意義了。

3.側(cè)重綜合運用知識解決現(xiàn)實問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)承擔(dān)起培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，使學(xué)生認識到現(xiàn)實生活中有大量的問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法能解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題。這在“比例尺”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，體現(xiàn)得最為明顯。

（1）學(xué)校需要在校門口的櫥窗里貼出校園平面圖。要畫出這張平面圖，需要考慮哪些問題？請你設(shè)計一個方案。

（2）請以四人小組為單位，完成這張校園平面圖的設(shè)計任務(wù)。

要解決這個問題，學(xué)生需要走出教室，實際去做。問題（1）很有挑戰(zhàn)性，需要學(xué)生思考完成任務(wù)的步驟，用到哪些工具，要綜合運用方位、平面圖形、比例尺等知識解決問題。問題（2）依靠個人的力量很難完成，需要小組合作。這是一項數(shù)學(xué)綜合實踐活動。在復(fù)習(xí)階段，根據(jù)內(nèi)容適當(dāng)安排解決這樣的問題很有價值，可以使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生產(chǎn)、生活的緊密聯(lián)系。

（作者單位：浙江海寧市教師進修學(xué)校，海寧市袁花鎮(zhèn)中心小學(xué)）