徐 青， 張俊杰

(1.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064； 2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430064)

周期復(fù)合板的帶隙特性和輻射噪聲衰減特性分析

徐 青1， 張俊杰2

(1.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064； 2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430064)

對(duì)周期復(fù)合板的帶隙特性和輻射噪聲衰減特性進(jìn)行了研究。運(yùn)用傳遞矩陣法建立了周期復(fù)合板的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于有限周期復(fù)合板，將復(fù)合板細(xì)化為小單元，利用各個(gè)單元之間的輻射阻抗，建立了周期復(fù)合板的輻射聲功率預(yù)報(bào)模型。數(shù)值計(jì)算表明，周期復(fù)合板輻射噪聲存在衰減阻帶，在阻帶頻率范圍內(nèi)的輻射噪聲被極大的抑制。研究了復(fù)合結(jié)構(gòu)寬度和材料對(duì)阻帶衰減特性的影響。

周期復(fù)合板；輻射噪聲；帶隙；傳遞矩陣

彈性波受到周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)的調(diào)制，會(huì)產(chǎn)生彈性波帶隙，并且在阻帶頻率范圍內(nèi)，振動(dòng)會(huì)得到極大的衰減[1]。據(jù)此特性，可以運(yùn)用周期復(fù)合材料衰減特定頻率范圍的振動(dòng)。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者[2-7]對(duì)于周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)衰減特性進(jìn)行了大量研究，取得了豐富的研究成果。

上述研究成果中，一般是通過頻響函數(shù)或速度傳遞率來評(píng)價(jià)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的帶隙衰減特性。當(dāng)周期復(fù)合結(jié)構(gòu)處于聲場(chǎng)介質(zhì)中時(shí)，會(huì)向介質(zhì)中輻射噪聲，從人主觀感受和聲信號(hào)探測(cè)角度來說，用輻射噪聲來評(píng)價(jià)周期結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)噪聲的控制效果更有意義。Shen給出了周期結(jié)構(gòu)內(nèi)外場(chǎng)聲壓的分布圖，但沒有對(duì)其機(jī)理進(jìn)行深入分析。從表征整個(gè)聲場(chǎng)特性來說，運(yùn)用輻射聲功率表征更有意義。為此，本文對(duì)周期復(fù)合板的帶隙特性和輻射噪聲的衰減特性進(jìn)行研究，分析周期復(fù)合板的參數(shù)對(duì)輻射噪聲衰減特性的影響。

1 理論建模

1.1 周期復(fù)合板耦合方程建模

(1) 對(duì)邊簡(jiǎn)支的無限周期復(fù)合板[8]

材料A和B沿著x方向交叉排列組成的無限周期復(fù)合板如圖1所示，其中周期復(fù)合板在y=0和y=Ly為簡(jiǎn)支邊界條件。設(shè)材料A和B在一個(gè)周期中的長(zhǎng)度分別為a和b，y方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)y。

圖1 無限周期復(fù)合板

采用薄板理論分別建立A材料和B材料板的運(yùn)動(dòng)控制方程，

(1)

(2)

式中，νi為材料的泊松比。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)下，頻率為ω時(shí)方程(1)的解可以表示為

(3)

當(dāng)ω<(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時(shí)，k1i和k2i均為實(shí)數(shù)，板中的波均為近場(chǎng)衰減波；ω>(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時(shí)，k1i為實(shí)數(shù)，k2i為純虛數(shù)，板中才有傳播波。由式(2)和式(3)，可以得到

(4)

在第m-1個(gè)單元內(nèi)A材料和B材料，以及第m-1個(gè)單元B材料和第m個(gè)單元A材料的交界面處，根據(jù)位移相等、轉(zhuǎn)角連續(xù)、有效剪力和彎矩相等得到如下方程

(5)

由此得到遞推關(guān)系式和傳遞矩陣T的表達(dá)式為

(6)

根據(jù)Bloch定理，建立周期結(jié)構(gòu)在x方向一個(gè)周期內(nèi)待定系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式如下：

(7)

(2) 對(duì)邊簡(jiǎn)支的有限周期復(fù)合板

對(duì)于一對(duì)邊簡(jiǎn)支、一對(duì)邊自由的有限周期復(fù)合板如圖2所示，設(shè)周期數(shù)為N，設(shè)激勵(lì)力作用于第m個(gè)周期的材料A,B交界處，以激勵(lì)點(diǎn)所在的x坐標(biāo)為分界線，把周期復(fù)合板分為左、右兩部分，利用式(6)可建立待定系數(shù)之間的關(guān)系

(8)

式中，Ti是第i個(gè)周期單元的傳遞函數(shù)。

圖2 有限周期復(fù)合板

根據(jù)激勵(lì)點(diǎn)處的位移連續(xù)和力平衡邊界條件w0、左右兩端的邊界條件w1、wN建立如下關(guān)系：

(9)

式中，L是元素為0或1的系數(shù)矩陣。組合得到

(10)

式中：Φ=[ΨA,1,ΨB,N]；L8×8是矩陣；R8×1外力構(gòu)成的向量。求解式(10)得到

(11)

1.2 外部激勵(lì)力

對(duì)于有限周期復(fù)合板，設(shè)外力為點(diǎn)激勵(lì)力，沿著板寬度方向展開，根據(jù)三角函數(shù)正交性得到：

(12)

式中，F(xiàn)0和y0分別是激勵(lì)力的幅值和位置。

對(duì)于每一簡(jiǎn)諧波n，把式(12)代入式(11)求出Φ，根據(jù)式(8)求得任意周期的待定系數(shù)ΨA,m和ΨB,m，進(jìn)一步根據(jù)式(3)求出周期復(fù)合板任意點(diǎn)的位移。對(duì)所有的簡(jiǎn)諧波n進(jìn)行疊加可獲得有限周期復(fù)合板任意點(diǎn)的位移。

1.3 輻射聲功率

采用輻射聲功率評(píng)價(jià)有限周期復(fù)合板的輻射噪聲控制效果。分析周期復(fù)合板在空氣中的聲輻射，不考慮空氣介質(zhì)和板的聲固耦合。通過把板分成小單元，運(yùn)用各個(gè)單元之間的輻射阻抗，得到整個(gè)板的輻射聲功率：

(13)

式中，V是求得的有限周期復(fù)合板的速度響應(yīng)；

聲功率級(jí)為

(14)

式中，W0=10-12(W)。

2 數(shù)值分析

研究周期復(fù)合板的材料和幾何參數(shù)對(duì)輻射噪聲帶隙衰減頻率的影響。其中材料A(鋼材)楊氏模量EA=2.1×1011N/m2，νA=0.3，密度ρA=7 850 kg/m3；材料B(橡膠)楊氏模量EB=2.1×109N/m2，νB=0.48，密度ρB=1 200 kg/m3；板的厚度為h=0.01 m；外部激勵(lì)力F0=1 N，激勵(lì)位置y0=Ly/6。周期復(fù)合板的幾何參數(shù)不特殊說明為a=0.5 m，b=0.2 m，Ly=0.6 m。

2.1 周期復(fù)合板的輻射噪聲

運(yùn)用文獻(xiàn)[9]的方法確保輻射聲功率收斂的情況下，計(jì)算了由材料A和材料B組成的無限周期復(fù)合板的帶隙特征，以及有限周期復(fù)合板在單位點(diǎn)激勵(lì)(此時(shí)參與模態(tài)包括n=1，n=2和n=3)時(shí)的輻射聲功率，如圖3所示，由圖可知：

(1) 對(duì)于無限周期復(fù)合板，由式(7)可知，特征值為4個(gè)，分別為2種向左、向右傳播彎曲波。這2種彎曲波中，一種對(duì)應(yīng)彎曲波的傳播波，另一種對(duì)應(yīng)彎曲波的近場(chǎng)衰減波。其中，傳播波會(huì)表現(xiàn)出通帶和阻帶的特性；近場(chǎng)衰減波表現(xiàn)為整個(gè)頻率范圍內(nèi)的很高的衰減因子，即整個(gè)頻率范圍內(nèi)都是阻帶。而彎曲波在復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)中能否傳播取決于這兩種彎曲波阻帶的交集。由于近場(chǎng)衰減波在整個(gè)頻段內(nèi)均為阻帶，傳播波的阻帶范圍即兩種波的阻帶范圍的交集，為此圖中僅給出傳播波。

(2) 由式(3)可知，每階模態(tài)低頻段有一截止頻率，這段頻率內(nèi)，波傳播被衰減，這是由于頻率滿足ω>(nπ/Ly)2(Di/ρihi)1/2時(shí)，復(fù)合材料板A，B中才存在傳播波。由于振動(dòng)響應(yīng)是所有的簡(jiǎn)諧波數(shù)n疊加的結(jié)果，因此只有當(dāng)所有的簡(jiǎn)諧波n都表現(xiàn)出阻帶時(shí)，才是周期復(fù)合板的阻帶，即圖3所示加粗實(shí)線區(qū)域?yàn)閚=1，n=2和n=3的阻帶疊加區(qū)域。在阻帶范圍內(nèi)，周期復(fù)合板的輻射聲功率被極大的抑制。利用此特性，可以設(shè)計(jì)周期復(fù)合板來衰減特定頻段的輻射噪聲。

圖4給出了周期復(fù)合板和均勻板(由材料A組成)輻射聲功率的對(duì)比圖，在阻帶頻率范圍，均勻板的輻射聲功率線譜被極大抑制，離散線譜幅值顯著降低，因此周期復(fù)合板在阻帶頻率范圍內(nèi)能夠降低輻射聲功率。

圖3 周期復(fù)合板輻射噪聲

圖4 周期復(fù)合板輻射噪聲控制效果

2.2 周期復(fù)合板材料和幾何參數(shù)對(duì)輻射噪聲帶隙衰減頻率的影響

周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的阻帶頻率與周期復(fù)合板的幾何和材料參數(shù)相關(guān)，針對(duì)不同頻段的輻射噪聲控制要求，可設(shè)計(jì)出能衰減相應(yīng)頻段的周期復(fù)合板結(jié)構(gòu)。下面對(duì)影響周期復(fù)合結(jié)構(gòu)阻帶頻率范圍的因素進(jìn)行分析。

2.2.1 周期復(fù)合板的寬度

圖5、圖3和圖6分別給出周期復(fù)合板寬度為L(zhǎng)y=0.4m、Ly=0.6 m和Ly=0.8 m時(shí)的輻射聲功率和帶隙頻率分布。由圖可知，隨著寬度的增加，板結(jié)構(gòu)的橫向剛度減小，參與振動(dòng)的模態(tài)數(shù)增加。由于周期復(fù)合結(jié)構(gòu)的阻帶頻率是參與振動(dòng)各個(gè)模態(tài)阻帶頻率的交集，因此寬度增加后周期復(fù)合板阻帶頻率范圍總體趨勢(shì)上會(huì)變窄。

2.2.2 周期復(fù)合板的材料參數(shù)

將材料B變更為環(huán)氧樹脂(ρB=1 180 kg/m3、EB=4.35×109N/m2、νB=0.37)和鋁(ρD=2 730 kg/m3、ED=7.76×1010N/m2、νD=0.35)，得到的輻射聲功率和帶隙頻率分布分別如圖7和圖8所示。通過與圖3對(duì)比可知，周期復(fù)合板的兩種材料參數(shù)差異越大，輻射噪聲的阻帶頻率范圍越寬，也即越容易產(chǎn)生輻射噪聲阻帶。但是從周期復(fù)合結(jié)構(gòu)承載功能角度來說，兩者材料參數(shù)不能相差太大，因此需要綜合考慮周期復(fù)合結(jié)構(gòu)功能和聲學(xué)性能，以設(shè)計(jì)出滿足需求的周期復(fù)合結(jié)構(gòu)。

圖5 周期復(fù)合板寬度

圖6 周期復(fù)合板寬度Ly=0.8 m

圖7 材料B改為環(huán)氧樹脂的輻射聲功率

圖8 材料B改為鋁的輻射聲功率

3 結(jié) 論

(1) 周期復(fù)合板結(jié)構(gòu)存在輻射噪聲帶隙頻段，在帶隙頻率范圍內(nèi)，周期復(fù)合板的輻射噪聲得到極大抑制；

(2) 隨著周期復(fù)合板結(jié)構(gòu)寬度增加，參與振動(dòng)的模態(tài)數(shù)增加，周期復(fù)合板帶隙頻率范圍總體上變窄；

(3) 周期復(fù)合板結(jié)構(gòu)材料參數(shù)差異越大，越容易產(chǎn)生輻射噪聲帶隙。

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Research on the band gap and attenuation characteristic of sound radiation for periodic compound plate

XU Qing1, ZHANG Junjie2

(1. China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China; 2. National Key Laboratory on Ship Vibration & Noise, Wuhan 430064, China)

The band gap and attenuation characteristics of sound radiation for periodic compound plate were investigated. The coupled equations were established by transfer matrix method, and radiation sound was calculated by radiation impedance through meshing the plate into equal squares. Calculations showed that there are stop bands for the radiation sound, and the level of sound radiation is greatly suppressed in the frequency ranges of the stop bands. The influence of the material and geometric parameters on band gap was discussed.

periodic compound plate; radiation sound; band gap; transfer matrix

國(guó)家自然科學(xué)基金(51409238;61503354)

2016-03-08 修改稿收到日期：2016-07-12

徐青 男，研究員，1960年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.030