劉妍

【摘要】高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的幾何知識點(diǎn)就是直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，如何判斷幾者之間的關(guān)系是需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的，本文提出了幾點(diǎn)判別直線與橢圓、雙曲線位置關(guān)系的方法.

【關(guān)鍵詞】直線與橢圓；雙曲線；判別方法

一、直線與橢圓的位置關(guān)系判別

在高中數(shù)學(xué)知識教學(xué)的時(shí)候，高中的數(shù)學(xué)教師習(xí)慣將解題的技巧轉(zhuǎn)授給學(xué)生，使得學(xué)生在解題的時(shí)候直接抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，利用解題的技巧得出結(jié)論.在判斷直線與橢圓的關(guān)系的時(shí)候也是這樣的，高中生在解題的時(shí)候通常是根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)與直線的距離之積和橢圓的短半軸的平方進(jìn)行比較，學(xué)生必須明白這個(gè)條件僅僅是充分條件而非充要條件，學(xué)生在解答題目的時(shí)候必須對條件中所涉及的關(guān)鍵因素進(jìn)行分析，確保數(shù)學(xué)題目在解答的時(shí)候得到最精準(zhǔn)的結(jié)果，提高解題的效率.

在判斷橢圓與直線的位置關(guān)系的時(shí)候，充分必要條件為：已知直線l：Ax+By+C=0（B≠0），橢圓的表達(dá)式為x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過橢圓的頂點(diǎn)M（-a，0），N（a，0），且垂直于x軸的直線分別為l1：x=-a，l2：x=a，直線l與l1，l2交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1和y2，則當(dāng)直線l與橢圓相切時(shí)，y1y2=b2；當(dāng)直線l與橢圓相交時(shí)，y1y2b2.在課堂講解的過程中，高中數(shù)學(xué)教師將這一結(jié)論當(dāng)堂給學(xué)生進(jìn)行證明和驗(yàn)證，確保學(xué)生在解答問題的時(shí)候能夠從題目的條件入手找到切入點(diǎn)，使用該結(jié)論對題目進(jìn)行解答.

二、直線與雙曲線的位置關(guān)系判別

由直線與橢圓的關(guān)系入手，可以從結(jié)論推斷的核心出發(fā)判別直線與雙曲線之間的關(guān)系，推斷的原理是具有相同性的：已知直線l：Ax+By+C=0（B≠0），雙曲線的表達(dá)式為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過雙曲線的頂點(diǎn)M（-a，0），N（a，0），且垂直于x軸的直線分別為l1：x=-a，l2：x=a，直線l與l1，l2交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1和y2，則當(dāng)直線l與雙曲線相切或者相離時(shí)，y1y2=-b2；當(dāng)直線l與雙曲線相交時(shí)，y1y2>-b2；當(dāng)直線l與雙曲線相離時(shí)，y1y2<-b2.高中生要注意題目是否能夠使用這一結(jié)論，如此在解答幾何問題的時(shí)候就能夠大大地提高解題的效率.

例如，判斷當(dāng)m為何值的時(shí)候，直線y=m（x+3）與橢圓x24+y21=1的關(guān)系是相切、相交或者相離？這道題目是比較基礎(chǔ)的，重點(diǎn)考查的是學(xué)生的計(jì)算能力以及幾何結(jié)論應(yīng)用的能力，從已知條件中可以看出，橢圓的a2=4，b2=1，從直線與橢圓的距離判斷二者之間的關(guān)系，可以得出y=m（x+3），x=-2；y=m（x+3），x=2.解得y1=m，y2=5m，根據(jù)結(jié)論得到y(tǒng)1y2=5m2=b2=1，此時(shí)直線與橢圓的關(guān)系是相切的，而當(dāng)m在-55，55之間時(shí)，y1y2-55時(shí)，y1y2>b2=1，直線與橢圓的關(guān)系是相離的.在數(shù)學(xué)課堂上講解這道題目能夠順利地帶領(lǐng)學(xué)生理解課堂上講解的判定結(jié)論，通過習(xí)題的學(xué)習(xí)，高中生對于幾何問題的解答與分析有了自己的思路.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段，高中生所面臨的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)已經(jīng)有了一定的難度，多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力在高中階段有所下降，尤其是幾何題目在解答的時(shí)候?qū)τ趯W(xué)生的計(jì)算能力有很高的要求，因此，在解答橢圓、雙曲線等等一些問題的時(shí)候，需要高中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些切實(shí)可行的結(jié)論，使得學(xué)生能夠在解答題目的時(shí)候找到更有效率的方式，使得學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力大大提高.

在判斷直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系的時(shí)候，高中的數(shù)學(xué)教師可以向?qū)W生講解很多的解題方法，學(xué)生可以根據(jù)自己的解題過程中遇到的實(shí)際題目情況選擇一種恰當(dāng)?shù)慕忸}方式，多種位置判斷方法能夠給學(xué)生解答題目提供很多的思維方式，為學(xué)生尋找正確的幾何解題方法奠定良好的基礎(chǔ).

三、總 結(jié)

在高中階段，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)從多個(gè)角度著手，幾何計(jì)算能力在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用，高中數(shù)學(xué)教師在課堂講解的時(shí)候應(yīng)當(dāng)注意引用實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生共同探究和驗(yàn)證幾何結(jié)論，使得學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的時(shí)候能夠更準(zhǔn)確地找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，提高計(jì)算能力以及題目的解答效率，同時(shí)高中生的自主學(xué)習(xí)能力也相應(yīng)地提高，為學(xué)生的后續(xù)成長奠定良好的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]魏志平.直線與橢圓、雙曲線位置關(guān)系的一種新的判定方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2003（3）：47-48.

[2]劉洪華.判斷直線與橢圓位置關(guān)系的兩種新方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)：高中版，2004（8S）：30.