李志深，周 華，李鴻光

（上海交通大學，機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法

李志深，周 華，李鴻光

（上海交通大學，機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

子結(jié)構綜合法因其分塊計算的特性，適用于由多單元組成的系統(tǒng)動特性的計算，但是對結(jié)構間連接的處理尚缺乏系統(tǒng)的分析和處理，而實際應用中，由于子結(jié)構之間的連接較為復雜，導致傳統(tǒng)的機械導納法計算結(jié)果準確性較低?？紤]子結(jié)構綜合法中連接單元特性對綜合計算帶來的影響，引入虛阻抗的概念，在結(jié)構綜合計算中將連接單元對結(jié)構特性的影響以阻抗陣的形式引入進來，而連接單元的特性則根據(jù)整體單元及各個子單元的頻響特性逆向推導所得，通過離散單元及彈性連續(xù)體單元模型驗證考慮連接特性的綜合方法在計算上的準確性，并將方法引入到銑刀動特性的預測中，通過設計實驗驗證了方法的可靠性。

振動與波；子結(jié)構綜合法；連接；阻抗辨識；銑刀動特性

在復雜結(jié)構的動態(tài)分析中，有限元方法的應用極為廣泛，將無窮多自由度的系統(tǒng)離散化為一個個有限單元，再將分別計算得到的各個單元的質(zhì)量、剛度矩陣合成系統(tǒng)矩陣，但是由于結(jié)構較為復雜，往往系統(tǒng)矩陣的階次較高，需要很高的計算時間和空間，這對于由多單元組成的結(jié)構優(yōu)化顯得尤為不便，結(jié)構中每個單元的改動都需重新對整個系統(tǒng)進行計算，因此子結(jié)構綜合方法應運而生：在計算中分別計算每個子單元的動態(tài)特性，再根據(jù)子單元間的連接條件，將他們的動態(tài)特性進行綜合得到總的結(jié)構的動態(tài)特性[1]，這種方法可極大地降低結(jié)構優(yōu)化過程中計算的復雜程度。

顯然，在子結(jié)構計算中，子結(jié)構之間連接條件的定義，會對結(jié)構的動特性帶來較大的影響。在很多計算過程中，往往將各子結(jié)構之間的連接作為剛性連接處理[2–3]，這會導致計算結(jié)果與結(jié)構實際特性產(chǎn)生較大的差異，為了提高計算的準確性，很多學者將連接作為柔性連接處理[4]，黃在中將浮筏與艙體之間的隔振器連接用彈簧阻尼單元來表示，得到了與真實特性極為接近的結(jié)果[5]。但是該方法僅適用于簡單明確的連接計算中（比如隔振器、彈簧等連接），而對于多數(shù)復雜連接結(jié)構，由于其連接剛度及阻尼難以確定[6]，使得該方法具有十分明顯的局限性。

本文對結(jié)構之間的連接提出了虛阻抗的假設，在假設的基礎上給出結(jié)構間連接節(jié)點之間的位移連續(xù)及力平衡條件，并推導出基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法VJF-FRF（Virtual Joint Identify），并根據(jù)子單元與綜合單元動態(tài)特性給出連接特性的逆向推導，通過仿真和試驗對比，證明相比于傳統(tǒng)的方法(Direct-FRF)[2]，本文提出的基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法能夠得到與實際結(jié)構更為吻合的結(jié)果，可廣泛應用于復雜結(jié)構動特性快速計算及結(jié)構單元的優(yōu)化中。

1 子結(jié)構綜合理論

在子結(jié)構綜合方法中，首先將總的結(jié)構分成一個個子結(jié)構，如圖1所示。

圖1 子結(jié)構綜合法

將整體單元分成A、B兩個子結(jié)構，并通過有限元計算或試驗測試獲得各個子單元的頻響特性

式(1)中下標j表示單元的界面坐標，即單元之間產(chǎn)生連接所對應的坐標，i表示非界面坐標，若將結(jié)構間的連接視為剛性連接，此時結(jié)構的界面連接坐標之間滿足力平衡及位移連續(xù)條件[7]

將兩個單元綜合后，整個系統(tǒng)的頻響特性可表示為

結(jié)合式(1)－式(3)可推導綜合結(jié)構與子結(jié)構間頻響特性滿足

將上述方法稱為直接頻響綜合法（Direct-FRF），當子結(jié)構之間以剛性連接時（例如焊接），上述方法往往能夠得到較為精準的結(jié)果，但是當連接剛性不足時，使用上述方法所得到的結(jié)果與實際測試結(jié)果存在偏差，圖2（a）所示為銑刀夾持模型，一般計算中將銑刀伸出部分直接作為懸臂梁進行處理如圖2中的（c），對比測試與計算結(jié)果顯然此時計算的固有頻率有著明顯的偏差，同時為了進一步說明連接特性帶來的影響，保持伸出長度不變，增長銑刀的夾持長度，如圖2（b），圖3是結(jié)構1階頻率在不同夾持情況下動特性的對比圖，結(jié)果顯示，顯然將結(jié)構間的連接作為剛性連接進行處理，難以得到令人滿意的結(jié)果。

圖2 不同夾持銑刀動特性測試

圖3 銑刀動特性測試結(jié)果

當子單元結(jié)構之間彈簧阻尼形式（隔振器）連接時，將隔振器阻抗矩陣Z帶入綜合計算中[8]，式(5)即為改進后結(jié)果

此時能夠?qū)τ嬎憬Y(jié)果做出一定程度的修正，但是由于結(jié)構間的連接較為復雜，結(jié)構連接的阻抗矩陣難以確定，使得該方法具有一定的局限性，僅適用于某些簡單連接單元的綜合計算，通過多次測試的方法可以擬合連接單元之間的阻抗陣，但這往往難以得到較為準確的計算結(jié)果，針對此問題，本文提出了基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法。

2 基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法

2.1 子結(jié)構綜合計算

子結(jié)構綜合中，連接單元的適當處理是保證計算準確性的關鍵，為了便于推導和計算，結(jié)合有限元原理提出連接單元虛阻抗（Virtual Joint）的定義，將連接視為單獨單元，并由s×s組彈簧阻尼單元組成的無質(zhì)量結(jié)構，其中s為節(jié)點的自由度數(shù)。

為了更好地描述方法的推導過程，以2自由度的變截面梁單元為例，展開算法的推導過程，如圖4。

圖4 變截面梁單元模型

模型中各子結(jié)構單元的頻響矩陣可表示為

同時，連接單元各自由度間的耦合效果一般比較微弱[8]，此時ZJ退化為一對角陣，此時結(jié)合式(6)－式(8)可得出系統(tǒng)新的平衡條件為

將式(6)代入式(9)中，消去中間量Xi、θi，界面連接作用力與節(jié)點力之間關系可表示為

式(11)即為綜合結(jié)構頻響與子結(jié)構單元頻響之間的關系。

2.2 連接特性的逆向推導

以上給出了將連接單元進行虛阻抗假設下的頻響綜合的推導，在計算過程中，結(jié)構間連接以虛阻抗的形式hJ/pJ引入綜合結(jié)構頻響的計算中，如何根據(jù)子結(jié)構單元及綜合單元特性準確的辨識這兩個參數(shù)是方法應用的關鍵，接下來將給出連接虛阻抗的辨識方法。

根據(jù)參數(shù)辨識理論，式(11)包含兩個未知量，需要兩個包含變量的等式關系，此時可以取推導矩陣中的前兩項來求取未知量hJ/pJ，將等式展開為

式中G11G12為綜合結(jié)構中的原點及跨點導納，即

式中包含的brr/brt/btr/btt對應為式(7)中B矩陣中的各項，即

其中，由于HJ矩陣為對角陣，即brtbtr兩項為已知變量，待求解變量hJpJ分別被囊括在變量brrbtt中，此時公式可解得

算法的主要架構見圖5。

3 方法驗證

3.1 仿真驗證

為了檢驗文中所提出的頻響綜合方法，分別采用離散單元及彈性連續(xù)體單元來驗證頻響綜合計算的準確性。

（a）離散單元驗證

圖6為所設計的離散單元模型，模型是由質(zhì)量、彈簧及阻尼單元組成4自由度單元，按照頻響綜合的理論將模型分為由A、B兩個子結(jié)構單元組成，每個單元包括一個內(nèi)點和一個外連接點，子結(jié)構之間通過彈簧阻尼單元連接，分別計算子結(jié)構的頻響矩陣，在通過頻響綜合的方法推導耦合單元的頻響特性，并與直接計算整體結(jié)構的頻響結(jié)果進行對比，對比結(jié)果如圖7所示。

從圖7可以明顯看出，頻響綜合計算與直接計算所得到的結(jié)果，無論是共振頻率還是共振峰值幾乎完全吻合，為了進一步說明方法在應用上的普適性，接著將方法應用到連續(xù)彈性體的頻響特性的計算中。

（b）連續(xù)彈性體單元驗證

圖8是進行仿真驗證所設計的連續(xù)彈性體模型，模型為機架-冷凝器模型，結(jié)構單元A為冷凝器模型，結(jié)構單元B為機架模型，冷凝器與機架通過四個螺栓及橡膠墊連接，根據(jù)設計要求，定義各子單元計算中的主自由度分別為

圖5 算法架構

圖6 離散驗證模型

圖7 離散單元計算結(jié)果對比圖

圖8 彈性連續(xù)體驗證模型

利用Ansys計算兩個子結(jié)構單元的完整頻響矩陣HA/HB，并計算裝配單元的

圖9 連接單元虛阻抗計算結(jié)果

結(jié)合推導所得的連接特性及子結(jié)構單元頻響矩陣HJ/HA/HB，可以推導綜合單元整體頻響矩陣取其中的任一值與通過有限元直接計算所得Gij進行比較，此處展示1點、4點x方向上的頻響比較結(jié)果，見圖10。

從圖10中對比結(jié)果可以看出，推導所得與有限元計算的結(jié)果，無論是共振頻率還是幅值都較為吻合，從而進一步驗證了方法的準確性。

3.2 試驗驗證

為了驗證方法的準確性，利用銑刀模型設計驗證試驗：分別設計了兩把不同長度的刀桿，如其中短刀桿總長130，長刀總長180，見圖11。試驗中首先對短刀桿通過結(jié)構測試及有限元，推導出30 mm夾持長度下的連接虛阻抗，在結(jié)合計算出的連接阻抗推導同樣夾持狀態(tài)下，長刀桿的頻響特性，對比計算與測試結(jié)果，與圖5相類似，在計算中節(jié)點自由度包括兩個

圖10 綜合結(jié)構頻響計算結(jié)果對比圖

圖11 實驗設計圖

圖12 銑刀動特性測試實驗

試驗步驟為：

S1.通過錘擊法，測試平臺如圖12，測試主軸端點P1的原點導納矩陣HA；

S2.采用梁單元對短刀桿進行建模，計算短刀桿兩端點P1、P2的原點及跨點導納，得到短刀桿頻響矩陣HB；

S3.安裝短刀，測試P1、P2點在u方向上的導納推導計算對應的連接虛阻抗HJ=diag(hJ，pJ)，推導結(jié)果如圖13所示；

S4.采用梁單元對長刀桿進行建模，計算長刀桿兩端點P1、P3的原點及跨點導納，獲取長刀桿頻響矩陣HC，根據(jù)式(11)結(jié)合HA/HC/HJ推導計算長刀桿夾持狀態(tài)下的頻響矩陣

S5.安裝長刀，測取此時結(jié)構的頻響矩陣GA-C，并與S4中推導結(jié)果相對比，取P3點在u方向上的原點導納對比結(jié)果進行展示，如圖14。

圖13 連接單元計算結(jié)果

圖14 長刀桿頻響計算結(jié)果對比

統(tǒng)計分別經(jīng)測試及兩種不同方法所得長刀桿1階固有頻率，如表1所示。

表1 不同計算方法計算結(jié)果對比

結(jié)合圖與表中的分析結(jié)果可以明顯地看出，相比于傳統(tǒng)的機械導納法，采用基于連接特性識別的頻響綜合法能夠得到與實測結(jié)果更加吻合的頻響矩陣。

4 結(jié)果討論與比較

（1）根據(jù)圖3結(jié)果說明，在使用子結(jié)構綜合理論進行計算時，忽略結(jié)構間的連接特性會帶來一定的計算偏差；

（2）由圖7、圖10、圖14和表1的分析結(jié)果可知，采用虛阻抗的假設，能夠在計算中將結(jié)構間連接的特性考慮進來，使得計算結(jié)果與結(jié)構實測結(jié)果更為接近，仿真和試驗的結(jié)果驗證了本文所提出的基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法的可靠性。

5 結(jié)語

本文從子結(jié)構綜合法的計算原理出發(fā)，考慮子結(jié)構單元之間連接特性對計算所帶來的影響，并基于此提出了連接虛阻抗的假設，在假設的基礎上推導結(jié)構新的位移連續(xù)及力平衡條件，將連接帶來的影響帶入結(jié)構的綜合計算中，并逆向推導出連接特性的識別方法。

通過設計仿真和試驗證明，相比于傳統(tǒng)的方法，提出的基于連接特性識別的子結(jié)構綜合法能夠得到與實際結(jié)構更為吻合的結(jié)果，可應用于復雜結(jié)構動特性快速計算及結(jié)構單元的優(yōu)化中。

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An Improved Substructure Synthesis Method Based on the Identification of Joint Characteristics

LI Zhi-shen,ZHOU Hua,LI Hong-guang
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

Substructure synthesis method is widely used in the calculation of multi-unit system for its block calculation characteristics.However,there is a lack of systematic analysis for the joints of the substructures.Since the joints are usually complex and have a great influence on the dynamic performance of the whole system,they will reduce the accuracy of the computation results of the traditional mechanical admittance method.In this article,the concept of virtual impedance is proposed,the effect of the joint element between substructures of the system is introduced by using the virtual impendence matrix into the comprehensive calculation.The performance of the joint elements can be obtained by reciprocal formulation according to the frequency response characteristics of the system elements and the sub-elements.The computation accuracy of this method is verified by the models of discrete and elastic continuous elements.Finally,this method is applied to the prediction of dynamic characteristics of milling tools.It is concluded that the proposed method is more accurate than the traditional one by comparing the results with the measurement results.

vibration and wave;substructure synthesis method;joint;virtual impendence identify;dynamic characteristics of milling tools

TH133.1；TH165.3

：A DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.001

1006-1355(2017)03-0001-06

2017-02-13

國家自然科學基金資助項目(1142780054)

李志深（1994－），男，山東省菏澤市人，碩士生，主要研究方向為實驗模態(tài)分析。

李鴻光，男，博士生導師。E-mail:hgli@sjtu.edu.cn