郭新年，周恒瑞

（淮陰工學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制

郭新年，周恒瑞

（淮陰工學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

提出一種基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制算法FCLMS。FCLMS算法使用傳統(tǒng)的FxLMS結(jié)構(gòu)，將初級噪聲使用第一類切比雪夫多項式展開，進而擬合該信號，而后使用LMS自適應(yīng)算法進行噪聲控制。該算法的計算復(fù)雜度低于2階VFxLMS和1階FS LMS算法。在不同的仿真模型下的仿真結(jié)果表明，該算法控制效果均達到或優(yōu)于VFxLMS和FS LMS算法，且收斂速度快。

聲學(xué)；有源噪聲控制；非線性自適應(yīng)濾波器；切比雪夫濾波器；FSLMS

隨著現(xiàn)代工業(yè)設(shè)備，交通運輸業(yè)的發(fā)展，噪聲污染問題日益突出，嚴重影響人們的日常生產(chǎn)生活。傳統(tǒng)的無源噪聲控制（Passive Noise Control，PNC）方法主要是基于材料的吸收或反射特性，對高頻噪聲抑制效果較明顯，然而，被動降噪技術(shù)存在消聲材料價格昂貴、體積大，且低頻噪聲控制效果差等缺點，因此有源噪聲控制（Active Noise Control，ANC）技術(shù)得到了更多的關(guān)注[1–11]。

有源噪聲控制技術(shù)是基于波的疊加原理，即次級聲源產(chǎn)生的次級噪聲與噪聲源發(fā)出的初級噪聲幅值相等、相位相反，兩列聲波進行相互疊加、抵消[1–4]。針對線性有源噪聲控制（Linear Active Noise Control）系統(tǒng)，F(xiàn)xLMS（filtered-xleastmeansquare）算法取得了較好的實用效果。然而，在實際應(yīng)用中很多系統(tǒng)會表現(xiàn)出非線性特征，這些非線性主要來源于[5]；

（1）有源噪聲控制系統(tǒng)中的某些部件，如揚聲器等，可能表現(xiàn)出非線性特征；

（2）動態(tài)系統(tǒng)的噪聲源本身表現(xiàn)出的非線性；

（3）初級通道和次級通道的傳遞函數(shù)帶來的非線性。

針對非線性有源噪聲控制（Nonlinear Active Noise Control）系統(tǒng)，很多學(xué)者給出了相應(yīng)的自適應(yīng)非線性濾波器，這些濾波器主要分為兩類[6]：基于自適應(yīng)多項式的濾波器和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的濾波器。Tan和Jiang給出了基于Volterra多項式的VFxLMS (Volterra Filtered-x Least Mean Square)算法，該算法通過使用Volterra展開式重構(gòu)非線性有源噪聲控制系統(tǒng)的輸入信號，進而更好地擬合輸入信號，達到了很好的控制效果[5]。Das和Panda提出一種基于函數(shù)鏈接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Functional Link Artificial Neural Network，F(xiàn)LANN）擬合輸入信號的 FS LMS (Filtered-s Least Mean Square)算法[7]，該算法使用正弦和余弦函數(shù)作為基函數(shù)展開輸入信號，計算復(fù)雜度低且控制效果較好，但是該算法的基函數(shù)中缺少交叉項，所以對沖擊信號控制效果不理想[11]。Vinal和Nithin給出了一種基于偶鏡像傅里葉非線性（Even Mirror Fourier Nonlinear，EMFN）濾波器[8]，該濾波器使用正弦、余弦函數(shù)及其交叉項作為基函數(shù)，滿足正交特性，在非線性有源噪聲控制系統(tǒng)中取得了很好的控制效果，然而相比于FSLMS算法，由于增加了交叉項的內(nèi)容，該算法計算量較大，不利于實際應(yīng)用。陳玨等對目前的一些有源噪聲控制算法進行了比較分析[9]。

為進一步降低計算量，提高系統(tǒng)控制效果，本文提出一種基于第一類切比雪夫多項式(Chebshev Polynomial)[10]的非線性有源控制算法FCLMS。該算法使用第一類切比雪夫多項式展開并擬合輸入信號，利用最小均方差LMS（Least Mean Square）自適應(yīng)算法控制次級噪聲輸出，以達到抑制初級噪聲的目的。該算法計算復(fù)雜度低，仿真結(jié)果表明該算法收斂速度快，控制效果好。

1 算法

VFxLMS[5]和FSLMS[7]算法分別使用Volterra多項式和三角基函數(shù)的展開形式擬合初級噪聲信號，在此思路上，本文使用第一類切比雪夫多項式展開并擬合初級噪聲，進而比較切比雪夫多項式展開形式在有源噪聲控制領(lǐng)域的控制效果。

1.1 切比雪夫多項式

切比雪夫多項式是以遞歸方程形式定義的系列正交多項式，第一類切比雪夫多項式的遞歸式如下[10]

其中T0(x)=1，T1(x)=x，Tn(x)是第n階展開式。第一類切比雪夫多項式的根用于多項式差值時可最大限度的降低龍格現(xiàn)象[10]。在切比雪夫多項式定義域[-1，1]內(nèi)，任意N次多項式p(x)可以寫成常數(shù)與切比雪夫多項式乘積之和的形式

一個實際函數(shù)f(x)，可以表示為如下形式

然而p(x)為有限項，可以無限逼近實際函數(shù)f(x)，但終究存在誤差

如果函數(shù)f(x)可微，則系數(shù)an序列收斂迅速，則e(x)≈aN+1TN+1(x)。第一類切比雪夫多項式如表1所示[10]。

表1 第一類Chebshev多項式

1.2 FCLMS算法

基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制算法如圖1所示，x(n)是噪聲源發(fā)出的初級噪聲信號，P(z)是初級通道傳遞函數(shù)，dp(n)是信號源噪聲經(jīng)初級通道傳播后在誤差傳感器處的噪聲，c1(n),c2(n),...,cM(n)是噪聲源信號經(jīng)切比雪夫多項式展開后的信號，e(n)是誤差殘留信號，通過拾音器（麥克風(fēng)）獲取。y(n)是控制器（揚聲器）輸出的次級噪聲，s(n)是次級通道傳遞函數(shù)（脈沖響應(yīng)），sˉ(n)是次級通道傳遞函數(shù)的估計式。

圖1 FCLMS算法框圖

控制器輸出的次級噪聲為

2階的切比雪夫展開式為

輸出次級噪聲y(n)經(jīng)次級通道的傳遞函數(shù)后，得到其在誤差傳感器處的信號

其中*表示卷積運算，ds(n)與dp(n)疊加后的誤差信號為

將(5)代入式(8)，可得

則誤差殘留信號的均方為

為使ξ最小，依據(jù)LMS算法[5]，可得權(quán)值系數(shù)的更新方程

其中μ是迭代步長，v(n)=c(n)?sˉ(n)，是切比雪夫展開項經(jīng)過次級通道估計函數(shù)濾波后的響應(yīng)。

2 計算復(fù)雜度分析

基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制FCLMS算法的計算復(fù)雜度主要包括以下部分：計算輸出次級噪聲y(n)，對切比雪夫展開項c(n)進行濾波，和權(quán)更新算法過程中的乘法和加法總量。

在單通道的非線性有源噪聲控制系統(tǒng)中，假定存儲器長度為N，切比雪夫展開的階數(shù)為P，則切比雪夫展開項數(shù)為M=PN+1，次級通道傳遞函數(shù)的長度為L。

(1)次級噪聲y(n)的輸出過程：

乘法計算量為：M，加法計算量為M-1；

(2)對切比雪夫項c(n)進行濾波過程：

乘法計算量為：(P+1)L，加法計算量為（P+1）(L-1)；

(3)權(quán)更新算法過程中：

乘法計算量為：2M，加法計算量為M-1。

基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制算法的計算復(fù)雜度與2階VFx LMS與FS LMS算法的比較如表2所示，表中P0是FS LMS算法展開階數(shù)。由表2可以看出，切比雪夫算法計算量更小。

3 仿真分析

為了驗證本文提出算法的有效性，選用不同的信號源和不同的傳遞函數(shù)模型進行了仿真實驗。在所有的仿真中，為了描述算法性能，定義標準均方差（NMSE）為

3.1 實驗1

假設(shè)初級噪聲是邏輯混沌噪聲（Logistic Chaotic Noise），該噪聲模型是廣泛使用的演講環(huán)境、腔體（如管道）內(nèi)部噪聲模型[5–9]，由下式產(chǎn)生

其中λ=4且x(1)=0.9。

初級通道傳遞函數(shù)為

設(shè)次級通道為非最小相位角通道，其傳遞函數(shù)為[7]

圖2給出了本文提出的自適應(yīng)切比雪夫算法FCLMS與2階VFxLMS和1階FSLMS算法的控制效果比較，實驗中選用的迭代步長u分別為：1)FC LMSμ1=μ2=0.01；2)VFxLMS，μ1=0.002，μ2= 0.002；3)FSLMS，μ1=μ2=0.004。由收斂曲線可以看出，F(xiàn)CLMS算法收斂效果更好，NMSE達到了-26.5分貝。

圖2 各算法對混沌信號的控制效果

3.2 實驗2

在實驗1的噪聲源下，初級通道傳遞函數(shù)不變，次級通道為最小相位模型，其傳遞函數(shù)為

表2 算法復(fù)雜度比較分析

迭代步長u分別?。?)FCLMS，μ1=μ2= 0.012，2)VFxLMS，μ1=μ2=0.003，3)FSLMS，μ1= 0.005，μ2=0.006。圖3給出了三種算法的收斂曲線的比較圖。

圖3 各算法對混沌信號的控制效果

由圖中可以看出，F(xiàn)CLMS算法不僅收斂速度快，而且效果更好，F(xiàn)SLMS算法速度優(yōu)于VFxLMS算法。FCLMS算法NMSE達到了-40.8分貝，而2階VFxLMS可以達到-28.0分貝，F(xiàn)SLMS算法-27.5分貝。

3.3 實驗3

該實驗?zāi)Ｐ拖?，初級通道使用非線性傳遞模型，在誤差傳感器處的信號由下式得到

其中t(n)=x(n)*f(n)，f(n)是初級通道傳遞函數(shù)F(z)=z-3-0.3z-4+0.2z-5的沖擊響應(yīng)。

噪聲源信號x(n)使用500赫茲正弦波信號，該信號的采樣頻率為8 000次/秒，由下式得到

次級通道模型選擇與實驗2中相同，為最小相位模型。迭代步長u分別取：1)FCLMS，μ1=μ2= 0.000 7；2)VFxLMS，μ1=0.005，μ2=0.005；3)FS LMS，μ1=0.005，μ2=0.006。VFxLMS、FSLMS和FCLMS算法的效果比較如圖4所示。

由圖可見，三種算法效果接近，然而FCLMS的計算量更少。

3.4 實驗4

在前3個實驗中，次級通道均采用線性模型，該實驗中次級通道采用非線性模型[11]。

初級通道中在誤差傳感器處的噪聲為

次級通道在誤差傳感器處的信號與控制器（揚聲器）輸出信號之間關(guān)系為

圖4 各算法對周期信號的控制效果

輸入信號為均勻白噪聲，實驗中使用的迭代步長分別為：1)FCLMSμ1=μ2=0.001；2)VFxLMS，μ1=0.003，μ2=0.003，3)FSLMS，μ1=0.006，μ2= 0.006。VFxLMS、FSLMS和FCLMS算法的效果比較如圖5所示。

圖5 各算法對非線性次級通道的控制效果

由圖5可見，三種算法效果接近。

4 結(jié)語

本文提出一種基于自適應(yīng)切比雪夫濾波器的非線性有源噪聲控制算法FCLMS。該算法使用傳統(tǒng)的FxLMS結(jié)構(gòu)，將初始噪聲使用第一類切比雪夫多項式展開，進而擬合該信號，而后使用LMS自適應(yīng)算法進行噪聲控制。FCLMS算法的計算復(fù)雜度低于目前主流的VFxLMS和FSLMS算法。在不同的仿真模型下，該算法控制效果和收斂速度達到或優(yōu)于VFxLMS和FSLMS算法。

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Adaptive FCLMSAlgorithm for NonlinearActive Noise Control Based on Chebshev Filter

GUO Xin-nian,ZHOU Heng-rui
(Huai Yin Institute of Technology,Huaian 223003,Jiangsu China)

A Chebshev filter based filtered-x least mean square(FCLMS)algorithm is proposed for nonlinear active noise control(NANC).The FCLMS algorithm uses the traditional FxLMS structure with the first kind Chebyshev polynomial expansion of the original signal.The computational complexity analyses in comparison with the second-order Volterra filtered-xLMS(VFxLMS)and first-order filtered-s LMS(FSLMS)algorithms are provided.The performance of the FCLMS algorithms is validated through computer simulations.Results of the simulations demonstrate that the developed FC LMS algorithm is better than the VFxLMS and FSLMS algorithms in terms of the noise control efficiency as well as the convergence speeds.

acoustics;active noise control;nonlinear adaptive filter;Chebshev filter;FSLMS

TB132；TB535

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.017

1006-1355(2017)03-0088-04+121

2016-08-23

郭新年，男，江蘇省徐州市人，講師，主要研究方向為自適應(yīng)信號處理，有源噪聲控制，機器視覺。E-mail:yeamy1987@163.com