于亮亮，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

環(huán)境激勵(lì)下脈沖響應(yīng)函數(shù)與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

于亮亮，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)中包含了系統(tǒng)所有的動(dòng)力特性參數(shù)，提取系統(tǒng)的單位脈沖函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)是獲取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)、進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)以及對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)與精確控制的前提。在受環(huán)境激勵(lì)的系統(tǒng)中，由于激勵(lì)無法直接測(cè)量，導(dǎo)致單位脈沖響應(yīng)函數(shù)無法直接獲取。在自然激勵(lì)技術(shù)（natural excitation technique）的基礎(chǔ)上，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的多輸入多輸出位移響應(yīng)，討論了環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系?；趯?shí)模態(tài)系統(tǒng)并將質(zhì)量矩陣進(jìn)一步假設(shè)為對(duì)角矩陣，辨識(shí)出系統(tǒng)所受環(huán)境激勵(lì)的強(qiáng)度分布。根據(jù)辨識(shí)的模態(tài)參數(shù)以及環(huán)境激勵(lì)的強(qiáng)度，由響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)重構(gòu)了系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。最后通過仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了文中的結(jié)論。

振動(dòng)與波；工況模態(tài)分析；環(huán)境激勵(lì)；相關(guān)函數(shù)；脈沖響應(yīng)函數(shù)

對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)，其激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系是通過系統(tǒng)本身所固有的動(dòng)力特性——單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse response functions，IRF）或頻率響應(yīng)函數(shù)（frequency response function，F(xiàn)RF）來體現(xiàn)的，單位脈沖響應(yīng)函數(shù)中包含了系統(tǒng)所有的動(dòng)力特性參數(shù)。提取系統(tǒng)的單位脈沖函數(shù)或頻率響應(yīng)函數(shù)是獲取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)、進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)以及對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)與精確控制的前提。目前振動(dòng)工程測(cè)試中通常用平均功率譜方法來估計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，但是這種方法只適用于激勵(lì)方式已知的情況[1]，現(xiàn)實(shí)中的大型土木工程結(jié)構(gòu)如跨海大橋和海洋平臺(tái)等所受的環(huán)境激勵(lì)往往難以測(cè)得。因此，直接利用工況條件下的響應(yīng)數(shù)據(jù)提取模態(tài)參數(shù)，從理論到工程應(yīng)用在最近幾年都有了長(zhǎng)足的發(fā)展[2–3]。

以著名學(xué)者James為代表的研究人員提出了自然激勵(lì)技術(shù)（natural excitation technique，NExT）[4–7]，該技術(shù)指出單輸入白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)位移響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)含有系統(tǒng)的各階模態(tài)信息，可用于模態(tài)參數(shù)的時(shí)域辨識(shí)。這為環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的提取提供了一條新的途徑[8–10]。對(duì)于多輸入情況下系統(tǒng)受環(huán)境激勵(lì)時(shí)位移響應(yīng)互相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)以及模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，秦飛、鐘軍軍等進(jìn)行了研究和探索[11–13]。

這些基于NExT進(jìn)行的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，均是依據(jù)系統(tǒng)受白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)具有“相似”的數(shù)學(xué)表達(dá)形式這一結(jié)論，直接用相關(guān)函數(shù)代替單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，代入到傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法中，以進(jìn)行工況模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。這種識(shí)別方式，只使用了相關(guān)函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)“相似”的部分，丟棄了不“相似”的部分。在NExT基礎(chǔ)上，從相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)之間“不相似”的部分著手，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的多輸入多輸出位移響應(yīng)，探討系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與受白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步，基于實(shí)模態(tài)離散系統(tǒng)，在質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣的情況下，辨識(shí)了白噪聲激勵(lì)的強(qiáng)度分布，并由相關(guān)函數(shù)重構(gòu)了系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。最后通過仿真證實(shí)了本文的結(jié)論。

1 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

N（N≥1）自由度線性定常系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程用矩陣形式表示為[14]

式中[M]，[C]和[K]分別為系統(tǒng)質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為作用在系統(tǒng)上的激勵(lì)。

設(shè)系統(tǒng)在k點(diǎn)受到激勵(lì)為fk(t)，則第i測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)為[14]

當(dāng)式(1)中的f(t)為在t=0處的單位脈沖函數(shù)即δ(t)函數(shù)時(shí)，就得到系統(tǒng)在k點(diǎn)激勵(lì)i測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)hik(t)

2 響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)

若激勵(lì)不只作用在k點(diǎn)，而是在N個(gè)激勵(lì)點(diǎn)上都有，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性，由式(2)可得i測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)為[14]

第j測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的表達(dá)式同式(4)。由相關(guān)函數(shù)的定義，第i,j測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)可以寫為[15]

式中E[]為求期望運(yùn)算。

當(dāng)f(t)為高斯白噪聲時(shí)，假定在不同的激勵(lì)點(diǎn)上，系統(tǒng)受到高斯白噪聲激勵(lì)互不相關(guān)，并利用δ(t)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)得[14]

Θjr是僅與測(cè)點(diǎn)j和第r階模態(tài)有關(guān)的參數(shù)，與響應(yīng)點(diǎn)i無關(guān)。對(duì)比式(6)與式(3)知，響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)有著一致的對(duì)應(yīng)形式，這是使用相關(guān)函數(shù)進(jìn)行工況模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的理論基礎(chǔ)。

3 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)式(3)及響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)式(6)之間的關(guān)系取決于與[Θ]之間的變換關(guān)系。

設(shè)

則由式(6)及式(8)得

4 實(shí)模態(tài)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)

復(fù)模態(tài)理論考慮的振動(dòng)特性具有一般性，而實(shí)模態(tài)作為復(fù)模態(tài)的一種特殊情況，其模態(tài)振型是直接關(guān)于質(zhì)量矩陣加權(quán)正交的，并且每階振型中各測(cè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相位差為0度或180度，因此式(2)中的模態(tài)振型可以寫為[16]

由式(2)及式(11)得

[U]是實(shí)模態(tài)系統(tǒng)受多點(diǎn)激勵(lì)時(shí)由模態(tài)振型矩陣[?]到矩陣[Θ]的變換矩陣。

將式(13)代入式(6)得實(shí)模態(tài)系統(tǒng)受白噪聲激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)

將式(11)及式(12)代入式(3)得實(shí)模態(tài)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)

對(duì)于N自由度實(shí)模態(tài)離散系統(tǒng)，設(shè)質(zhì)量矩陣是對(duì)角的[17–18]，通過質(zhì)量攝動(dòng)的方法可以根據(jù)OMA算法辨識(shí)得系統(tǒng)的質(zhì)量

由模態(tài)振型的加權(quán)正交性[14]，得

式中[?]為實(shí)模態(tài)振型矩陣為模態(tài)質(zhì)量矩陣。

將式(18)代入式(15)，并將[U]及[U*]展開化簡(jiǎn)得

式中Re[]為求復(fù)數(shù)的實(shí)部運(yùn)算，

由式(19)可得關(guān)于{αk}的N2個(gè)方程，這里為由系統(tǒng)所受的白噪聲激勵(lì)的強(qiáng)度組成的向量。等號(hào)右邊第l行p列的元素與第p行l(wèi)列元素的比值為

由式(20)知，在每一個(gè)特定時(shí)間差T=T0時(shí)刻，式(19)中等號(hào)右邊的矩陣關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的兩個(gè)元素均相差一個(gè)系數(shù)，即他們組成的方程是等價(jià)的。為求解{αk}，在關(guān)于的N2個(gè)方程中，任取其中的N個(gè)方程組成下式

將辨識(shí)得的模態(tài)參數(shù)及式(22)代入式(13)和式(14)即得到白噪聲激勵(lì)時(shí)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)之間的變換矩陣[U]，進(jìn)一步可以由相關(guān)函數(shù)重構(gòu)得到單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

5 仿真算例

如圖1所示為5自由度系統(tǒng)。

圖1 仿真系統(tǒng)

在圖1中：

初始給定白噪聲激勵(lì)的強(qiáng)度為

5.1 白噪聲激勵(lì)的強(qiáng)度

這里取式(19)第一行的元素組成線性方程組。由于方程組在時(shí)間差T為0 s附近時(shí)條件數(shù)比較大，故在T從0.05 s～0.4 s的時(shí)間段內(nèi)求{αk}，如圖2所示。

圖2 T在0.05 s～0.4 s之間變化時(shí)激勵(lì)強(qiáng)度{αk}的辨識(shí)值（粗虛線為給定值，細(xì)實(shí)線為辨識(shí)值）

將T在0.05 s～0.4 s內(nèi)辨識(shí)得的值的平均值作為{αk}的辨識(shí)值，并與給定值進(jìn)行比較，相對(duì)誤差如表1所示。

表1 辨識(shí)的與給定的激勵(lì)強(qiáng)度αk值及其相對(duì)誤差

由表1及圖2知，αk的辨識(shí)值與給定值的相對(duì)誤差非常小。這說明關(guān)于白噪聲激勵(lì)強(qiáng)度的辨識(shí)理論是有效的。

5.2 脈沖響應(yīng)函數(shù)重構(gòu)

根據(jù)辨識(shí)得到的模態(tài)參數(shù)、白噪聲激勵(lì)強(qiáng)度{αk}和變換矩陣[U]，由相關(guān)函數(shù)重構(gòu)得到系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。不失一般性，將h11(t)展示在圖3中。

圖3 給定的及重構(gòu)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h11(t)

在圖3中粗虛線為給定的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，細(xì)實(shí)線為重構(gòu)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，0線附近的細(xì)點(diǎn)劃線為重構(gòu)的與給定的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)之間的誤差。粗虛線與細(xì)實(shí)線吻合得很好，并且誤差也非常小，這說明白噪聲激勵(lì)強(qiáng)度{αk}的辨識(shí)是正確的，同時(shí)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的重構(gòu)也是準(zhǔn)確的，這進(jìn)一步說明本文提出的方法是合理的。

6 結(jié)語

在自然激勵(lì)技術(shù)的基礎(chǔ)上，基于復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的多輸入多輸出位移響應(yīng)，討論了環(huán)境激勵(lì)下系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系?；趯?shí)模態(tài)離散系統(tǒng)，并將實(shí)模態(tài)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣進(jìn)一步假設(shè)為對(duì)角矩陣，通過本文建立的方法，成功地辨識(shí)出系統(tǒng)受環(huán)境激勵(lì)的強(qiáng)度分布。并根據(jù)辨識(shí)的模態(tài)參數(shù)以及白噪聲的激勵(lì)強(qiáng)度，由響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)構(gòu)造出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。最后通過仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了文中的結(jié)論。文中的方法將NExT擴(kuò)展到了復(fù)模態(tài)理論，同時(shí)辨識(shí)出了激勵(lì)強(qiáng)度，這為OMA中載荷辨識(shí)提供了理論依據(jù)；重構(gòu)出脈沖響應(yīng)函數(shù)，是獲取系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)、進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)以及對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)與精確控制的前提。

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Discussion on the Relation between Correlation Functions and Impulse Response Functions underAmbient Excitation

YU Liang-liang,SONG Han-wen
(School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Impulse response functions(IRFs)contain all the dynamic characteristics of structures.Extraction of IRFs or frequency response functions(FRF)is the premise for obtaining the dynamic characteristics of the structure,the structure identification,the health monitoring,and the precise control of the structure.However,in some real operation conditions,the excitations cannot be measured and the IRFs cannot be acquired directly.In this paper,the relation between the correlation functions and IRFs is meticulously deduced through natural excitation technique(NExT).Furthermore,considering that the structure is a real-modal system,the intensity of each excitation is identified when the structure is discrete and the mass matrix is diagonal.Using the identified modal parameters and the intensity of the excitations,the IRFs of the structure are reconstructed by correlation functions.A simulation is employed to validate the reliability of the relation derived between the correlation functions and the IRFs.

vibration and wave;operational modal analysis(OMA);ambient excitation;correlation function;impulse response function(IRF)

O321；O327

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.003

1006-1355(2017)03-0014-05+36

2017-02-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272235)

于亮亮（1986－），男，江蘇省連云港市人，博士生，主要研究方向?yàn)楣r模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

宋漢文，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:hwsong@#edu.cn