董俊劍

【摘要】很多教師對(duì)例題的教學(xué)往往只偏重于知識(shí)的傳授、解題技巧的訓(xùn)練，有的甚至是就題論題，局限于問(wèn)題的結(jié)果，而忽視了問(wèn)題教學(xué)的更高層次—“問(wèn)題延伸”。課本的例題是對(duì)鞏固知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)新意識(shí)的載體，具有很強(qiáng)代表性和示范性。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)加強(qiáng)研究，注意多解創(chuàng)新、變式引申和化歸推廣，引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)掘例題的潛在功能，為分析解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了方向。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 例題 體會(huì)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）11-0048-02

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主觀能動(dòng)性，切實(shí)有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)及例題分析，就能更好提高解題能力和數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)。因此，教師必須加強(qiáng)對(duì)教材中例題教學(xué)的研究，以提高教學(xué)效果和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，下面具體談?wù)剛€(gè)人的幾點(diǎn)體會(huì)。

一、找多解，求創(chuàng)新，集思廣益

當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法去尋求解題思路時(shí)，知識(shí)重現(xiàn)的范圍就會(huì)擴(kuò)大，既復(fù)習(xí)已學(xué)的知識(shí)，又有利于深化知識(shí)；而且每解一題都會(huì)有一定的發(fā)現(xiàn)和積累，這樣，在一程度上就可提高解題能力和解題經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)解題的創(chuàng)新精神。在日常教學(xué)中，可采取以下幾點(diǎn)的措施。

1.重過(guò)程，走捷徑

北師大版初中數(shù)學(xué)教材中有些問(wèn)題在例題中，也有的在“探究活動(dòng)”中，而這些問(wèn)題的求解往往可以多思維、多方法求解；教學(xué)時(shí)，若只講一種解法寫(xiě)出解答，而沒(méi)有深入探究、歸納和利用，就很難培養(yǎng)學(xué)生多種方法的解題能力。反之，在教學(xué)過(guò)程中若能準(zhǔn)確地分析問(wèn)題的條件關(guān)聯(lián)；就能找出解題捷徑，提高解題的簡(jiǎn)捷性和合理性。

例1、關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？

解法一：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c這是本題所具有的明顯特征；

解法二：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+m）2+k這是分析題目可以引申的方法。

評(píng)析：此節(jié)前已學(xué)過(guò)用一般式求二次函數(shù)的解析式，大部分學(xué)生容易想到用一般式求解；但對(duì)題目所給點(diǎn)的特征加以分析可以知道A，C兩點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)從而得到點(diǎn)B就是兩次函數(shù)的頂點(diǎn)，因此可以利用頂點(diǎn)式來(lái)求解。因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生用兩種方法板演對(duì)比，使大家清晰地領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入分析可以提高解題的簡(jiǎn)捷性。

2.勤思考，試多解

在教學(xué)中，可讓學(xué)生對(duì)教材中一些例題嘗試一題多解，鼓勵(lì)他們從不同的角度、分析條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生在解題中更加積極、主動(dòng)，充分發(fā)揮創(chuàng)造性。

例2、如圖，已知△ABC中，AB=AC，在AB上取一點(diǎn)D，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接DE交BC于點(diǎn)F，若F是DE的中點(diǎn)。求證：BD=CE

證法一：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BC于點(diǎn)G（如圖1），證明△BDG是等腰三角形得到BD=DG，進(jìn)一步去證明△DFG≌△EFC得到DG=CE，從而得到BD=CE這個(gè)結(jié)論

證法二：在AC上取一點(diǎn)H，使CH=CE，連接DH（如圖2），證明CF是△EDH的中位線得到CE=CH，進(jìn)一步去證明CH=BD，從而得到BD=CE

評(píng)析：本題的不同解答，使學(xué)生學(xué)會(huì)了幾種常用輔助線的添法及不同定理的靈活運(yùn)用，對(duì)激發(fā)思維和培養(yǎng)思維的發(fā)散性起到重要作用。

3.既溫故，又知新

復(fù)習(xí)時(shí)，要用新的知識(shí)觀回顧以往例題，再尋找題目中條件與結(jié)論邏輯聯(lián)系的特殊性和普遍性，重新設(shè)計(jì)解題方案，讓學(xué)生在有限的問(wèn)題研究中得到知識(shí)的互相滲透、深化和再創(chuàng)造，可讓學(xué)生站在更高一層次看待問(wèn)題，學(xué)會(huì)用思維指導(dǎo)行為；也可以學(xué)會(huì)一種自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，授之以漁；還可以橫向、縱向提升難度，拓展思路，訓(xùn)練思維的作用。從而達(dá)到克服“題海戰(zhàn)術(shù)”的盲目性。

例3、如圖3，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，⊙O是以BC為直徑的圓，設(shè)AD邊上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合），BP交⊙O于點(diǎn)Q。

（1）設(shè)線段BP長(zhǎng)為xcm、CQ長(zhǎng)為ycm，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)BP=CQ時(shí)，求△BQC與△PAB的面積比。

解：①由△BQC∽△PAB，得到y(tǒng)=（5

②S△QBC：S△PAB=CQ2：AB2=40：25=8：5。

當(dāng)學(xué)習(xí)了解直角三角形和直線與圓的位置關(guān)系后，可重新回顧此題，引導(dǎo)學(xué)生用面積法思考圖形間的相互聯(lián)系。

另解：

①運(yùn)用關(guān)系式：S△BPC=BP×CQ=xy，S△BPC=S矩形=×5×8=20；

②運(yùn)用關(guān)系式：S△BQC=×8×y×sin∠BCQ，S△PAB=×5×x×sin∠APB，又證得∠BCQ=∠ABP，可得結(jié)論。

評(píng)析：通過(guò)上例運(yùn)用三角形知識(shí)解決幾何問(wèn)題，不僅使學(xué)生得到數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，而且能激發(fā)學(xué)生復(fù)習(xí)教材的興趣和提高學(xué)習(xí)的積極性。

二、巧引申，善變化，以少勝多

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“探索是數(shù)學(xué)的生命線?！睂?duì)命題的引申、猜想是發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的有效辦法，是數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的基本動(dòng)力。在數(shù)學(xué)教材中有很多例題都具有很深的題材背景，為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)研究提供了大量的引申素材。只要引申恰當(dāng)，就能以少勝多，使學(xué)生能更深刻、更靈活地掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)然，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，確定具體的引申方法。

1.一題多問(wèn)

根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平和教材中例習(xí)題的特點(diǎn)，對(duì)某些例題恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行延伸提問(wèn)，以一題變?yōu)橐淮畣?wèn)題，讓學(xué)生的思維得以順延并始終處于積極興奮的最佳狀態(tài)，從而加強(qiáng)教學(xué)效果。

例4、對(duì)于以上例3可繼續(xù)提問(wèn)：（1）BP能否是CQ的2倍？為什么？（2）當(dāng)時(shí)，求△BQC與△PAB的面積比和AP的長(zhǎng)；

例5、已知：如圖4，△ABC和△ADE都是正三角形。求證：CE=BD。

可繼續(xù)提問(wèn)：（1）AB交CE于F，BD交AE于G，求證：AF=AG；

（2）當(dāng)C、A、D點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求證：FG∥CD。

評(píng)析：通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的解答，使學(xué)生對(duì)圖形中各元素間的關(guān)系有深入全面地了解，加強(qiáng)了有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，提高了分析問(wèn)題的能力。

2.一題多變

在日常教學(xué)時(shí)，可針對(duì)教材中例題的結(jié)構(gòu)、圖形的特征，或把題設(shè)和結(jié)論相應(yīng)地進(jìn)行一些變化，讓學(xué)生在變化過(guò)程中觀察、對(duì)比、聯(lián)想，有助于培養(yǎng)思維的靈活性和應(yīng)變能力。

例6、如圖5，已知一個(gè)直角三角板的兩條直角邊邊分別為30cm和40cm，現(xiàn)要求在內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上。

（1）、如果設(shè)矩的一邊AB=xm，那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？

（2）、設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

在上面的問(wèn)題中，如果把矩形改成如圖所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

評(píng)析：本題有助于對(duì)幾何變式的問(wèn)題深入理解和數(shù)學(xué)思維的順延有著啟示作用，對(duì)知識(shí)的深入理解和綜合應(yīng)用形成有效的訓(xùn)練。

三、多反思，會(huì)推廣，難化易

任何學(xué)科的發(fā)展都應(yīng)將繁雜的研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)、研究，然后探求它們的內(nèi)在聯(lián)系和獨(dú)立的特性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要經(jīng)?？偨Y(jié)各類(lèi)例題的解題思路，形成解題系統(tǒng)方法，發(fā)展學(xué)生整體性思維能力，提高解題質(zhì)量。

1.總結(jié)失誤的教訓(xùn)

教學(xué)時(shí)，要注意加強(qiáng)解題過(guò)程中易發(fā)生錯(cuò)誤性的教學(xué)，要盡可能讓學(xué)生反思得出的結(jié)論，使其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的膚淺理解能在課堂中表露出來(lái)，并得以糾正，有利于培養(yǎng)思維嚴(yán)密性和條理性。

例7、設(shè)x1、x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。

解法一：

由韋達(dá)定理易解得k1=0，k2=4；當(dāng)k1=0時(shí)，△>0；當(dāng)k2=4時(shí)，△<0?！鄈2=4不合題意，舍去?！鄈=0。

解法二：

由韋達(dá)定理易解得k1=0，k2=4；∵△=4（k-1）2-4k2=-8k+4≥0，∴k≤ ，∴k2=4不合題意，舍去?！鄈=0。

評(píng)析：當(dāng)學(xué)生解得k1=0，k2=4時(shí)，往往以為解題已經(jīng)結(jié)束。教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生回顧一元二次方程有兩實(shí)根的條件及韋達(dá)定理的前提條件，思考得出以后結(jié)論。俗話說(shuō)“吃一塹，長(zhǎng)一智”，這樣，加深了對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解和靈活運(yùn)用，避免了以后出現(xiàn)習(xí)慣性的錯(cuò)誤。

2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)思想方法從宏觀上看有分類(lèi)、歸納、類(lèi)比、演繹、抽象、方程、化歸、建模、整體化、數(shù)形結(jié)合等。在日常教學(xué)中，不僅要使學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本解題技能，重要是把數(shù)學(xué)思想方法歸納、總結(jié)貫穿于教學(xué)之中，讓學(xué)生在解題時(shí)能準(zhǔn)確地分析與運(yùn)用。

例8、如圖6，已知矩形ABCD，AB=4cm，BC=8cm，把矩形沿對(duì)角線BD對(duì)折，使BC/與AD相交于點(diǎn)F。求：重疊部分△BFD的面積是多少？

評(píng)析：利用折疊原理的圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求解△BFD的面積進(jìn)而歸納為求線段FD的長(zhǎng)度，進(jìn)一步分析利用勾股定理的等量關(guān)系構(gòu)造方程求解。

例9、如圖7、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，-2），與x軸相交于B（-1，0），

問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)C使得△ABC是一個(gè)直角三角形，若存在求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

解法一：

分類(lèi)討論分三種情況：以A、B、C為直角頂點(diǎn)，分別形成兩兩垂直的直線進(jìn)而求解直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)。

解法二：

利用整體的數(shù)學(xué)思想：描述出AB、AC、BC的三條線段長(zhǎng)度，利用勾股定理的等量關(guān)系，構(gòu)造方程求解。

評(píng)析：教學(xué)時(shí)，要對(duì)這兩種方法做詳細(xì)的分析，讓學(xué)生體會(huì)到分類(lèi)討論與整體思想在數(shù)學(xué)解題中的重要運(yùn)用。

笛卡兒說(shuō)：“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題將成為一個(gè)范例，以用于解決其它問(wèn)題?！本C上所述，教師講解課本例題時(shí)，不應(yīng)是“授人以魚(yú)，只供一飯之需”，而應(yīng)是“授人以漁，則終生受用無(wú)窮”。只要針對(duì)學(xué)生實(shí)際，充分挖掘教材的潛在功能，努力培養(yǎng)學(xué)生思維能力和解題習(xí)慣，就能使之正確、合理、簡(jiǎn)捷、清楚地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃旭華.新課標(biāo)下數(shù)學(xué)習(xí)題的演變.中學(xué)數(shù)學(xué)教育，210，1-2.

[2]黃建榮.課本例題的研究、創(chuàng)造與再應(yīng)用.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），20014，1.

[3]韋布才.發(fā)揮習(xí)題角色功能的教學(xué)嘗試.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2004，5.

[4]李秀元.由教材例習(xí)題引發(fā)的思考.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，20014，3.