朱淑芬

摘 要：初中幾何證明是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍認(rèn)為的難點。如何教授幾何，何學(xué)習(xí)幾何，如何進(jìn)行幾何題證明，成為老師和學(xué)生共同關(guān)心的問題。學(xué)好初中幾何不僅僅是初中數(shù)學(xué)對學(xué)生提出的要求，初中時期良好的幾何基礎(chǔ)，也是升入高中后，學(xué)生順利進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)的重要保障，因此探討如何進(jìn)行幾何教育和學(xué)習(xí)是十分重要的。

關(guān)鍵詞：幾何；證明；基礎(chǔ)；逆向思維

幾何，是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科，初中數(shù)學(xué)中的幾何證明主要是平面幾何證明。初中幾何證明除了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圖形結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)基本的幾何定理之外，更是對學(xué)生動手能力、推理能力、空間認(rèn)知能力以及邏輯思維能力等多方面能力的鍛煉。幾何與代數(shù)、與分析的不同之處在于，幾何與圖形的聯(lián)系更加緊密，甚至說任何幾何都離不開圖形也不為過。我認(rèn)為這就是大多數(shù)學(xué)生對幾何難以入門的重要原因之一。另外，初中幾何與別的數(shù)學(xué)知識不同，雖然小學(xué)時候也有接觸，但是就內(nèi)容和解題方式來說，幾何對初中生還是比較新的存在，也是導(dǎo)致很多初中生開始很難適應(yīng)幾何的原因。除此之外就是幾何對學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力要求更高，很多學(xué)生的思維方式還停留在小學(xué)階段，尚未進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，因此覺得初中幾何證明題無從下手。綜上，如何有效突破初中幾何證明，確實是一個迫在眉睫的問題。下面，我根據(jù)現(xiàn)實的教學(xué)經(jīng)驗，談一談如何引導(dǎo)初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，突破幾何證明題的難點。

一、注重基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)

“羅馬不是一天建成的?！薄扒Ю镏校加谧阆??！睙o論是什么樣的知識，基礎(chǔ)是至關(guān)重要的，于幾何而言，也是如此。對于幾何來說，基礎(chǔ)有兩個：原理和作圖。就幾何原理來說，對基礎(chǔ)原理的記憶不可少，但是老師帶領(lǐng)學(xué)生追本溯源，討論每一個原理的推導(dǎo)過程不容忽視。原理只有一個，但是圖形和條件是千變?nèi)f化的，所以在幾何教學(xué)中應(yīng)該注重活學(xué)活用。另外當(dāng)讀完一道幾何證明題時，要引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)條件畫圖，再根據(jù)圖形和求證解題。不論幾何證明題是簡單抑或是復(fù)雜，讀完題的第一件事應(yīng)該是畫圖，甚至可以訓(xùn)練學(xué)生邊讀題邊畫圖。以圖形為基礎(chǔ)分析問題，也是幾何證明的一個重要特征。

比如，在推導(dǎo)角平分線的性質(zhì)時，就會涉及我上面所說的兩方面內(nèi)容。老師讓學(xué)生用紙剪一個角，然后將角的兩條邊對折，得到一條角的平分線，在平分線上取一點分別做兩條邊的垂線段。引導(dǎo)學(xué)生測量兩條線段的特點，并且總結(jié)規(guī)律。這是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行原理的推導(dǎo)。最后將推導(dǎo)過程用數(shù)學(xué)語言表述，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足，由已知事項推出的是

PD=PE。再舉一個學(xué)生比較容易混淆的三角形全等的定理，在學(xué)習(xí)全等三角形一課時，一些學(xué)生容易錯誤地認(rèn)為兩個三角形三個角相等，那么這兩個三角形全等。要更正這個錯誤的認(rèn)知，其實很簡單，就是給學(xué)生畫圖舉個例子，選擇最容易畫的等腰直角三角形讓學(xué)生作圖，只要畫一個直角，保證兩條直角邊相等，這個直角等腰三角形大小可以隨意變化，但是三個角的度數(shù)始終都會保持在90°、45°、45°，也就是說AAA不能證明三角形全等。所以教會學(xué)生理論推導(dǎo)，以及畫圖是非常重要的，也是幾何證明的基礎(chǔ)。

二、學(xué)會逆向思維

逆向思維，既反其道而行之。在幾何證明題中就是根據(jù)所要證明的結(jié)果，一步步往回推導(dǎo)所需要的已知條件。很多學(xué)生在做幾何證明題時無從下手，很大原因就是沒有建立起逆向思維解題的思維體系。數(shù)學(xué)很多原理具有“互逆性”，這是逆向思維的體現(xiàn)。比如，前面一部分我所提到的角平分線的定理，已知∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足，PD=PE。首先根據(jù)已知畫圖，結(jié)合直角三角形全等的條件，Rt△PEO≌Rt△PDO（HL），所以∠AOP=∠BOP，所以O(shè)P是∠AOB的角平分線。以上是原理中逆向思維的體現(xiàn)，下面我會在具體的幾何證明題中，解釋說明如何利用逆向思維解題。

如圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE//AB交AC于E，求證：AE=CE.

利用逆向思維要求證AE=CE，首先作圖（圖見本文第三部分論證過程旁），然后將已知條件放入圖中，逆向思考慮要求證同一條線段上的兩段線段相等，可以直接證明E是中點，或者可以把它們放在兩個三角形中考慮，再或者通過一些媒介來溝通，即A=C，B=C，得出A=B。根據(jù)逆向思維觀察圖形，前面兩者顯然行不通，首先中點你無法證明。接下來是放在三角形中證明，兩條線段分別在△AED和△ECD中，無法產(chǎn)生聯(lián)系。所以就需要構(gòu)筑橋梁產(chǎn)生聯(lián)系，但是已知顯然是不夠的，所以需要借助輔助線，分別延長AB和CD相交于點P，此時再進(jìn)行分析證明。因為AD平分∠PAC，AD⊥PC，所以△PAD≌△CAD，因為AB//DE，AD平分∠PAC，∠PAD=∠DAC=∠EDA，所以AE=DE，再證明DE=CE就行，具體解題過程在下部分進(jìn)行梳理。這就是逆向思維解題的思考過程。

三、有理有據(jù)規(guī)范答題

理論學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)，逆向思維是思考方式以及思考過程，而最終結(jié)果的反應(yīng)就是學(xué)生最終在解題過程中呈現(xiàn)出來的證明過程。前兩步如果認(rèn)為是幾何證明題的知識儲備以及知識調(diào)取，那么最后一步證明則是將幾何知識付諸于實踐中。很多學(xué)生在證明過程中都是將證明步驟、原理、已知條件隨意堆砌，最后得出證明結(jié)果。這種情況一方面體現(xiàn)了學(xué)生在證明過程中條理并不清晰，另一方面，要指出的是在證明過程中，一些既定的格式、約定俗成的流程不能亂。使用一些格式并不是禁錮思維，或者是不夠變通，只是為了方便和高效率，就像斑馬線、紅綠燈的出發(fā)點，最終目的還是方便大家，覺得不方便只是因為不遵守。

在幾何證明過程中，一些特定的推導(dǎo)符號還是不能少，思考過程不等于最后的證明過程，證明過程是通過梳理的，更加清晰的推導(dǎo)過程。以第二部分中的例題為例，來進(jìn)行證明過程梳理，最終表現(xiàn)結(jié)果如下。

證明：延長CD交AB的延長線于P，在△ADP和△ADC中，

∵AD⊥PC，AD平分∠PAC，

∠PAD=∠CADAD=AD∠ADP=∠ADC

∴△ADP≌△ADC（ASA）

∴∠P=∠ACP

又∵DE∥AP

∴∠ADE=∠PAD=∠DAC

∠EDC=∠P=∠ACP

∴AE=DE，DE=EC

∴AE=EC

規(guī)范的書寫表達(dá)可以清晰明了地反映出證明過程，對于剛開始接觸幾何證明的初中學(xué)生最好把每一步的原理清晰地寫明，一方面強化了基礎(chǔ)知識，另一方面，也防止學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中含混模糊。除了以上兩點，規(guī)范證明書寫過程，也能夠讓學(xué)生在梳理過程中重新對題目進(jìn)行認(rèn)知思考，訓(xùn)練思維方式。

四、因人制宜，多層次要求

上面三部分是就具體幾何知識教授而言，最后這一部分則強調(diào)老師在幾何教學(xué)過程中不能一把抓，不同的學(xué)生要求也要不

同。每個學(xué)生的擅長方面是不同的，有的人擅長科學(xué)，有的人擅長文學(xué)，有的人對代數(shù)敏感，有的人對幾何敏感，不同的學(xué)生在空間感知、思維方式等方面都是不同的，因此不能以同樣的要求來要求每一個學(xué)生。對空間感較好的學(xué)生，可以帶領(lǐng)他們探索一些比較復(fù)雜的幾何證明題，對相對不敏感的學(xué)生，要著重抓基礎(chǔ)，不能讓他們對幾何證明失去信心，對數(shù)學(xué)失去信心。

初中幾何證明是對學(xué)生動手能力、推理能力、空間認(rèn)知能力以及邏輯思維能力等多方面能力的綜合訓(xùn)練。抓住基礎(chǔ)知識、學(xué)會逆向思維、規(guī)范化答題是解決初中幾何證明題難點的關(guān)鍵。學(xué)好幾何證明，不僅有利于提高初中生數(shù)學(xué)成績，而且重要的是能提高學(xué)生分析問題的能力，為高中繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何打下良好的基礎(chǔ)。

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編輯 謝尾合