張春紅

(湖南科技職業(yè)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004 )

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極限在定積分中的作用

張春紅

(湖南科技職業(yè)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004 )

極限和定積分是高等數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)概念。函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中最根本的基礎(chǔ)概念，是承接高等數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的支架。定積分用來(lái)解決平面上封閉曲線圍成區(qū)域的面積問(wèn)題，利用和式的極限即定積分來(lái)求解這一類(lèi)型的區(qū)域面積。特定結(jié)構(gòu)和式的極限計(jì)算就是定積分，它是極限的一種形式，數(shù)學(xué)中用于計(jì)算封閉區(qū)域的面積，實(shí)際生活中用于計(jì)算變力做功、水的壓力、立體的體積等。極限是定積分的基石，定積分是由極限引申出來(lái)的概念。學(xué)好函數(shù)極限是基礎(chǔ)，也是學(xué)好定積分的關(guān)鍵。

極限；定積分；函數(shù)

極限是描述變量在某一變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)。在生活和實(shí)踐中常常要計(jì)算某些量，如:曲線圍成的陰影部分圖形面積，幾何體體積計(jì)算，外力作用下質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)時(shí)所做的功的計(jì)算，不均勻密度物質(zhì)的質(zhì)量計(jì)算，等等。為了計(jì)算這些量的精確值，利用極限來(lái)求解。大量與這些相關(guān)的問(wèn)題，盡管在表面上、形式上各不相關(guān)、各不相同，但都要求計(jì)算一個(gè)和式的極限，這就是定積分的概念。定積分是極限的一種表現(xiàn)形式，是極限概念的升華，是理論和實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)的紐帶。定積分概念的引入，使得很多極限問(wèn)題的求解得以簡(jiǎn)化容易。極限和定積分相互運(yùn)用，更好解決了求解極限方法的問(wèn)題。

1 理論

1.1 極限概念

函數(shù)極限的定義:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)不論它多么小，總存在正數(shù)，使得：當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式常數(shù)就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記為:

極限作為微積分中最基礎(chǔ)的概念，是指變量在一定的變化過(guò)程中，逐漸穩(wěn)定趨向于某個(gè)固定的數(shù)值。微積分中基本的概念，如:連續(xù)、微分、積分等都建立在極限理論的基礎(chǔ)概念之上。

1.2 定積分概念

定積分定義:

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn):

a=x0

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為:

Δxi=xi-xi-1，(i=1,2,∧)，

在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(ξi∈Δxi)，作乘積f(ξi)Δxi(i=1,2,∧)并作和

記λ=max{Δx1,Δx2,∧,Δxn}，若不論采取怎樣的分割法對(duì)[a,b]進(jìn)行分割，也不論在小區(qū)間[xi-1,xi]上怎樣取點(diǎn)ξi，只要當(dāng)λ→0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，就稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為:

其中稱(chēng)f(x)為被積函數(shù),f(x)dx為被積式，x為積分變量，[a,b]為積分區(qū)間，a,b分別稱(chēng)為積分下限和上限。

根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成。

其面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即:

分析: 在定積分的定義中有兩點(diǎn)值得注意:第一，定積分實(shí)際上就是無(wú)窮項(xiàng)和式的極限。第二，定積分跟特定的連續(xù)函數(shù)有密切關(guān)聯(lián)，定積分的一般項(xiàng)受到特定連續(xù)函數(shù)的約束，是連續(xù)函數(shù)把某個(gè)區(qū)間分割成無(wú)窮的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上任取的函數(shù)值與區(qū)間長(zhǎng)度的乘積的疊加。

定積分的本質(zhì)是和式的極限。將函數(shù)定義域上區(qū)間[a,b]分成多個(gè)小區(qū)間，求函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長(zhǎng)度Δxi的乘積的和，在小區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)，如果和式的極限存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在此區(qū)間的定積分。和式極限的幾何意義表示的是x軸、函數(shù)圖形及直線x=a、x=b之間各部分曲邊梯形面積的代數(shù)和再取極限。

2 極限和定積分的關(guān)系

定積分概念的引入，運(yùn)用了極限的思想，但又拓展了求解極限的方法。定積分概念的引入最初是為了求解實(shí)踐生活不規(guī)則圖形的面積，后廣泛應(yīng)用于物理學(xué)中求解相關(guān)問(wèn)題。

定積分是特定的一種和式的極限，定積分的概念思想可用于求解和式的極限，有些和式的極限用定積分的思想才能更簡(jiǎn)潔地解答。將極限的表達(dá)式整體轉(zhuǎn)化成積分形式，應(yīng)用定積分快速簡(jiǎn)便求原極限的結(jié)果。在求解有些積分和時(shí)，轉(zhuǎn)化為極限和的形式，可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。定積分與極限二者可以相互轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題化難為易，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，共同促進(jìn)拓展極限問(wèn)題的求解。

定積分是一種極限，極限造就了定積分，定積分又更好解決了極限中不少棘手的問(wèn)題。極限與定積分是廣義與狹義的區(qū)別，是一般與特殊的區(qū)別。定積分有極限的共性又有自己的個(gè)性，是一種特殊的極限。

3 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)的極限是深入研究學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，定積分是特殊形式的極限，是函數(shù)極限的深入研究發(fā)展。定積分概念的出現(xiàn)解決了實(shí)際生活中不少關(guān)于和式極限的難題。學(xué)好極限是基礎(chǔ)，定積分是極限學(xué)以致用的橋梁，是將理論知識(shí)運(yùn)用于實(shí)踐的嫁接器。

[1] 黃江.新編高等數(shù)學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，2015.

[2] 張琳，馬祥玉.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].上海:上海交通大學(xué)出版社，2010.

[3] 章學(xué)誠(chéng).高等數(shù)學(xué)(一)微積分[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.

[4] 劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析講義[M]．北京:高等教育出版社，2003.

Therole of limit in definite integral

ZHANG Chun-hong

(Hunan Vocational College of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Limit and definite integral are important basic concepts in higher mathematics. The limit of the function is the most fundamental basic concept of higher mathematics, and it is a bracket to undertake various knowledge points of higher mathematics. The definite integral is used to solve the problem of the area enclosed by the curve on the plane, and the area of this type is solved by using the limit definite integral. The limit calculation of a particular structure is definite integral, which is a form of the limit. It is used in mathematics to calculate the area of the enclosed area, and is used to cultivate variable force acting, the pressure of water and the volume of the cube in actual life. Limit is the cornerstone of definite integral, and the definite integral is the concept derived from the limit. The functional limit is the basis to learn definite integral.

Limit; Definite integral; Function

2017-02-15

張春紅(1980-)，女，碩士，講師。

G642

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1674-8646(2017)08-0130-02