鄧瑩源

摘 要：數(shù)學臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，從數(shù)學學習的觀點來講，數(shù)學臆測活動不僅是啟動學生主動思考的引擎，它還能啟動數(shù)學探究和引燃數(shù)學論證。數(shù)學臆測之后便是提出猜想。但是猜想不一定都是有效的，為了檢驗猜想是否有效，數(shù)學論證由此產(chǎn)生，所以數(shù)學臆測是伴隨著論證發(fā)生的，兩者關(guān)系極為密切。筆者以“平行四邊形面積”一課為例，以臆測活動進行教學，實踐證明引發(fā)小學生進行論證，經(jīng)歷主動學習的可行性。

關(guān)鍵詞：平行四邊形面積；教學；數(shù)學臆測；論證

一、背景和研究價值

“平行四邊形面積”是最基本的圖形面積計算之一，在幾何學中有著廣泛的應用?！捌叫兴倪呅蚊娣e”是小學生學習三角形面積、梯形面積和其他組合圖形面積的重要基礎，在三角形面積和梯形面積的推導過程中具有非常重要的作用和價值。同時“平行四邊形面積”也是小學數(shù)學學習中重要的傳統(tǒng)教學內(nèi)容之一。但是我們發(fā)現(xiàn)，在實際的教學中，學生的學習存在一些困惑：

1. 平行四邊形的面積為什么一定是“底×高”呢？

2. 既然在進行公式推導的過程中是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形進行推導的，那么，平行四邊形的底與長方形的長是相等的，但平行四邊形的高與長方形的寬是否相等？為什么不相等呢？

而如果教師在課堂教學中能引導學生先對平行四邊形的面積進行猜想，繼而鼓勵學生自己去驗證猜想，得出正例或反例，再引導學生再次猜想、驗證，最終形成結(jié)論，這樣就能很好地解決學生的困惑。而這個過程，我們認為它就是一個很好的以數(shù)學臆測活動引發(fā)學生論證主動學習的過程。

從數(shù)學學習的觀點來講，數(shù)學臆測活動不僅是啟動學生主動思考的引擎，它也能啟動數(shù)學探究和引燃數(shù)學論證。數(shù)學臆測之后便是提出猜想，但是猜想不一定都是有效的，為了檢驗猜想是否有效，數(shù)學論證隨之產(chǎn)生，所以數(shù)學臆測是伴隨著論證發(fā)生的，兩者關(guān)系極為密切。依據(jù)Stylianides（2007）提出證明是一種論證，論證包含三個元素：一組敘述、論證方法（如演繹法、數(shù)學歸納法、舉反例等）、論證方法的表征。以此觀之，數(shù)學論證需要涉及較高層次的解題歷程，故并非任何一堂數(shù)學課學生的論證都會發(fā)生，若教師能在課堂制造機會讓學生進行數(shù)學臆測活動，則學生的論證歷程較有可能發(fā)生，也就是說，數(shù)學臆測可以引發(fā)數(shù)學論證，數(shù)學臆測是啟動數(shù)學論證的動力。

數(shù)學論證固然重要，但這樣的習慣與能力學生需要在何種場域培養(yǎng)呢？依據(jù)陳英娥與林福來對數(shù)學論證的研究發(fā)現(xiàn)建議：若要培養(yǎng)學生的論證能力，則需要把說理變成是一種習慣。數(shù)學論證會展現(xiàn)在教師與學生互動的數(shù)學溝通活動中。

本研究旨在通過“平行四邊面積教學”這一案例，研究以數(shù)學臆測活動來引發(fā)學生經(jīng)歷數(shù)學論證的可行性。

二、核心概念界定：數(shù)學臆測活動論證

（一）數(shù)學臆測活動

數(shù)學臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，而每個個體面對相同的任務進行的臆測歷程會有所不同，即使相同的個體面對不同的任務所進行的臆測歷程也會有所不同。有關(guān)形成臆測的歷程，Caadas等提出五種類型：從有限例歸納、從動態(tài)例歸納；、模擬、溯因推理和知覺為基礎的臆測。Caadas與Castro（2005）又將每一種類型細分成數(shù)個階段，例如以學生最常使用的從有限例歸納進行臆測的臆測類型為例，需要經(jīng)歷七個階段：（1）觀察有限例；（2）組織有限例；（3）尋找規(guī)律或樣式；（4）形成猜想；（5）檢驗猜想；（6）將猜想一般化；（7）證明猜想的一般化。也就是說，個體在面對任務時，第（1）階段需要從給定的一個或兩個有限例子開始進行觀察；第（2）階段用系統(tǒng)的列舉法或使用表格將這些例子組織起來；第（3）階段從組織的資料中尋找規(guī)律性，使所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也適用于其他沒有列出來的例子中；第（4）階段是形成猜想，是依據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出猜想，使得此猜想能適用于所有可能的例子中，但也仍然在存疑或不確定的狀態(tài)中；第（5）階段是檢驗猜想，再檢驗更多不同的例子或不同的方法，看看此猜想是否正確，但此時所提出的猜想還未推廣到一般化；第（6）階段是將所提出的猜想推廣到一般化，這個階段的猜想要排除存疑或不確定的情況，使猜想成為可接受的數(shù)學性質(zhì)；第（7）階段是要證明猜想的一般化，這個階段要用合理的數(shù)學知識來解釋或證明此猜想，以取信他人。

由于本研究的目的是要通過數(shù)學臆測來引發(fā)學生的數(shù)學論證，所以Caadas與Castro所提出的從有限例歸納進行臆測的臆測類型及臆測歷程，將作為本研究用來協(xié)助教師設計臆測任務的基本要素，將數(shù)學臆測融入于數(shù)學課堂教學中，以發(fā)展學生的數(shù)學論證。并非所有的數(shù)學任務都能導向數(shù)學臆測，由于本文數(shù)學臆測任務的使用對象是三年級學生，他們是第一次接觸數(shù)學臆測教學活動，而且他們的數(shù)學知識體發(fā)展還不夠豐富，因此教師在設計該任務時，并不考慮納入最后兩個階段：將猜想一般化及證明猜想的一般化。

（二）論證

依偉氏字典定義，論證是一些邏輯相關(guān)的論述。Toulmin（1958）將論證解釋為從已知數(shù)據(jù)推演到結(jié)論的過程中用來支持結(jié)論的證據(jù)，這些證據(jù)可能是一些推理規(guī)則或數(shù)學原理或定理，但不一定是演繹的。有些學者將數(shù)學論證分為兩個層面：論證的過程及論證的成果。論證的過程是產(chǎn)生一個邏輯相關(guān)的對話過程，而論證的成果是討論過程所產(chǎn)生的論述。說出或?qū)懴碌臄⑹?，可能是歸納，也可能是演繹、模擬、溯因（abduction）或其他推理。雖然對于數(shù)學論證的定義，各學者之間有不同的說法，但仍有其共通點：論證是支持或反對一個命題或意見的理由，它可以是語言文字、數(shù)字數(shù)據(jù)或圖畫的形式。數(shù)學論證活動涉及證明與反駁的過程，對發(fā)展學生的數(shù)學思維具有重要意義。本研究所界定的數(shù)學論證是在課堂中進行數(shù)學臆測教學活動脈絡下產(chǎn)生的，故它是數(shù)學臆測的一部分，數(shù)學論證在本研究中被定義為從建立數(shù)據(jù)、建立證據(jù)到作為形成論述或檢驗論述的證據(jù)或依據(jù)，以支持結(jié)論的過程。

數(shù)學教育的研究經(jīng)常將論證和證明連接在一起，Douek（1999）將證明視為論證的一種。Krummheuer（2007）認為證明通常是屬于個人的數(shù)學活動，但數(shù)學論證是一種社會化的過程，所以論證不被視為是用來促成或阻礙證明的學習，而是被視為數(shù)學學習的本質(zhì)。有關(guān)論證活動的發(fā)展，Douek和同事將其分為六個階段：進行猜測，形成敘述，效化猜想，將前后連貫具有理論性的論述串成一個演繹煉，將這些論述煉組織成一個可接受的證明，最后是朝向形式化的證明。

依據(jù)Boero等提出論證活動發(fā)展的階段，論證的產(chǎn)生也始于臆測活動，似乎也將論證視為社會化的過程，是數(shù)學活動的一部分，包含形式化的證明。基于此，本研究將數(shù)學論證視為一種社會化過程，若要發(fā)展學生的數(shù)學論證，則需要教師在課堂中制造讓學生和教師互動的機會，而且借由課堂中的論證分析來了解學生的論證歷程，協(xié)助教師進行證明或推理的教學。

三、理論基礎

（一）數(shù)學臆測理論

數(shù)學臆測是個體面對不確定的數(shù)學問題時，依據(jù)已知條件或知識，進行猜測、檢驗、相信和反駁的過程（林福來、陳英娥）。數(shù)學臆測在本研究中的意義體現(xiàn)在數(shù)學課堂中，建立資料是由個別或小組學生自己來完成，緊接著是由個體觀察資料尋求規(guī)律性，并提出猜想，再借由小組或全班共同檢驗猜想的正確性，以及以不同的例子驗證猜想的合理性的巡回歷程。

數(shù)學臆測是一種從提出猜想到證明猜想的循環(huán)歷程，而每個個體面對相同的任務進行的臆測歷程會有所不同，即使相同的個體面對不同的任務所進行的臆測歷程也會有所不同?，F(xiàn)有五種臆測歷程：從有限例歸納、從動態(tài)例歸納、類比、溯因推理和知覺為基礎的臆測。由于本研究的目的是要通過數(shù)學臆測來引發(fā)學生的心智活動，幫助學生輕松愉快地自主發(fā)現(xiàn)并理解公式，改變學生的思考方式。所以從有限歸納進行臆測的臆測類型及臆測歷程，將作為本研究用來協(xié)助教師設計并教學的基本要素。

本研究中的數(shù)學臆測活動任務設計的理論基礎也是依據(jù)的林福來教授的數(shù)學臆測活動的四個設計原則。原則一：教師要提供機會讓學生進行目標導向的觀察以促成數(shù)學臆測，“觀察”設計原則是教師要提供機會讓學生有目的或系統(tǒng)地觀察有限例，以幫助學生能將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學關(guān)系推廣到一般化。原則二：教師要提供機會讓學生進行有意義的建構(gòu)以促成數(shù)學臆測，“建構(gòu)”設計原則是教師需要鼓勵學生依據(jù)能通往臆測的先備知識建構(gòu)新知識。原則三：教師要提供機會讓學生進行先備知識的轉(zhuǎn)換以促成數(shù)學臆測，“轉(zhuǎn)換”設計原則是教師需要提供機會讓學生進行算法或公式的轉(zhuǎn)換，以產(chǎn)生數(shù)學臆測。原則四：教師要提供機會讓學生進行反思以促成數(shù)學臆測。由于學生在轉(zhuǎn)換的過程中可能導致不正確或無意義的敘述或猜想，因此“反思”的設計原則是必要的。

（二）林福來提出的小學生數(shù)學論證理論

五種推理方式以及演繹推理法是數(shù)學論證學習過程貢獻于學生發(fā)展思考方法的主要內(nèi)涵，這五種推理方式為：

1. 根據(jù)有限例子歸納推理。

2. 觀察動態(tài)例子，歸納其不變性。

3. 類比推理：根據(jù)對物件間對應結(jié)構(gòu)的相似性的感知與建構(gòu)進行推理。

4. 溯因推理：觀察到結(jié)論性的現(xiàn)象，追溯成因。

5. 圖像推理：根據(jù)具體圖像，或直觀性或直覺性來推論。

（三）Duval提出的幾何學習四種理解：直覺性理解、序列性理解、操作性理解和論述性理解

Duval理論與范希禮理論的區(qū)別在于，范希禮的幾何思維水平研究的重點在于建構(gòu)幾何系統(tǒng)的邏輯順序，而Duval理論側(cè)重于結(jié)合問題的理解過程，特別是如何由幾何圖形的呈現(xiàn)到幾何推理與證明，為幾何問題的解決提供了理論依據(jù)。

四、研究的主要內(nèi)容及研究框架

（一）研究的主要內(nèi)容

1. 對平行四邊形的面積進行教材分析，提出教材中可融入臆測活動來實現(xiàn)學生自主學習建構(gòu)知識模型的臆測任務。

2. 根據(jù)Caadas與Castro（2005）的臆測七個階段來設計出具有數(shù)學臆測本質(zhì)的任務。

3. 通過課堂教學實踐，檢測、總結(jié)、歸納以數(shù)學臆測活動引發(fā)小學生論證的可行性。

（二）研究框架

框架如圖2所示。

五、研究結(jié)果與啟示

（一）研究結(jié)果

在該任務的臆測活動中，五年級學生經(jīng)歷了五個臆測歷程：造例子及組織例子、觀察例子并尋求規(guī)律性、形成并提出猜想、驗證猜想。實踐教師設計的數(shù)學臆測任務嘗試提供給學生的臆測歷程的每個階段都是先由個別學生，再到小組，最后到全班的檢驗。因為每個環(huán)節(jié)的檢驗都需要學生說服他人，論證由此產(chǎn)生，因而有個人的論證、小組的論證和全班的論證。我們發(fā)現(xiàn)，通過數(shù)學臆測活動引發(fā)學生論證具有5個特質(zhì)：

1. 通過臆測活動產(chǎn)生的每個論證（數(shù)學性質(zhì)）是經(jīng)過個人、小組，再到全班三個層級不斷論辯，經(jīng)過初始的猜想到最后得到穩(wěn)定的數(shù)學性質(zhì)。

2. 人數(shù)越少論證結(jié)構(gòu)越簡單。因為小組人數(shù)只有4人，小組內(nèi)的論證結(jié)構(gòu)較為簡單，而因全班學生加上老師共51人，所以全班的論證人數(shù)較多，論證歷程較長也較為復雜。雖然越長或越復雜的論證并不見得品質(zhì)越好，但師生互動卻比較多。

3. 該任務下有關(guān)平行四邊的面積不是相鄰邊相乘而是底乘高的論證歷程，該五年級實驗班的學生第一次接受數(shù)學臆測活動，所展現(xiàn)的臆測都集中在Caadas與Castro所提出的從有限個例子歸納進行臆測的臆測類型。

4. 該五年級實驗班學生展現(xiàn)了Caadas與Castro七個階段的臆測認知歷程的前5個階段，但是沒有展現(xiàn)出后面的兩個階段：將猜想推廣到一般化及證明猜想一般化。其理由為：五年級學生第一次體驗臆測融入教學，且他們的數(shù)學知識還不夠豐富。我們在今后的教學中會繼續(xù)進行將猜想推廣到一般化及證明猜想一般化的活動。

5. 通過數(shù)學臆測活動引發(fā)學生論證，在論證過程中能促進學生數(shù)學學習。通過實驗，我們認為數(shù)學臆測活動能融入數(shù)學課堂教學中，學生能展現(xiàn)出數(shù)學論證的樣貌，也能在課堂上積極參與；我們認為數(shù)學臆測確實能點燃學生的數(shù)學論證，也讓學生的數(shù)學學習真正地發(fā)生了。但目前僅通過這一節(jié)課，我們暫時也無法回答有關(guān)數(shù)學臆測任務對學生論證品質(zhì)有多大影響的問題。

（二）研究啟示

本研究發(fā)現(xiàn)，學生的數(shù)學論證確實在實驗教師進行數(shù)學臆測任務的數(shù)學課堂中發(fā)生了。數(shù)學臆測引發(fā)學生數(shù)學論證，兩者的關(guān)系圖如圖3所示：

圖3包含了兩個圓和一個長方形，長方形在圓形的最里面，外面緊接一個內(nèi)圓和一個外圓。圓形表示數(shù)學臆測元素和數(shù)學論證元素，長方形表示促進數(shù)學臆測活動進行的關(guān)鍵性角色。最里面的長方形表示在數(shù)學課堂內(nèi)促進臆測活動引發(fā)數(shù)學論證發(fā)生的重要的關(guān)鍵性角色，包含任務本身、數(shù)學臆測活動內(nèi)容、學生的數(shù)學已有知識及教師的介入。內(nèi)圓陰影是數(shù)學臆測歷程的5個歷程：造例子、組織例子、觀察和尋找規(guī)律性、形成并提出猜想、檢驗猜想。箭頭向外，象征著數(shù)學臆測活動啟動了在外圓的數(shù)學論證。數(shù)學論證的基本元素包含建立資料、建立證據(jù)、提出或形成論述、提出論證依據(jù)及結(jié)論，它們分別以方形表示。數(shù)學臆測活動的前兩個歷程：造例子和組織例子，是為了建立資料，作為提出論述的準備。臆測活動的第三、第四個歷程：觀察尋求規(guī)律及提出猜想，是為了形成論證活動中似真但還不確定的論述。臆測活動的第五個歷程是啟動個別學生或小組或全班需要提出論證依據(jù)來捍衛(wèi)自己所提出的論述，其他學生也可能舉出例子來反駁似真的論述，最后經(jīng)過全班學生共同檢驗論述，得到一個或多個結(jié)論。