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等比累進還款法與等額累進還款法的數(shù)學模型

2017-07-12 15:07朱江紅
滄州師范學院學報 2017年2期
關(guān)鍵詞:還款額等額年金

朱江紅

(滄州師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河北滄州061001)

等比累進還款法與等額累進還款法的數(shù)學模型

朱江紅

(滄州師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河北滄州061001)

利用金融數(shù)學中的年金理論建立了等比累進還款法和等額累進還款法的數(shù)學模型,根據(jù)數(shù)學模型編制了這兩種還款方法的excel計算器,并分析了這兩種還款方式的優(yōu)缺點.這有助于借款人做出最佳的還款決策.

年金;還款法;數(shù)學模型

在生活中貸款消費方式逐漸被老百姓所接受.在我國常見貸款還款方式有一次性還本付息法、等額本息還款法、等額本金還款法,在文章[1]中給出了它們的數(shù)學模型并對其進行了分析比較.除了上述常見的三種還款方式之外,國際上通用的還有等比累進還款法、等額累進還款法,這兩種還款方式雖然在我國較少被銀行所采用,但是在個人貸款業(yè)務(wù)開展興旺的國家卻是十分通行的兩種消費信貸還款方式.本文利用金融數(shù)學中的年金理論建立了等比累進還款法和等額累進還款法的數(shù)學模型,并分析了這兩種還款方式所適合的人群.

1 相關(guān)預(yù)備知識

1.1 總量函數(shù)

在一般的金融活動中常見的模式是:某一方先投資一定量的貨幣于某種業(yè)務(wù),這先投資的一定量的貨幣稱之為本金或原始投資,記為A(0).原始投資A(0)經(jīng)過一段時間t的運作后會達到一個新的價值A(chǔ)(t).這是關(guān)于時間t的函數(shù),稱之為總量函數(shù).

1.2 實際利率

實際利率是指單位本金在單位時間(可以是一年,半年,一個季度,一個月,一天等)內(nèi)所賺取的利息,用符號i表示.

某項投資期的第t個計息期的實際利率為:

1.3 名義利率

1.4 年金

年金是相等時間間隔的一列的收付款項.時間間隔可以是一年、半年、一個季度、一個月等等[2](P40).年金按不同的標準可以進行不同的分類,如年金按在每個給付周期的期初給付還是期末給付分為期初付年金和期末付年金.

1.5 現(xiàn)值與終值

由于貨幣是有時間價值的,所以相同數(shù)額的貨幣在不同的時刻具有不同的價值.為了實現(xiàn)貨幣在不同時刻的可比性,引入現(xiàn)值與終值的概念.

現(xiàn)值是未來某一時刻的一定數(shù)量貨幣值在現(xiàn)在時刻的價值.終值是現(xiàn)在時刻的一定數(shù)量貨幣值在未來某一時刻的價值.

1.6 期末付、n年定期單位年金

期末付、n年定期單位年金就是每年末付1元,共付n年,若每年實際利率為i,用a?n,s?n分別表示該年金的現(xiàn)值與終值,該年金的時間流程圖如圖1所示.

圖1 年金的時間流程圖

該年金的現(xiàn)值為:a?n=v+v2+v3+…+vn-1+vn.

該年金的終值為:s?n=(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+(1+i)+1.

利用等比數(shù)列的前n項和公式得期末付、n年定期單位年金的現(xiàn)值與終值公式分別為

年金的時間單位也可以為月、季度等等,例如一般每月還貸款就可以看成期末付、定期年金.

2 等比累進還款法與等額累進還款法

2.1 等比累進還款法

2.1.1 等比累進還款法定義

等比累進還款法就是將整個還款期按一定的時間段劃分,每個時間段比上一時間段多(少)還約定的固定比例,但每個時間段內(nèi)每月須以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式.

2.1.2 等比累進還款法數(shù)學模型

第二段借款人每個月的還款可以看成延期K個月的K個月期的期末付年金,每個月的還款額為P2=P1q,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:P1qvKa?K.

第三段借款人每個月的還款可以看成延期2K個月的K個月期的期末付年金,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:P1q2v2Ka?K.

……

第L段借款人每個月的還款可以看成延期(L-1)K個月的K個月期的期末付年金,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:P1qL-1v(L-1)Ka?K.

根據(jù)平衡原理得:這L個年金在貸款時刻的現(xiàn)值之和為A(0).

P1a?K+P1qvKa?K+P1q2v2Ka?K+…+P1qL-1v(L-1)Ka?K=A(0)

(1)

Pi=P1qi-1,(i=1,2,…,L).

(2)

根據(jù)公式(1)與(2),可以利用Excel計算每個時間段內(nèi)每個月的還款額.

例1 一購房者向銀行貸款20萬元,貸款期10年,貸款年利率為i(12)=4.9%,他選擇“等比累進還款法”,2年為一個周期,每一個周期的月付款比上一個周期月付款上浮50%,求每個周期內(nèi)月還款額以及總的還款額為多少元?

據(jù)公式(1)和(2)得五個周期內(nèi)每月的還款額分別為:

P1=863.51,P2=1295.26,P3=1942.90,P4=2914.35,P5=4371.52.

總還款額為:273300.89元,如表1所示.

表1 excel等比累進還款法計算

2.2 等額累進還款法

2.2.1 等額累進還款法定義

等額累進還款法也稱等額遞增(減)還款法,其與“等比累進還款法”類似,就是將整個還款期按一定的時間段劃分,每個時間段每個月比上一時間段每個月多(少)還約定的固定額度,同樣在每個時間段內(nèi)每月須以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式.

2.2.2 等額累進還款法數(shù)學模型

第二段借款人每個月的還款可以看成延期K個月的K個月期的期末付年金,每個月的還款額為P2=P1+d,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:(P1+d)vKa?K.

第三段借款人每個月的還款可以看成延期2K個月的K個月期的期末付年金,每個月的還款額為P3=P1+2d,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:(P1+2d)v2Ka?K.

……

第L段借款人每個月的還款可以看成延期(L-1)K個月的K個月期的期末付年金,每個月的還款額為PL=P1+(L-1)d,此年金在貸款時刻的現(xiàn)值為:[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka?K.

根據(jù)平衡原理,這L個年金在貸款時刻的現(xiàn)值之和為A(0).

P1a?K+(P1+d)vKa?K+(P1+2d)v2Ka?K+…+[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka?K=A(0)

P1a?K[1+vK+v2K+…+v(L-1)K]+da?K[vK+2v2K+…+(L-1)v(L-1)K]=A(0)

P1(1-vLK)(1-vK)+d[vK-LvLK+(L-1)v(L+1)K]=A(0)i(1-vK)

(3)

Pi=P1+(i-1)d>0,(i=1,2,…,L)

(4)

根據(jù)公式(3)與(4)可以利用Excel計算每個時間段內(nèi)每個月的還款額.

例2 一購房者向銀行貸款20萬元,貸款期10年,貸款年利率為i(12)=4.9%,他選擇“等額累進還款法”,2年為一個周期,每一個周期的月付款比上一個周期月付款多100元,求每個周期內(nèi)月還款額以及總的還款額為多少元?

據(jù)公式(3)(4)得:

P1=1931.03,P2=2031.03,P3=2131.03,P4=2201.03,P5=2331.03.

總還款額為255723.29元,如表2所示.

表2 excel等額累進還款法計算

3 總結(jié)

等比累進還款法與等額累進還款法由于目前在我們國家貸款業(yè)務(wù)中不太常用,這兩種還款方法主要適用于未來收入預(yù)期有較大變動(或逐漸增多,或逐漸減少)的人群,例如新婚夫婦和開始創(chuàng)業(yè)的年輕人預(yù)計未來收入有較大提高,可以采用q>1的等比累進還款法或d>0的等額累進還款法;再例如年長的人們?nèi)纛A(yù)計未來收入有所減少,則可以采用q<1的等比累進還款法或d<0的等額累進還款法.可以根據(jù)個人情況來設(shè)定q或d的值,還款段數(shù)L、q或d的值不同直接影響著每一個周期內(nèi)月還款額.

[1] 朱江紅.關(guān)于不同還貸方式的數(shù)學模型研究[J].滄州師范學院學報,2016,(1):20-23.

[2] 熊福生,沈治中.壽險精算基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學出版社,2006.

[責任編輯:劉秀敏]

Mathematical Models of Graduate Payment Mortgage and Constant Progressive Mortgage

ZHU Jiang-hong

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China)

This paper establishes mathematical models of graduate payment mortgage and constant progressive mortgage based on annuity theory of financial mathematics, works out excel calculators for the two methods of payment according to mathematical models, and clarifies their advantages and disadvantages. It is expected to help the borrower to make the best decision of repayment.

annuity; repayment; mathematical model

2016-12-23

朱江紅(1969-),女,河北保定人,滄州師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授,研究方向:金融數(shù)學、基礎(chǔ)數(shù)學.

F832.4

A

2095-2910(2017)02-0006-04

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