覃靜

【摘 要】本文闡明化歸思想的重要性、原則（簡化原則、轉熟原則、直觀原則）以及方法（配方法、分解法、換元法），通過相關的案例進行具體的闡述。

【關鍵詞】高中數(shù)學 教學方式 化歸思想 案例分析

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0152-03

作為數(shù)學教學的基本思想之一，化歸思想指的是當遇到復雜的數(shù)學問題時，通過采用轉化以及變化的方法，將復雜的問題簡單化，從而解決相關問題。化歸思想的本質就是將新知識通過轉化的方式轉變?yōu)橐阎闹R。

基于此，高中數(shù)學教師在實際的教學過程中需要加強對這一教學方法的應用，繼而以此為基礎，培養(yǎng)學生學會將未知轉化為己知，將復雜轉化為簡單，將新知識轉化為舊知識的能力。相關的教學實踐顯示，高中生如果掌握化歸思想，那么就能夠更快地提升其解題能力。

一、化歸思想的其中三個原則

（一）簡化原則

簡化原則，是指在進行數(shù)學問題解答的過程中，通過將復雜的問題轉化為簡答的問題，以促進解題效率的提高。關于簡化原則的案例，筆者總結如下。

以人教版高中數(shù)學必修 1 中的“函數(shù)值域”一課的教學為例。在進行函數(shù)值域的解答過程中，由于函數(shù)概念過于抽象，故而在實際的解題過程中難度較大?；诖耍鸵鶕?jù)簡化原則，借助幾何圖形的概念進行解答。

通過對題目的分析可以得知：點（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上，故而在進行值域求解的過程中，將其轉化為橢圓上的點與點（4，-1）連線的斜率?；诖耍瑢W生可以借助幾何圖象進行相關的解答，并最終確定值域的范圍為。

〖解〗依題知，點（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上。

因 sin x2+cos x2=1，所以題中所求值域就是橢圓上的點和點（4，-1）連線的斜率。

設切線方程為 y+1=k（x-4），將其與橢圓聯(lián)立，得判別式為 0，即

4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15=0

[-（8k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

12k2+8k-15=0

（2k+3）（6k-5）=0

或

故取值范圍為

（二）轉熟原則

所謂的轉熟原則指的是在進行高中數(shù)學學習的過程中，將陌生的知識轉換為熟悉且已經(jīng)掌握的知識，從而以此為基礎幫助解答題目。事實上，數(shù)學題目盡管類型較多，但是其解題方式以及思路都存在著相似性，故而為題型之間的轉換提供便利?？傮w而言，借助轉熟原則進行相關作業(yè)的過程中，確保學生在遇到陌生的題目時能夠快速地解決問題，促進學習效率的提高。

以高中函數(shù)教學為例，學生在解答“求解 x”一題的過程中，雖然三次方的方程式對于大部分學生而言存在解答的難度，基于此，為解題的便利性，需要學生加強對轉熟原則的運用，將 x 設定為己知量，將 a 設置為，從而將原式轉換為求解 a 的二次方程“x3+（1+a）x2-a2=0”，繼而實現(xiàn)對 x 值的求解。轉換完成的方程式可以進一步化簡為（x-a）3=0，即得 x 的值為。

（三）直觀原則

在利用直觀原則進行化歸思想教學的過程中，需要教師在實際的操作過程中加強對學生進行數(shù)形結合能力的培養(yǎng)，并以此為基礎，確保學生在實際的學習過程中能夠將抽象的數(shù)學問題轉變?yōu)橹庇^的圖形問題，繼而促進相關問題的有序解決。

以高二理科教材選修 2 中定積分的一個例題為例，計算下列定積分：

〖分析〗這個例題被積函數(shù)都是一樣的，可是積分的上限、下限不一樣，通過計算結果發(fā)現(xiàn)，可以利用梯形的面積來表示這幾個導數(shù)的結論。

（1）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時，定積分的值取正值且等于曲邊梯形的面積；

（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值取負值且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；

（3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形的面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為 0。

通過這個例題使學生了解定積分的值不一定等于曲邊梯形的面積，但要注意條件，畫正弦函數(shù)的圖象來分析就是直觀原則。

二、化歸方法以及案例分析

（一）配方法

在高中數(shù)學解題的過程中，作為常用的解題方法就是配方法。相關的實踐顯示：配方法的運用能夠進一步實現(xiàn)對于復雜問題的解答，繼而以此促進學生學習效率的提升。

諸如在進行題目“已知長方體的全面積為 11，其 12 條棱的長度之和為 24，求長方體對角線長度”解答的過程中，需要將幾何題目轉換為數(shù)學表達式，設長方體長寬高分別為 x，y，z，則，以此來求對角線長 。在實際的求解過程中，需要借助配方法進行具體的解答。

設長方體長寬高分別為 x，y，z，由已知“長方體的全面積為 11，其 12 條棱的長度之和為 24”得

，

由此求得對角線長度

。

（二）分解法

此外，在借助化歸思想進行高中數(shù)學學習以及解題的過程中，除了需要加強對配方法的運用之外，還需要進一步對分解法的使用。所謂的分解法指的是將題目中所出現(xiàn)的方程式（圖形）進行分解，將復雜的問題轉變?yōu)閹讉€簡單的部分，從而促進相關問題得到高效解決，促進學習效率的提高。例如，在進行函數(shù)解答的過程中，學生往往需要通過化簡復雜的多項式繼而將之轉變?yōu)楹侠淼膸讉€組，然后以此為基礎進行解答。

如例題，已知函數(shù) ，其圖象在 x=2 處的切線方程為 3x+2y-11=0。

（1）若函數(shù) f（x）解析式；

（2）若函數(shù) y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù) m 的取值范圍。

（三）換元法

在借助化歸思想進行高中數(shù)學教學的過程中，還需要教師加強對換元法的運用，從而以此為基礎將形式較復雜的方程、不等式、函數(shù)轉換為簡單且操作便捷的基本問題。這種方法又被稱之為“局部換元法”。其思想內涵指的是將未知的式子看作一個整體，用一個變量去替代，最終由此促進題目得到有效解答，促進教學任務的有效開展。

比如在解答“若 ，則 tanα 的值為多少？”一題的過程中，需要學生將 x 和 y 分別取代 cosα 和sinα，將上述的方式轉換為 。再依據(jù)三角函數(shù)性質 ，推算出 x2+y2=1。然后將上述的方程進行聯(lián)立從而求出二元二次方程的解，最終解答出 tanα=2。該題目的解題過程如下。

隨著新課標改革的不斷推進以及教學事業(yè)的發(fā)展，我國的高中數(shù)學課程在教學方式以及教學理念方面出現(xiàn)了不同程度的變革。在這樣的背景之下，為了進一步促進高中數(shù)學教學活動的有效開展，需要教學者在實際的教學過程中加強對化歸思想的運用，繼而促進教學效果的提升，推動教學任務的完成。本文基于此，探討了化歸思想及其重要性、化歸思想的原則（簡化原則、轉熟原則、直觀原則）以及化歸思想的方法（配方法、分解法、換元法），并通過相關的案例進行具體的解答，希望能以此培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，促進學生進步。

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（責編 盧建龍）