黃 鶴，王艷平

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州121001）

廣義猶豫模糊軟集

黃 鶴，王艷平

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州121001）

將廣義模糊軟集和猶豫模糊軟集相結(jié)合，提出廣義猶豫模糊軟集的概念，既避免廣義模糊軟集模型信息丟失，又彌補(bǔ)猶豫模糊軟集在參數(shù)集不同時(shí)無法進(jìn)行交并運(yùn)算的缺點(diǎn)。首先提出廣義猶豫模糊軟集定義，然后給出廣義猶豫模糊軟集的并、交、補(bǔ)運(yùn)算的定義，接著討論運(yùn)算的性質(zhì)，并給出了廣義猶豫模糊軟集De Morgan律的證明。最后通過實(shí)例驗(yàn)證定義的有效性。

猶豫模糊軟集；廣義模糊軟集；廣義猶豫模糊軟集

社會(huì)和科技不斷進(jìn)步，許多領(lǐng)域涉及到的數(shù)據(jù)愈發(fā)龐大、復(fù)雜以及不確定，比如醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和環(huán)境科學(xué)等。為了從這些龐大復(fù)雜不確定的數(shù)據(jù)中提取出隱含的有用信息，來自數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的一些專家學(xué)者提出了許多處理不確定問題的數(shù)學(xué)理論和工具。針對數(shù)據(jù)的復(fù)雜龐大不確定性等問題，Zadeh教授[1]在1965年提出的模糊集理論，俄羅斯數(shù)學(xué)家Molodtsov[2-3]于1999年提出的軟集理論，以及西班牙學(xué)者Torra[4]提出的猶豫模糊集理論都很好地解決了以上問題。

后來學(xué)者們陸續(xù)提出了模糊軟集[5-6]、猶豫模糊軟集[7]、廣義模糊軟集[8]等數(shù)學(xué)理論，使解決不確定性、不完善性等問題的方法進(jìn)一步得到了升華。在文獻(xiàn)[9]中作者考慮到了關(guān)于軟集(F,E)中屬性集E的權(quán)重iω情況，但不夠細(xì)化。在文獻(xiàn)[10]中作者將區(qū)間值模糊軟集做了推廣，考慮到了參數(shù)權(quán)重的不確定性，使決策系統(tǒng)化。受此啟發(fā)，本文研究猶豫模糊集與廣義模糊軟集相結(jié)合的情況，考慮到猶豫模糊集具有信息完備性的特點(diǎn)，提出廣義猶豫模糊軟集模型，并給出其基本定義，然后針對參數(shù)集不同的廣義猶豫模糊軟集間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行討論。

1 預(yù)備知識

首先，回顧一下Maji提出的模糊軟集。

定義1[5]設(shè)U是有限論域，E是參數(shù)集合,A?E，是U的所有模糊子集組成的集合，稱二元組（F,A）是U上的模糊軟集（Fuzzy soft set），其中F是從A到的映射，即F：，稱（F,A）為模糊軟集。

在此基礎(chǔ)上，Wen[7]定義了下面的猶豫模糊軟集。并給出了猶豫模糊軟集的包含關(guān)系，以及并、交和補(bǔ)運(yùn)算。

定義2[7]設(shè)U為一個(gè)論域，E為屬性集，是U上的全體猶豫模糊集，為一個(gè)映射：

定義3[7]記為猶豫模糊軟集的補(bǔ)集，定義為：

定義4[7]對于U上的兩個(gè)猶豫模糊軟集和，及，若滿足：

定義5[7]論域U上的兩個(gè)猶豫模糊軟集和，當(dāng)且時(shí)，稱猶豫模糊軟集和相等，記為：

定義6[7]對于U上的兩個(gè)猶豫模糊軟集和，“”表示為兩個(gè)猶豫模糊軟集的并。其中，C=A∪B，且?ε∈C，有：

定義7[7]對于U上的兩個(gè)猶豫模糊軟集表示為兩個(gè)猶豫模糊軟集的交。其中C=A∩B，C≠φ且?ε∈C，有：，其中和分別代表猶豫模糊集和中的猶豫模糊元。

Majumdar和Samanta又提出了廣義模糊軟集，定義如下。

定義8[8]設(shè)U是初始論域，E是參數(shù)集，F(xiàn)：是一個(gè)映射，λ是E的模糊子集，即：。定義映射Fλ：，使得：

2 廣義猶豫模糊軟集

本節(jié)將猶豫模糊集理論與廣義模糊軟集相結(jié)合，給出廣義猶豫模糊軟集的相關(guān)定義。

定義9設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，是一個(gè)映射，α是A的一個(gè)猶豫模糊子集，即：

其中Hα為參數(shù)e對應(yīng)的猶豫模糊元。定義函數(shù)使?e∈E：

下面通過一個(gè)具體的例子來說明上述定義。

3 廣義猶豫模糊軟集的并交補(bǔ)運(yùn)算及其性質(zhì)

根據(jù)上一節(jié)給出的廣義猶豫模糊軟集定義，本節(jié)將討論廣義猶豫模糊軟集的交并補(bǔ)運(yùn)算及其性質(zhì)。為了方便定義運(yùn)算，需要對定義9進(jìn)行改進(jìn)，為此先定義兩種特殊的猶豫模糊集。

定義12[11]設(shè)U為初始論域，定義空猶豫模糊集和滿猶豫模糊集如下。

(1)空猶豫模糊集Hφ：對?x∈U，Hφ(x)={0}。

(2)滿猶豫模糊集HU：對?x∈U，HU(x)={1}。

在許多文獻(xiàn)中軟集間進(jìn)行交并運(yùn)算時(shí)并未考慮到參數(shù)集不相同的情況，針對這個(gè)問題，本文給出下面定義。

定義13設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，為一個(gè)廣義猶豫模糊軟集，將擴(kuò)充到,令,即對?e∈E，當(dāng)e∈A時(shí)，當(dāng)e?A時(shí)，，則稱為的擴(kuò)充。

定義14設(shè)U為初始論域，定義兩種特殊的廣義猶豫模糊軟集，分別為：廣義空猶豫模糊軟集和廣義滿猶豫模糊軟集，定義形式如下：

(1)廣義空猶豫模糊軟集：對 ?e∈E，，記為

(2)廣義滿猶豫模糊軟集：對 ?e∈E，，記為。

定義15對于U上的兩個(gè)廣義猶豫模糊軟集和，對應(yīng)的擴(kuò)充為和。對?ε∈E，有：

其中，h為廣義猶豫模糊軟集中的猶豫模糊元。

定義16對于U上的兩個(gè)廣義猶豫模糊軟集和，對應(yīng)的擴(kuò)充為和。對?ε∈E，有：

其中，h為廣義猶豫模糊軟集中的猶豫模糊元。

定義17(補(bǔ)集)論域?yàn)閁，參數(shù)集為E，。為廣義猶豫模糊軟集，其對應(yīng)的擴(kuò)充為。定義：

對?e∈E有：

由定義15和16不難看出，它們與定義6和7的形式是完全一致的。但在定義13的基礎(chǔ)上定義廣義猶豫模糊軟集的交并補(bǔ)運(yùn)算更為簡單，而且具有統(tǒng)一性。由上述定義及猶豫模糊集的運(yùn)算性質(zhì)不難得到以下性質(zhì)。

下面只就性質(zhì)(7)給出證明，其余由定義直接可得或類似可證。

其中：

設(shè)乙考慮的參數(shù)只有B={耐用的，功能多的}，則：

由定義13可得到擴(kuò)充后的兩個(gè)廣義猶豫模糊軟集：

由定義16可得到兩個(gè)廣義猶豫模糊軟集的交

通過上例可以看出，與定義6和7比較，雖然它們在本質(zhì)上是一樣的，但本文定義的廣義猶豫模糊軟集的交并補(bǔ)運(yùn)算更加直觀。

4 結(jié)束語

軟集的應(yīng)用愈發(fā)廣泛，其理論的深入研究亦變得愈發(fā)必要。本文把廣義模糊軟集的思想推廣到猶豫模糊軟集，提出了廣義猶豫模糊軟集，這是廣義模糊集合與猶豫模糊集合的進(jìn)一步推廣。廣義猶豫模糊軟集不僅可以更完善地處理信息，更能夠計(jì)算有不同參數(shù)集的兩個(gè)廣義猶豫模糊軟集間的交并運(yùn)算。本文在定義的基礎(chǔ)上討論了廣義猶豫模糊軟集的并、交、補(bǔ)運(yùn)算及其運(yùn)算性質(zhì)。廣義猶豫模糊軟集的并交補(bǔ)運(yùn)算具有簡單明了的運(yùn)算特點(diǎn)。

本文進(jìn)一步完善了軟集理論，為實(shí)際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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責(zé)任編校：孫 林

Generalized Hesitant Fuzzy Soft Set

HUANG He,WANG Yan-ping
（Science College,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China）

The generalized hesitant fuzzy soft sets are proposed by combining generalized fuzzy soft sets with hesitant fuzzy soft sets in this paper.In generalized hesitant fuzzy soft sets, the information loss and being unable to calculate basic operations of union and intersection can be avoided while the parameter set is different.At first,some basic operations of union,intersection and complement are studied and fundamental properties of generalized hesitant fuzzy soft sets are discussed as well.Meanwhile,the De Morgan’s law of generalized hesitant fuzzy soft sets is proved.A practical example is given to illustrate the effectiveness of the definition.

hesitant fuzzy soft sets;generalized fuzzy soft sets;generalized hesitant fuzzy soft set

TP301；O236

A

1674-3261(2017)01-0062-05

2016-03-31

黃 鶴(1991-)，男，遼寧沈陽人，碩士生。

王艷平(1965-)，女，遼寧錦州人，教授，碩士。

10.15916/j.issn1674-3261.2017.01.016