李 均, 劉曉靜

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331;2.重慶師范大學(xué) 圖書館,重慶 401331)

廣義E-凸函數(shù)的幾點新發(fā)現(xiàn)*

李 均1, 劉曉靜2**

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331;2.重慶師范大學(xué) 圖書館,重慶 401331)

廣義E-凸函數(shù)在優(yōu)化理論中有著重要的作用.通過對比凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，得到了廣義E-凸函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系，對文獻(xiàn)[5]中引理的證明舉出了反例，并對E-凸函數(shù)與E-單調(diào)的等價性給出了重新證明，進(jìn)一步論證了在有限維空間中，f在特定的開集E(M)上任意一點都有上界；最后，針對廣義E-凸函數(shù)已有的性質(zhì)和結(jié)論進(jìn)行了相應(yīng)的推廣.

E-凸集;E-凸函數(shù);擬-E-凸函數(shù);擬-半-E-凸函數(shù);E-單調(diào)

廣義凸性的研究在優(yōu)化理論研究中占有十分重要的地位，E-凸函數(shù)是凸函數(shù)的推廣，具有更廣意義下的凸性.1999年YOUNESS[1]首先提出E-凸集和E-凸函數(shù)的概念，CHEN[2],YOUNESS[3]，郝英[4]、王蕾[5]、黃科登[6]、寧剛[7]、王建勇[8]、ZHOU等人[9]對E-凸函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了大量的研究，并將E-凸函數(shù)推廣到了半-E-凸函數(shù)、擬-半-E-凸函數(shù).彭再云[10]、景書杰[11-12]、王世磊[13]、Beheaded[14]對廣義E-凸函數(shù)的重要性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到了E-凸函數(shù)等價命題等一系列重要結(jié)論.羅杰[15]率先研究E-偽凸函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，促進(jìn)了廣義E-凸函數(shù)應(yīng)用的發(fā)展.基于上述研究成果，針對文獻(xiàn)[5]中的錯誤引理進(jìn)行了糾正，探究了E-凸函數(shù)與E-單調(diào)的等價性，得到了在特殊映射下擬-E-凸函數(shù)的等價命題，推廣了文獻(xiàn)[12]中擬-半-E-凸函數(shù)的等價形式，進(jìn)一步完善了E凸性理論.

1 基本定義

定義1[1]若存在E:Rn→Rn，使得?x,y∈M?Rn,?t∈[0,1]，都滿足tE(x)+(1-t)E(y)∈M，則稱集合M為E-凸集.

定義2[1]若M?Rn為E-凸集，且存在映射E：Rn→Rn，使得對?x,y∈M,?t∈[0,1]，都滿足f(tE(x)+(1-t)E(y))≤tf(E(x))+(1-t)f(E(y))，則稱f:M?Rn→R為E-凸函數(shù).

定義3[2]若M?Rn為E-凸集，且存在映射E：Rn→Rn，使得對?x,y∈M,?t∈[0,1]，都滿足f(tE(x)+(1-t)E(y))≤tf(x)+(1-t)f(y)，則稱f:M?Rn→R為半-E-凸函數(shù).

定義4[3]若M?Rn為E-凸集，且存在映射E：Rn→Rn，使得對?x,y∈M,?t∈[0,1]，都滿足f(tE(x)+(1-t)E(y))≤max{f(E(x)),f(E(y))}，則稱f:M?Rn→R為擬-E-凸函數(shù).

定義5[2]若M?Rn為E-凸集，且存在映射E：Rn→Rn，使得對?x,y∈M,?t∈[0,1]，都滿足f(tE(x)+(1-t)E(y))≤max{f(x),f(y)}，則稱f:M?Rn→R為擬-半-E-凸函數(shù).

定義6[4]設(shè)非空集合M?Rn，f:M→R，若存在映射E:Rn→Rn，對?x,y∈M,x≠y,都滿足[E(y)-E(x)]T·[f(E(y))-f(E(x))]≥0，稱f在M上E-單調(diào).

2 主要結(jié)論及證明

定理1 設(shè)M?Rn為E-凸集且E(M)為凸集，則f為M上的E-凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為E(M)上的凸函數(shù).

證明 (必要性)因為M為E-凸集，對?x,y∈M，?t∈[0,1]有tE(x)+(1-t)E(y)∈M且E(M)?M，又因為E(M)為凸集，有tE(x)+(1-t)E(y)∈E(M)?M，由f為M上的E-凸函數(shù)，所以有f(tE(x)+(1-t)E(y))≤tf(E(x))+(1-t)f(E(y)).因此，f為E(M)上的凸函數(shù).

(充分性)對?x,y∈M，有E(x),E(y)∈E(M)?M，由E(M)為凸集，對?t∈[0,1]，又有tE(x)+(1-t)E(y)∈E(M)，f在E(M)上為凸函數(shù)，故f(tE(x)+(1-t)E(y))≤tf(E(x))+(1-t)f(E(y)).根據(jù)定義2，故f為M上的E-凸函數(shù).

文獻(xiàn)[5]中的引理為“設(shè)M為n維歐式空間Rn上的開E-凸集，f在M上具有一階連續(xù)偏函數(shù)，則f為M上的E-凸函數(shù)的充要條件是：對任意兩個不同點x,y∈M,有f(E(y))≥f(E(x))+f(E(x))T(E(y)-E(x))”.該引理存在錯誤，在引理的條件中并未保證E(M)為凸集，故在其充分性的證明之中，對0

例1 給定M=(0,5π)，f=sinx，f在M上顯然是連續(xù)可導(dǎo)的，對于

下面是對文獻(xiàn)[5]中唯一一個定理的完善，并給出了不同的證明方法.

定理2f為E-凸集M?Rn上可微函數(shù)且E(M)為凸集，則f為M上E-凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f在M上是E-單調(diào).

證明 (必要性)由f為M上E-凸函數(shù)，對?x,y∈M,x≠y,?t∈[0,1],有f(tE(x)+(1-t)E(y))≤tf(E(x))+(1-t)f(E(y)).

由E(M)為凸集，則f為E(M)上的凸函數(shù)，因為f在M上可微，則有

(1)

(2)

(充分性)f在M上可微，對?x,y∈M且x≠y，由M是E-凸集，則E(x),E(y)∈E(M)?M，由均值定理可以得到f(E(y))-f(E(x))=〈f(E(ξ)),E(y)-E(x)〉.其中?λ∈(0,1)，使得E(ξ)=E(x)+λ(E(y)-E(x)).

f(E(y))-f(E(x))=〈f(E(ξ))-f(E(x)),E(y)-E(x)〉+〈f(E(x)),E(y)-E(x)〉≥

所以f為E(M)上的凸函數(shù)，由定理1可得f為M上E-凸函數(shù).

定理4 f:Rn→R，f為Rn上的E-凸函數(shù)，E(Rn)為開集，則?x∈Rn，f在E(x)的鄰域內(nèi)有上界.

定理5 M?Rn為E-凸集，h:Rn→R為M擬-E-凸函數(shù)，g:R→R為非減函數(shù)，則g°h為M上的擬-E-凸函數(shù).

證明M為E-凸集，對?x,y∈M,?t∈[0,1],有tE(x)+(1-t)E(y)∈M，h為擬-E-凸函數(shù)，根據(jù)定義4,有h(tE(x)+(1-t)E(y))≤max{h(E(x)),h(E(y))}，g為非減函數(shù)，則有g(shù)°h(tE(x)+(1-t)E(y))≤g{max{h(E(x)),h(E(y))}}=max{g°h(E(x)),g°h(E(y))}.

由定義4，g°h為M上的擬-E-凸函數(shù).

推論1 若M?Rn為E-凸集且E(M)=M，f為擬-E-凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為M上的擬凸函數(shù).

下面在特殊的映射E下得到了擬-E-凸函數(shù)的等價命題.

定理6 設(shè)E:Rn→Rn為線性冪等映射，則f:Rn→R為擬-E-凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)E-e(f)= {(x,α)∈Rn×R:f(E(x))≤α}為E×I凸集.

證明 (必要性)對?(x1,α),(x2,α)∈E-e(f),要證E-e(f)是E×I凸集，需證?t∈[0,1]，有t(E×I)(x1,α)+(1-t)(E×I)(x2,α)∈E-e(f),即證f(E(tE(x1)+(1-t)E(x2)))≤α，因為f為擬-E-凸函數(shù)，E為線性冪等映射，所以f(E(tE(x1)+(1-t)E(x2)))=f(tE(x1)+(1-t)E(x2))≤max{f(E(x1)),f(E(x2))}≤α,故E-e(f)為E×I凸集.

(充分性)E-e(f)為E×I凸集，設(shè)(x1,f(E(x1))),(x2,f(E(x2)))∈E-e(f)， 令α=max{f(E(x1)),f(E(x2))}.對?t∈[0,1],有t(E×I)(x1,f(E(x1)))+(1-t)(E×I)(x2,f(E(x2)))∈E-e(f)，所以有f(tE(x1)+(1-t)E(x2))=f(E(tE(x1)+(1-t)E(x2)))≤α=max{f(E(x1)),f(E(x2))},故f為擬-E-凸函數(shù).

定理7 若M?Rn為非空E-凸集，f:M→R為M上的擬凸函數(shù)，則f為M上的擬-半-E-凸函數(shù)的充要條件是對?x∈M,都有f(E(x))≤f(x).

此定理是文獻(xiàn)[12]中定理4的適當(dāng)推廣，證明類似.

[1] YOUNESS E A.E-convex Sets, E-Convex Functions, and E-Convex Programming[J].Journal of Optimization Theory and Application,1999,102(2):440-446

[2] CHEN X S.Some Properties of Semi-E-Convex Functions[J].Journal of Mathematics Analysis and Applications,2002,275:251-262

[3] YOUNESS E A.Quasi and Strictly Quasi-E-Convex Functions[J].Journal of Statistics and Management System,2001(4):201-210

[4] 郝英.一類E-凸函數(shù)及在最優(yōu)化中的應(yīng)用[D].天津：河北工業(yè)大學(xué),2007

HAO Y.A Class of E-convex Function and Application in Optimization[D].Tianjin:Hebei University of Techn-ology,2007

[5] 王蕾.E-凸函數(shù)和它梯度的E-單調(diào)性的等價性證明[J].西華大學(xué)學(xué)報,2007,26(1):86-87

WANG L.The Proof on Equivalent of E-Convex Function and E-Monotonicity of Its Gradient[J]. Journal of Xihua University,2007,26(1):86-87

[6] 黃科登,馬國棟.E-凸函數(shù)的拓展研究[J]. 玉林師范學(xué)院學(xué)報,2007,28(5):1-4

HUANG K D,MA G D.Extension Research of E-Convx Function[J].Journal of Yulin Normal University,2007,28(5):1-4

[7] 寧剛.E-凸函數(shù)的若干特征[J]. 運籌學(xué)學(xué)報,2007,11(1):121-126

NING G.Some Characterizations of E-convex Functions[J].Or Transactions,2007,11(1):121-126

[8] 王建勇,宋穎,白咸倫.E-擬凸函數(shù)[J].聊城大學(xué)學(xué)報,2003,16(3):16-19

WANG J Y,SONG Y,BAI X L.E-Quasiconvex Function[J].Journal of Liaocheng University,2003,16(3):16-19

[9] ZHOU M.Some New Properties of an E-Convex Function[J].Journal of Hainan Normal University,2012,25(1):5-8

[10] 彭再云.關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的一個新的判別準(zhǔn)則[J].長春師范學(xué)院學(xué)報,2006,25(1):4-5

PENG Z Y.A New Criteria of Quisi-Semi-E-convex Functions[J]. Journal of Changchun Normal University,2006,25(1):4-5

[11] 景書杰,宋虹穎.幾類廣義凸函數(shù)的一些新性質(zhì)[J]. 聊城大學(xué)學(xué)報,2008,21(4):25-27

JING S J,SONG H Y.New Propertise of Some Kinds of Generalized Convex Functions[J]. Journal of Liaocheng University,2008,21(4):25-27

[12] 景書杰,王世磊.關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的幾個新結(jié)論[J].河南教育學(xué)院學(xué)報,2015,24(2):9-12

JING S J,WANG S L.Some New Conclusions of Quasi-Semi-E-Convex Function[J].Journal of Henan Institute of Education,2015,24(2):9-12

[13] 王世磊,景書杰,劉爭杰.E-凸函數(shù)的一個等價定理[J].海南師范大學(xué)學(xué)報,2015,28(2):127-130

WANG S L,JING S J,LIU Z J.One Equivalent Theorem of E-Convex Functions[J]. Journal of Hainan Normal University,2015,28(2):127-130

[14] AYACHE B,KHALED S.On E-Convex and Semi-E-Convex Functions for a Linear Map E[J].Applied Mathematical Sciences,2015,9(21):1043-1049

[15] 羅杰.E-偽凸函數(shù)性質(zhì)及在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的應(yīng)用[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,25(5):449-453

LUO J.Some Properties of E-Pseudo-Convex Functions and the Applications in Mathematical Programming[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University (Naturnal Science Edition),2008,25(5):449-453

責(zé)任編輯：李翠薇

Some New Findings of Generalized E-Convex Function

LI Jun1, LIU Xiao-jing2

(1. School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China;2. Library, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

The generalizedE-convex function plays an important role in the optimization theory. The relationship between generalizedE-convex function and convex function is obtained by comparing the correlation properties of convex functions. Then a counterexample is given for the proof of the lemma in the literature [5], and the equivalence between theE-convex function and theE-monotone is proved newly. It is further proved thatfhas an upper bound on a specific open setE(M) in a finite dimensional space. Finally, the properties and conclusions of the generalized E-convex function are generalized.

E-convex sets;E-convex function; quasi-E-convex function; quasi-semi-E-convex function;E-monotonicity

2016-12-22；

2017-03-15.

基礎(chǔ)科學(xué)與前沿技術(shù)研究(重點) (cstc2015jcyjBX0029).

李均(1992-)，男，重慶人，碩士研究生，從事最優(yōu)化理論研究.

**通訊作者：劉曉靜(1970-)，女，四川南溪人，館員，從事最優(yōu)化理論及其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0004.004

O174.13

A

1672-058X(2017)04-0020-04