李國(guó)青++張素婷

[摘 要] 從學(xué)生解答教材習(xí)題的作業(yè)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展一題多解、一題多變的課堂探究活動(dòng)，并對(duì)探究效果進(jìn)行反思，提出教學(xué)建議，以促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高.

[關(guān)鍵詞] 教材習(xí)題；解法；探究；反思

[?] 引子

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-1》第37頁(yè)習(xí)題2.1第4題：過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 學(xué)生的作業(yè)展示如下.

[?] 思考

本題是教材中《曲線與方程》的配套習(xí)題，學(xué)生作業(yè)反饋表明，他們已初步掌握了“五步法”求曲線方程的基本步驟，會(huì)用直接法求點(diǎn)的軌跡方程，但有些學(xué)生會(huì)忘記檢驗(yàn)，有些學(xué)生在檢驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，作業(yè)點(diǎn)評(píng)時(shí)應(yīng)加以糾正. 基于數(shù)學(xué)教師的職業(yè)直覺(jué)，本題的解答引起了筆者的深入思考. 只用直接法解答本題感覺(jué)意猶未盡，沒(méi)有充分挖掘習(xí)題的輻射功能.但是，教材卻在后面才陸續(xù)介紹了求點(diǎn)的軌跡方程的其他方法，這雖然反映了螺旋上升的新課程理念，卻給我們的教學(xué)帶來(lái)了不便. 于是，筆者決定在講完本章內(nèi)容后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本題進(jìn)行一番探究.

[?] 探究

在課堂上，學(xué)生看到此題的第一反應(yīng)是：“這題不是做過(guò)了嗎？”筆者笑而不語(yǔ)，故作深沉地望著他們，然后慢條斯理地說(shuō)：“那就再做一遍吧.” 學(xué)生們帶著絲絲的疑惑和不屑在應(yīng)付著. 一會(huì)兒，學(xué)生都做完了，筆者便讓兩位學(xué)生上臺(tái)展示他們的結(jié)果. 這兩位學(xué)生都選擇了解法三，因?yàn)樵谧鳂I(yè)點(diǎn)評(píng)時(shí)已經(jīng)對(duì)三種解法進(jìn)行了比較、分析. 筆者肯定了他們的解法，然后在教室里慢慢地走了一圈，學(xué)生1的不同解法映入了筆者的眼簾，筆者心里暗喜. 回到講臺(tái)后顯得很期待地問(wèn)：“同學(xué)們有沒(méi)有其他不同的解法呀？”學(xué)生1果然舉手了，筆者便讓他上臺(tái)展示了他的解法.

其他同解法一.

“哇，是定義法！”學(xué)生們一片驚嘆.好事的學(xué)生2還感嘆了一句：“原來(lái)老師是讓我們一題多解?。　鳖D時(shí)，“一石激起千層浪”，學(xué)生們紛紛動(dòng)起筆來(lái)，興致勃勃地開(kāi)始探究其他不同的解法，并不時(shí)有學(xué)生在互相討論著. 不久，學(xué)生們陸續(xù)上臺(tái)展示了他們的解法.

解法五：由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y=kx.

其他同解法一.

這時(shí)，教室里像炸開(kāi)了的鍋，學(xué)生們都在驚嘆：“原來(lái)有那么多不同的解法！”

“這不是求中點(diǎn)弦的三種方法嗎？”

“消參法真是變化無(wú)窮啊！”

這時(shí)，學(xué)生3舉手了.筆者裝作很驚訝，大聲地說(shuō)：“看來(lái)還有不同的解法！同學(xué)們，掌聲在哪里？”在學(xué)生們的掌聲中，他自信地走向了講臺(tái).

解法八：由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx.

其他同解法一.

學(xué)生4自告奮勇地要作點(diǎn)評(píng)：“這是交軌法，也是消參法的一種. 這道題既可用直接法，又可用定義法，還可用消參法，真是太美妙了！”這時(shí)，不知哪位學(xué)生發(fā)出了一聲嘆息：“相關(guān)點(diǎn)法好像不好用啊，真是太可惜了！”筆者馬上順?biāo)浦郏骸按祟}能否用相關(guān)點(diǎn)法求解呢？同學(xué)們?cè)囋嚾绾危俊睂W(xué)生們馬上開(kāi)始思考，教室里一片寂靜，只聽(tīng)見(jiàn)“沙沙”的寫(xiě)字聲. 隨后，學(xué)生們又開(kāi)始討論起來(lái)，卻一直沒(méi)有人舉手. 筆者便拋磚引玉地提問(wèn)：“使用相關(guān)點(diǎn)法的關(guān)鍵是什么？”學(xué)生5起來(lái)回答：“關(guān)鍵是找出所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知曲線上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，但在本題中，無(wú)論是把A還是B作為相關(guān)點(diǎn)，都難于表達(dá)出它的坐標(biāo)與所求點(diǎn)M的坐標(biāo)之間的關(guān)系.”筆者借坡下驢地繼續(xù)引導(dǎo)：“那能否改編一下題目，從而方便運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法？”

很快，學(xué)生5就提供了變式一：過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于點(diǎn)B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 并應(yīng)用相關(guān)點(diǎn)法解答如下：

學(xué)生們一下子好像找到了成功的源泉，個(gè)個(gè)躍躍欲試，大有燎原之勢(shì)，筆者卻擺手示意大家安靜，然后說(shuō)：“只要能找出所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知曲線上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，有很多不同的改編思路和方法，同學(xué)們課后可以繼續(xù)探究.現(xiàn)在，請(qǐng)大家看看這道高考題.”

練習(xí)（2014年高考全國(guó)卷Ⅰ文科第20題）：已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程.

學(xué)生很快就做完了，筆者便讓他們談?wù)効捶?

學(xué)生8：“與課本題目一樣，也有很多不同的方法.”

學(xué)生9：“本題的點(diǎn)P在圓內(nèi)，點(diǎn)M的軌跡是整個(gè)圓，所以當(dāng)定點(diǎn)在圓外時(shí)，弦中點(diǎn)M的軌跡是圓的一部分；當(dāng)定點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)時(shí)，弦中點(diǎn)M的軌跡是整個(gè)圓.”

學(xué)生10：“不是說(shuō)高考題‘源于課本，高于課本嗎？怎么比課本習(xí)題還簡(jiǎn)單！”

學(xué)生11：“一道題就讓我們掌握了求點(diǎn)的軌跡方程的基本方法，太棒了！”

學(xué)生12：“這真是一段美妙的探究之旅！”

下課鈴聲將近，是時(shí)候鳴金收兵了.“同學(xué)們，本節(jié)課的探究先到此為止，希望大家以后積極主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，認(rèn)真思考，通過(guò)一題多解、一題多變等，舉一反三、觸類旁通，真正理解和掌握解題方法. 數(shù)學(xué)是既神奇又美麗的，只要用心探究，每天都是美妙的享受！”

[?] 反思

1. 教師要善于挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力

很多高中數(shù)學(xué)教師都感嘆高中數(shù)學(xué)不好教.他們認(rèn)為高中學(xué)生學(xué)習(xí)能力有限，高考考查難度又大，所以經(jīng)常都是像保姆一樣——不停地講，不斷地練，總是滿腔熱情地想把自己的所有知識(shí)都“灌輸”給學(xué)生. 其實(shí)，每個(gè)學(xué)生的潛力是無(wú)限的，“只要給他們合適的機(jī)會(huì)，一定會(huì)還你一個(gè)驚喜！”“只要給他們一縷陽(yáng)光，就有可能無(wú)比燦爛！”教師在教學(xué)中既要重視學(xué)生的共同基礎(chǔ)，又要適應(yīng)學(xué)生的個(gè)性需要；既要?jiǎng)?chuàng)造開(kāi)發(fā)學(xué)生潛力的機(jī)會(huì)，又要善于科學(xué)地引導(dǎo)和點(diǎn)撥；既要肯定和鼓勵(lì)學(xué)生的進(jìn)步，又要關(guān)注學(xué)習(xí)情感，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng). 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在興趣和成功體驗(yàn)是學(xué)習(xí)的最佳動(dòng)機(jī)，是執(zhí)著求索的強(qiáng)大動(dòng)力，是開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)潛力的重要源泉. 教師在教學(xué)中應(yīng)努力創(chuàng)造機(jī)會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)常體驗(yàn)成功的喜悅，從而不斷地挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛力. 正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“要指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中有趣味的東西，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，好像把學(xué)生帶進(jìn)花園，而不是在門(mén)外觀花，鼓勵(lì)學(xué)生攻鉆難題，一旦成功，就會(huì)心懷喜悅，信心大增，興趣也大增.”

2. 教師要充分發(fā)揮教材的輻射功能

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本工具，也是教師向?qū)W生傳授知識(shí)、進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù). 人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》倡導(dǎo)“用教材”，其核心思想是教師在課堂教學(xué)過(guò)程中能夠?qū)滩倪M(jìn)行靈活的處理和運(yùn)用. 教師靈活處理和運(yùn)用教材的關(guān)鍵在于吃透教材，只有在熟悉課程標(biāo)準(zhǔn)、吃透教材的基礎(chǔ)上，才能充分地挖掘教材的輻射功能，提高課堂教學(xué)效率. 教材中的數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)容豐富，層次分明，有例題、練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題等.教材習(xí)題既是教學(xué)內(nèi)容的綜合反映，也是學(xué)生掌握知識(shí)、訓(xùn)練思維、提高能力的“主戰(zhàn)場(chǎng)”，教師要充分發(fā)揮教材習(xí)題的輻射功能，利用一題多解、一題多變等變式教學(xué)，讓學(xué)生通過(guò)探究、類比、歸納等，真正掌握解決同類數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路和方法. 教材習(xí)題也是高考命題的重要源泉，不少高考題是對(duì)教材習(xí)題的變形改造、移植加工而成，追本溯源地做好教材習(xí)題，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在高考中立于不敗之地.

3. 教師要靈活運(yùn)用不同的教學(xué)方法

自從實(shí)行班級(jí)制課堂教學(xué)以來(lái)，課堂教學(xué)改革一直在如火如荼地開(kāi)展，從傳統(tǒng)的“講授法”到如今最為流行的“導(dǎo)學(xué)案小組合作學(xué)習(xí)”，各種不同的教學(xué)方法層出不窮. 筆者認(rèn)為，無(wú)論什么教學(xué)方法，都要“因時(shí)制宜，因材施教”，要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、教材的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，從來(lái)就不存在“包治百病”的“最優(yōu)教法”. “教有法而教無(wú)定法”說(shuō)的就是這個(gè)道理. 教師要學(xué)會(huì)結(jié)合不同的年級(jí)、不同的課型、不同的學(xué)生，靈活運(yùn)用不同的教學(xué)方法，才能真正地提高課堂教學(xué)質(zhì)量. 如同樣是概念課，簡(jiǎn)單的內(nèi)容可以用自學(xué)輔導(dǎo)法，較難的內(nèi)容卻宜用啟發(fā)引導(dǎo)法；同樣是習(xí)題課，基礎(chǔ)較差的班級(jí)宜用講授法，能力較強(qiáng)的班級(jí)則可用探究法.

現(xiàn)在的教育目標(biāo)從社會(huì)需求來(lái)看，應(yīng)該培養(yǎng)有適應(yīng)能力、務(wù)實(shí)能力和研究能力的社會(huì)人才. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí)、教師引導(dǎo)點(diǎn)撥的教學(xué)探究活動(dòng). 在探究式課堂教學(xué)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下用類似科學(xué)研究的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí). 教師作為一個(gè)成功的“導(dǎo)演”，既要避免過(guò)度“搶?xiě)颉保植荒堋胺湃巫粤鳌?，要成為?yōu)秀的組織者、指導(dǎo)者和合作者.