陜西 韓紅軍
含絕對值的雙變量問題的求解策略
陜西 韓紅軍
自從2015年全國Ⅱ卷考查了含絕對值雙變量“任意性”問題之后,高考模擬試題陸續(xù)出現(xiàn)了此類問題.該類問題綜合考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式等方面的知識,涉及了函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等,對學(xué)生有較高的要求.本文系統(tǒng)探究含絕對值雙變量“任意性”與“存在性”問題的求解策略.
對于任意的x1,x2∈D,|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立[f(x)]max-[f(x)]min≤m恒成立.
(1)當(dāng)a>1時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)由(1)知,當(dāng)a∈(3,4)時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,f(1)是最大值,f(2)是最小值.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若對任意的a∈(-3,-2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)由(1)知,當(dāng)a∈(-3,-2)時,函數(shù)f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,
原問題等價于對任意的a∈(-3,-2),恒有[f(x)]max-[f(x)]min<(m+ln3)a-2ln3,
1.存在x1,x2∈D,使得|f(x1)-f(x2)|≥m成立[f(x)]max-[f(x)]min≥m成立.
【例3】(2016·江西模擬)已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0,且a≠1).若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】∵存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,而當(dāng)x∈[-1,1]時,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)maxf(x)min,∴只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.
又f′(x),f(x)的變化情況如下表所示:
∴函數(shù)f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),在[0,1]上是增函數(shù),∴當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max為f(-1)和f(1)中的最大者.
而g(1)=0,故當(dāng)a>1時,g(a)>0,即f(1)>f(-1);當(dāng)0<a<1時,g(a)<0,即f(1)<f(-1).
∴當(dāng)a>1時,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函數(shù)y=a-lna在a∈(1,+∞)上是增函數(shù),解得a≥e.
【評注】本題要注意等價轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值和最小值,最小值為f(0)=1,最大值為f(-1)和f(1)中的最大者,再分類討論得出結(jié)論.
2.存在x1,x2∈D,使得|f(x1)-g(x2)|≤m成立當(dāng)f(x)max<g(x)min時,[g(x)]min-[f(x)]max≤m成立.
【例4】已知x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x,x∈R的一個極值點.
(1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
【解析】(1)∵f(x)=(x2+ax+b)e3-x,
∴f′(x)=(2x+a)e3-x+(x2+ax+b)e3-x(-1)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x.
由題意得:f′(3)=0,即32+3(a-2)+b-a=0,即b=-2a-3.
∴f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x且f′(x)=-(x-3)·(x+a+1)e3-x.
令f′(x)=0得x1=3,x2=-a-1.
∵x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x,x∈R的一個極值點,
∴x1≠x2,即a≠-4.故a與b的關(guān)系式為b=-2a-3,a≠-4.
①當(dāng)a<-4時,x2=-a-1>3,由f′(x)>0得單調(diào)遞增區(qū)間為(3,-a-1);由f′(x)<0得單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,3)和(-a-1,+∞);
②當(dāng)a>-4時,x2=-a-1<3,由f′(x)>0得單調(diào)遞增區(qū)間為(-a-1,3);由f′(x)<0得單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-a-1)和(3,+∞).
(2)由(1)知,當(dāng)a>0時,x2=-a-1<0,f(x)在[0,3]上單調(diào)遞增,在[3,4]上單調(diào)遞減,f(x)min=min{f(0),f(4)}=-(2a+3)e3,f(x)max=f(3)=a+6.∴f(x)在[0,4]上的值域為[-(2a+3)e3,a+6].
(作者單位:陜西省麟游縣中學(xué))