林銀 黃明達(dá) 於亞飛張智明

(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(信息光電子科技學(xué)院),廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

從離散Wigner函數(shù)的角度探討量子相干性度量?

林銀 黃明達(dá) 於亞飛?張智明

(華南師范大學(xué),廣東省微納光子功能材料與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(信息光電子科技學(xué)院),廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

(2016年11月29日收到;2017年3月1日收到修改稿)

量子相干性是量子信息處理的基本要素,在量子計(jì)算中扮演著重要的角色.為了便于討論量子相干性在量子計(jì)算中的作用,本文從離散Wigner函數(shù)角度對(duì)量子相干性進(jìn)行了探討.首先對(duì)奇素?cái)?shù)維量子系統(tǒng)的離散Wigner函數(shù)進(jìn)行了分析,分離出表征相干性的部分,提出了一種可能的基于離散Wigner函數(shù)的量子相干性度量方法,并對(duì)其進(jìn)行了量子相干性度量規(guī)范的分析;同時(shí)也比較了該度量與l1范數(shù)相干性度量之間的關(guān)系.重要的是,這種度量方法能夠明確給出量子相干性程度與衡量量子態(tài)量子計(jì)算加速能力的負(fù)性和之間不等式關(guān)系,由此可以解析地解釋量子相干性僅是量子計(jì)算加速的必要條件.

量子相干性度量,量子計(jì)算加速,離散Wigner函數(shù)

1 引言

量子相干性作為量子力學(xué)的重要性質(zhì)之一,在量子計(jì)算和量子信息等領(lǐng)域扮演著重要的角色,因此如何在理論上度量量子相干性程度一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題.通常,人們定性地認(rèn)為相干效應(yīng)是由選定基矢下量子態(tài)密度矩陣的非對(duì)角元引起的.近期,類比糾纏度量,文獻(xiàn)[1,2]提出一個(gè)嚴(yán)格的量子相干性度量的資源理論框架,并驗(yàn)證相對(duì)熵相干性度量及l(fā)1范數(shù)相干性度量滿足該框架要求.在此框架下,對(duì)合適的相干度量方法,非相干態(tài)的度量值為零,而且通過非相干信道后量子態(tài)的相干性度量值不會(huì)增加.在此框架的基礎(chǔ)上,一系列相干性度量方案被提出和驗(yàn)證,例如文獻(xiàn)[3]中提出用可觀測(cè)量度量相干性并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)方案;文獻(xiàn)[4]提出通過糾纏度量相干性的方案;文獻(xiàn)[5]提出利用內(nèi)在隨機(jī)度量相干性,以及文獻(xiàn)[6]中討論了用保真度和跡距離度量量子相干性.同時(shí),文獻(xiàn)[7,8]討論了量子相干性和其他量子關(guān)聯(lián)形式(量子失諧,量子糾纏)之間的關(guān)系.

Wigner函數(shù)是研究連續(xù)變量量子系統(tǒng)的非經(jīng)典性質(zhì)的一個(gè)重要的工具.近年來人們將其推廣到有限維Hilbert空間來研究離散量子系統(tǒng)的非經(jīng)典性質(zhì),稱作離散Wigner函數(shù)[9?16].離散Wigner函數(shù)可用于判定對(duì)穩(wěn)定子量子計(jì)算提供量子計(jì)算加速的資源,如不能夠提供穩(wěn)定子量子計(jì)算加速的量子態(tài)的Wigner函數(shù)取值非負(fù)[17?19];具有非負(fù)離散Wigner函數(shù)的量子操作或量子計(jì)算線路都可以通過經(jīng)典有效模擬實(shí)現(xiàn)[20,21].如果能夠在離散Wigner函數(shù)的基礎(chǔ)上探討量子相干性,將可能在量子相干性及量子計(jì)算之間建立解析的聯(lián)系.

本文的結(jié)構(gòu)如下:第二部分簡(jiǎn)單介紹量子相干性度量的資源理論框架和離散Wigner函數(shù);第三部分分析量子態(tài)對(duì)角項(xiàng)在相空間的表現(xiàn),從而建議新的量子相干性度量方法,并對(duì)其進(jìn)行量子相干性度量規(guī)范的分析,同時(shí)探討其與l1范數(shù)度量之間的聯(lián)系,最后基于我們的度量方法分析量子相干性在通用穩(wěn)定子量子計(jì)算中的作用;第四部分對(duì)全文進(jìn)行簡(jiǎn)短的總結(jié).

2 量子相干性度量與離散Wigner函數(shù)

2.1 量子相干性度量

在給定基矢{|i?}i=0···d?1下的d維Hilbert空間中,非相干態(tài)定義為

這里pi為布居概率.我們把非相干態(tài)的集合記為I,δ∈I.除此之外的量子態(tài)都為相干態(tài),如?為最大相干態(tài).由非相干態(tài)的定義可知量子相干性度量值大小是由基矢選擇決定的,在不同的參考基矢下同一個(gè)量子態(tài)的相干性大小不同,也即相干性的大小由所研究的物理問題決定.

類似于糾纏度量理論[23?25]中的局域操作與經(jīng)典通信,引入非相干操作研究量子相干性度量的單調(diào)性.非相干操作定義為作用于非相干態(tài)不產(chǎn)生相干性的操作,設(shè)有滿足算子集合,若,該Kraus算子為非相干操作.非相干操作可分為兩種情況:第一種為沒有后選擇的非相干的正定保跡映射(ICPTP),輸出的量子態(tài)為;第二種考慮后選擇測(cè)量,測(cè)量后的結(jié)果可以保留,那么對(duì)應(yīng)第n個(gè)Kraus操作后的輸出態(tài)可以相應(yīng)地寫為ρ,相應(yīng)概率上述的非相干操作定義保證了其作用于非相干輸入態(tài)不會(huì)產(chǎn)生相干性.

有了以上關(guān)于非相干態(tài)、相干態(tài)以及非相干操作的定義,Baumgratz等[2]根據(jù)量子資源理論提議下面3個(gè)條件作為量子相干性度量的準(zhǔn)則.一個(gè)合適的量子相干性度量C是從量子態(tài)ρ到一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的映射,并遵循以下準(zhǔn)則:

(C1)對(duì)于所有的非相干態(tài)相干性度量值為0,即C(ρ)=0,當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈I;

(C2)量子相干性度量的凸性,即

pn為混合概率,

(C3)量子相干性度量的單調(diào)性,經(jīng)過非相干操作后量子態(tài)的相干性不會(huì)增加.考慮是否有后選擇測(cè)量,可分為弱單調(diào)性

和強(qiáng)單調(diào)性

其中由(C3b)和(C2)可得到(C3a)[2].

2.2 離散Wigner函數(shù)

Wigner函數(shù)是研究連續(xù)變量系統(tǒng)量子態(tài)非經(jīng)典性的重要工具[22].為了進(jìn)一步研究有限維Hilbert空間量子態(tài)在相空間的分布,人們提出和研究了離散Wigner函數(shù)的概念,由于定義離散Wigner函數(shù)的出發(fā)點(diǎn)不同,其定義眾多.其中較為主流的有兩種:一種是由Wootters[9]提出,后來由Gibbons等[10],Cormick等[11]和Galvao[12]發(fā)展而來的基于共同無偏基的廣義Wigner函數(shù).另一種是由Buot[13]提出,Cross[14]和Baron[15]加以發(fā)展的基于Weyl-Heisenberg算子的Wigner函數(shù),該定義適用于奇素?cái)?shù)維量子系統(tǒng).最近文獻(xiàn)[16]證明上述兩種定義方法在Cli ff ord變換下是等價(jià)的.下面我們介紹基于Weyl-Heisenberg算子的離散Wigner函數(shù)的定義方式.

其中,(a,b)∈Zd×Zd.我們定義相空間點(diǎn)算子為

3 利用離散Wigner函數(shù)分析量子相干性

3.1 基于離散Wigner函數(shù)的量子相干性度量

在連續(xù)變量領(lǐng)域中,利用Wigner函數(shù)來度量量子相干疊加性的思想已經(jīng)被提出和研究,如文獻(xiàn)[26]利用連續(xù)變量Wigner函數(shù)有效地度量宏觀量子疊加態(tài).在連續(xù)變量Wigner函數(shù)表示的相空間中,宏觀量子疊加態(tài)會(huì)呈現(xiàn)出兩個(gè)或多個(gè)可區(qū)分的峰并且在它們之間會(huì)有一定的振蕩模式,這就類似于經(jīng)典相干現(xiàn)象中的干涉條紋.文獻(xiàn)[26]中通過相應(yīng)頻率下相干條紋的復(fù)振幅,即特征函數(shù)模方來度量宏觀量子疊加性.也有文獻(xiàn)試圖在離散相空間討論量子干涉,如文獻(xiàn)[27]研究了干涉現(xiàn)象在離散相空間中的表示,對(duì)于兩個(gè)穩(wěn)定子態(tài)構(gòu)成的相干疊加態(tài),其干涉條紋分布在整個(gè)相空間中.

當(dāng)a=0時(shí),特征函數(shù)的值只與密度矩陣的對(duì)角元有關(guān),與非對(duì)角元無關(guān).我們知道量子相干性是由密度矩陣的非對(duì)角元產(chǎn)生的.為了不使密度矩陣對(duì)角元對(duì)度量造成影響,我們令a=0的離散特征函數(shù)值為0,把這樣處理后的離散特征函數(shù)記為χ′(a,b),對(duì)其做離散傅里葉變換:

這里(a,b)是離散Wigner函數(shù)的相空間,(a′,b′)是特征函數(shù)的相空間.我們發(fā)現(xiàn)上式可以直接通過離散Wigner函數(shù)得到.對(duì)密度矩陣ρ我們分離出其對(duì)角部分,定義正定厄米矩陣為|,表示對(duì)應(yīng)于量子態(tài)ρ的非相干態(tài),相應(yīng)的離散Wigenr函數(shù)記為,則

度量量子態(tài)ρ在標(biāo)準(zhǔn)基中的量子相干性大小.

3.2 離散Wigner函數(shù)相干性度量的度量規(guī)范分析

基于離散Wigner函數(shù)量子相干性度量能很好地符合Baumgratz標(biāo)準(zhǔn)(C1)和(C2).從定義中顯然可以看出這種度量滿足(C1),對(duì)于凸性條件(C2),量子態(tài)處于混合態(tài),我們有

從而CW(ρ)的凸性得證.

量子相干性度量CW(ρ)在計(jì)算基測(cè)量下符合相干性度量準(zhǔn)則(C3).我們對(duì)單體系統(tǒng)和多體系統(tǒng)分別進(jìn)行討論.首先看單體系統(tǒng),初始量子態(tài)經(jīng)過計(jì)算基測(cè)量后形式為,明顯只有對(duì)角元素,是非相干態(tài),所以滿足準(zhǔn)則(C3).再看多體系統(tǒng)的情況,整個(gè)系統(tǒng)在Hilbert空間可分為u,v兩個(gè)部分,我們對(duì)最后一個(gè)粒子進(jìn)行計(jì)算基測(cè)量,則第i個(gè)測(cè)量算子Mi=I?|i??i|,測(cè)量前的狀態(tài)為,則測(cè)量后情況為

經(jīng)過測(cè)量后第i個(gè)輸出態(tài)的概率為

經(jīng)過測(cè)量后第i個(gè)輸出態(tài)為

相應(yīng)的離散Wigner函數(shù)可表示為

同理可得

由以上證明結(jié)果可得CW相干性度量在計(jì)算基測(cè)量情況下滿足強(qiáng)單調(diào)性,即準(zhǔn)則(C3b).

以上的8個(gè)系數(shù)ni,i=1,···,8是SU(3)群8個(gè)生成元對(duì)應(yīng)的系數(shù).基于離散Wigner函數(shù)的相干性度量為

考慮三維量子系統(tǒng)的非相干操作為

其中ci∈C,n=1,2,3,并且滿足是復(fù)數(shù),寫成,其他的以此類推.在有后選擇的情況下,經(jīng)過非相干信道后第n個(gè)輸出態(tài)為.根據(jù)CW的定義,我們可以計(jì)算非相干操作后系統(tǒng)的相干性度量的表達(dá)式.下面我們選擇兩種的量子態(tài),通過數(shù)值驗(yàn)證相干性度量CW符合準(zhǔn)則(C3b).

我們選取兩種不同的量子態(tài),分別觀察它們的度量結(jié)果.圖1選取的量子態(tài)為最大相干態(tài),其中圖1(a)和圖1(b)分別是系統(tǒng)經(jīng)過不同參數(shù)下非相干操作的度量情況,兩種情況下紅線始終處于藍(lán)線上方,表明CW度量滿足不等式,即符合相干性度量標(biāo)準(zhǔn)(C3b).圖2選取的量子態(tài)為混合量子態(tài)

p是最大相干態(tài)和最大混態(tài)所占的比例.由于圖2(a)和圖2(b)是在不同參數(shù)非相干操作下的度量情況,從圖2中可以看出綠色曲面始終處于藍(lán)色曲面上方,說明CW度量滿足不等式),即符合相干性度量標(biāo)準(zhǔn)(C3b).的值)(a)非相干操作的參數(shù),(b)非相干操作的參數(shù),

圖1 (網(wǎng)刊彩色)最大相干態(tài)經(jīng)過非相干操作前后的度量情況(紅線為最大相干態(tài)的度量值,藍(lán)線為經(jīng)過有后選擇非相干操作下

Fig.1.(color online)The quantum coherence CWof maximally coherent state under the incoherent operations(the red curve depicts the quantum coherence before incoherent operations,the blue curve represents the quantum coherence after incoh√erent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent opera√tions,經(jīng)過非相干操作前后相干性度量值對(duì)比(綠色曲面代表未經(jīng)過非相干操作的√度量結(jié)果,藍(lán)色曲面代表經(jīng)過有后選擇下非相干操作的度√量結(jié)果)(a)非相干操作參數(shù),

圖2 (網(wǎng)刊彩色)量子態(tài)

Fig.2.(color online)The quantum coherenceunder the incoherent operations(the green surface shows the quantum coherence before incoherent operations,The blue surface the quantum coherence after incohe√rent operations where post-selection is enabled):(a)Parameters of incoherent;(b)parameters of incoherent operations:

3.3離散Wigner函數(shù)相干性度量與l1范數(shù)相干性度量

l1范數(shù)相干性度量[1]定義為密度矩陣非對(duì)角元模和:

其中|ρi,j|為密度矩陣元的模,在文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)證明這種方案符合資源理論的相干性度量結(jié)構(gòu).離散Wigner函數(shù)相干性度量與l1范數(shù)相干性度量是從不同的角度對(duì)量子系統(tǒng)的相干性進(jìn)行度量,它們之間也存在一定的聯(lián)系.這里令量子態(tài)的密度矩陣為

隨著p的增大,即最大相干態(tài)的比例增大,ρp的相干性也增加,所以度量值變大,滿足

圖3 (網(wǎng)刊彩色)藍(lán)線表示基于離散Wigner函數(shù)相干性度量CW(ρp),紅線表示l1范數(shù)相干性度量Cl1(ρp)Fig.3.(color online)The blue curve depicts quantum coherence CWof ρp,the red curve represents the l1norm coherence of ρp.

3.4 基于CW分析量子相干性在通用量子計(jì)算中的作用

通過穩(wěn)定子量子計(jì)算模型我們可以將量子計(jì)算加速的資源鎖定于量子態(tài)的非經(jīng)典性質(zhì)[17?21].量子態(tài)的通用計(jì)算能力(提供穩(wěn)定子量子計(jì)算加速的能力)可以通過離散Wigner函數(shù)負(fù)值的絕對(duì)值之和來度量[18],我們稱為負(fù)性和,記為NW,

由負(fù)性和的定義可以得到量子相干性度量CW和NW的不等式關(guān)系,即

在穩(wěn)定子量子計(jì)算理論中,量子變換由Clifford操作實(shí)現(xiàn),此不等式說明:如果對(duì)于一個(gè)量子態(tài),存在一組Cli ff ord操作,使得此操作下的量子態(tài)的量子相干性CW=0,則此量子態(tài)的量子相干性不能向穩(wěn)定子量子計(jì)算提供量子加速.文獻(xiàn)[14]指出Cli ff ord操作下量子態(tài)Wigner函數(shù)的各個(gè)格點(diǎn)取值相互換,即Wρ(v),v和v′分別為經(jīng)過Cli ff ord操作前后的離散相空間,因此負(fù)性和NW的值不變.但經(jīng)過Cli ff ord操作后量子態(tài)對(duì)角矩陣發(fā)生變化:,從而引起CW的變化,即

由CW和NW的不等式關(guān)系說明負(fù)性和是Cli ff ord操作下量子相干性的最小值,同時(shí)也表明量子態(tài)的相干性是其具有量子計(jì)算加速能力的必要條件.

4 結(jié)論

本文討論了奇素?cái)?shù)維量子系統(tǒng)的離散Wigner函數(shù),在離散相空間中分離出表征量子相干性的部分,從而建議了一種可能的量子相干性度量方法.我們證明了該方法滿足資源理論相干性度量框架中的準(zhǔn)則(C1)和(C2),并且證明了在計(jì)算基測(cè)量下滿足準(zhǔn)則(C3b),同時(shí)通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了3維量子系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)非相干操作下也符合準(zhǔn)則(C3b).另外,本文還給出了這種度量方法與l1范數(shù)度量之間的聯(lián)系.更重要的是我們明確得到了該度量與衡量量子態(tài)計(jì)算加速能力的負(fù)性和之間的不等式關(guān)系,從而解析地解釋量子相干性僅是量子計(jì)算加速的必要條件.本文在討論強(qiáng)單調(diào)性證明時(shí)僅考慮一些特殊情況下的非相干操作及特定維度的量子態(tài),對(duì)于任意奇素?cái)?shù)維量子系統(tǒng)在任意非相干操作下的單調(diào)性證明還有待進(jìn)一步研究.

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PACS:03.65.Aa,03.65.Ta,03.65.Yz,03.67.AcDOI:10.7498/aps.66.110301

Investigating quantum coherence from discrete Wigner function?

Lin YinHuang Ming-DaYu Ya-Fei?Zhang Zhi-Ming
(Guangdong Provincial Key Laboratory of Nanophotonic Functional Materials and Devices(SIPSE),Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

29 November 2016;revised manuscript

1 March 2017)

Quantum coherence is an essential ingredient in quantum information processing and plays an important role in quantum computation.Therefore,it is a hot issue about how to quantify the coherence of quantum states in theoretical framework.The coherence e ff ect of a state is usually described by the o ff-diagonal elements of its density matrix with respect to a particular reference basis.Recently,based on the established notions from quantitative theory of entanglement,a resource theory of coherence quanti fi cation has been proposed[1,2].In the theory framework,a proper measure of coherence should satisfy three criteria:the coherence should be zero for all incoherent state;the coherence should not increase under mixing quantum states;the coherence should not increase under incoherent operations.Then,a number of coherence measures have been suggested,such as l1norm of coherence and the relative entropy of coherence[2].Wigner function is known as an important tool to study the non-classical property of quantum states for continuousvariable quantum systems.It has been generalized to fi nite-dimensional Hilbert spaces,and named as discrete Wigner function[9?16].The magic property of quantum states,which promotes stabilizer computation to universal quantum computation,can be generally measured by the absolute sum of the negative items(negativity sum)in the discrete Wigner function of the observed quantum states.In this paper we investigate quantum coherence from the view of discrete Wigner function.From the de fi nition of the discrete Wigner function of the quantum systems with odd prime dimensions,for a given density matrix we analyze in phase space the performance of its diagonal and o ff-diagonal items.We fi nd that,the discrete Wigner function of a quantum state contains two aspects:the true quantum coherence and the classical mixture,where the part of classical mixture can be excluded by only considering the discrete Wigner function of the diagonal items of the density matrix.Thus,we propose a possible measure method for quantum coherence from the discrete Wigner function of the o ff-diagonal items of the density matrix.We show that the proposed measure method satis fi es the criteria(C1)and(C2)of coherence measure perfectly.For the criteria(C3),we give a numerical proof in three-dimensional quantum system.Meanwhile,we compare the proposed coherence measure with l1norm coherence,and get an inequality relationship between them.Finally,an inequality is obtained to discuss the relation between quantum coherence and the negativity sum of discrete Wigner function,which shows that the quantum coherence is only necessary but not sufficient for quantum computation speed-up.

quantum coherence measure,quantum computation speed-up,discrete Wigner function

10.7498/aps.66.110301

?國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):91121023)、國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11574092,61378012,60978009)、國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研

究發(fā)展計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):2013CB921804)和教育部“長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃”(批準(zhǔn)號(hào):IRT1243)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yfyuks@hotmail.com

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the Major Research Plan of the National Natural Science Foundation of China(Grant No.91121023),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11574092,61378012,60978009),the National Basic Research Program of China(Grant No.2013CB921804),and the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University of Ministry of Education of China(Grant No.IRT1243).

?Corresponding author.E-mail:yfyuks@hotmail.com