鄒宇

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅重視技巧、方法，也要重視教學(xué)過程中的問題，從這些問題中尋找學(xué)生的薄弱之處是教學(xué)更為有效的地方，因此數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視過程的反思.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；教學(xué)；過程；設(shè)計(jì)；思考；直線；橢圓

課堂作為“課改”的主戰(zhàn)場是師生知識(shí)交流、思想碰撞的前沿陣地；是學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)重建和升華、形成數(shù)學(xué)思想方法的最佳時(shí)機(jī)；是教師專業(yè)成長、教學(xué)理論水平提高、指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、推進(jìn)數(shù)學(xué)新課程實(shí)施的最佳平臺(tái). 教師對(duì)教學(xué)的要求隨著教齡的增加應(yīng)該不斷完善，從初級(jí)時(shí)的“如何上好課”到中級(jí)時(shí)的“如何做最好的老師”，到高級(jí)時(shí)的“如何教教材、回顧教學(xué)初心”等，都是值得教師深深思考的問題.在這美好的愿境面前，給我們教育工作者帶來了新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，也提出了更高的要求，尤其是時(shí)下暴露出的一些問題和不足，這就更需要我們教育工作者從日常的教學(xué)工作入手反思.

[?] 提出問題

在教學(xué)過程中，不少教師有這樣的困惑：數(shù)學(xué)試題講了很多，同樣的類型講了多遍，可是學(xué)生的數(shù)學(xué)行為習(xí)慣、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及由此綜合而成的整體能力就是得不到提高！也常聽見學(xué)生有這樣的埋怨：上課老師講的內(nèi)容都聽懂了，可是課后遇到類似的題型，只記得講過，但具體的解決方法就不清楚了；類似的問題重復(fù)訓(xùn)練，但是成績的提高卻依舊緩慢！筆者認(rèn)為，這就是教學(xué)不得法的體現(xiàn)，歸根到底教學(xué)仍舊是從教師的眼中去分析的，沒有從學(xué)生的視角想一想. 因此，筆者從學(xué)生的角度分析了成因以及解決的一些策略，再結(jié)合教師的角度分析，與同行探討交流.

[?] 設(shè)計(jì)思考

眾所周知，構(gòu)成一堂課最基本的三要素是教師、教材、學(xué)生. 他們是相互融合的整體，既有一定的矛盾也有一定的共性. 它們之間的關(guān)系是充斥著矛盾的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，而整個(gè)課堂教學(xué)就是要將相互矛盾的三者有機(jī)地融合在一起.對(duì)于教師的矛盾主要體現(xiàn)在是否認(rèn)真地鉆研教材，能否駕馭教材，在自己具有創(chuàng)造性的努力之后，逐步地、有層次地、循序漸進(jìn)地傳授給學(xué)生. 所以第一項(xiàng)重要的工作就是在備課之前仔細(xì)認(rèn)真地鉆研教材，分析學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).

布魯納認(rèn)為：學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)是指學(xué)科的基本概念、基本原理、基本方法和它們之間的聯(lián)系. 比如高二開設(shè)的解析幾何，它是用代數(shù)的方法研究幾何問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模塊.它的基本結(jié)構(gòu)如下：

基本概念：曲線的方程與方程的曲線.

基本原理：用代數(shù)的方法研究幾何問題.

基本思想：數(shù)型結(jié)合與動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn).曲線可以看成是具有某種特性的動(dòng)點(diǎn)的軌跡——方程；同樣通過方程可以研究曲線的某些特性.

基本方法：解析法.

基本聯(lián)系：點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)，曲線與方程的聯(lián)系.

我們認(rèn)真地研究了學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，才能了解這一模塊的特點(diǎn)和知識(shí)的本質(zhì)以及它的發(fā)生、發(fā)展、演變的內(nèi)在規(guī)律.這樣我們才能很好地把握教材，才能制定明確的課堂教學(xué)目標(biāo).

1. 步驟一：《直線和圓錐曲線》位置關(guān)系理論過程設(shè)計(jì)

高二解析幾何中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是該模塊知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同樣也是系統(tǒng)很強(qiáng)的內(nèi)容，當(dāng)然也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn). 其中直線與雙曲線的位置關(guān)系尤為復(fù)雜. 因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與橢圓的位置關(guān)系，所以對(duì)這塊內(nèi)容不是很陌生，但也只是一個(gè)初步. 為了在學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)上更好地將這部分內(nèi)容條理化、系統(tǒng)化，為了強(qiáng)化基本原理和基本的思想，為了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和積極性，可以制定如下的教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)與技能

第一，經(jīng)歷直線與橢圓的位置關(guān)系以及位置關(guān)系的判定，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析能力；

第二，通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系以及判定的探討，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神，掌握直線與雙曲線的位置的判定方法.

（2）過程與方法

第一，類比直線與橢圓的位置關(guān)系以及判定引申到直線與雙曲線；

第二，充分再現(xiàn)用代數(shù)的方法研究幾何問題的基本原理；

第三，探索直線與雙曲線的位置的判定的特殊性（由雙曲線本身所引起的特殊性）.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀

明確了任務(wù)和目標(biāo)后，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、心理特征創(chuàng)設(shè)貼近生活的鮮活的情景，使學(xué)生身臨其境；通過分層問題逐步引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展歷程；同步配以結(jié)合學(xué)生實(shí)際制作的多媒體演示、模型實(shí)物演示等多種視聽媒介，全面激活非智力因素的能動(dòng)作業(yè)，加強(qiáng)學(xué)生主體學(xué)習(xí)的動(dòng)力系統(tǒng).

2. 步驟二：《直線和圓錐曲線》位置關(guān)系具體教學(xué)實(shí)施

課堂教學(xué)的目標(biāo)是落實(shí)雙基，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 在落實(shí)雙基時(shí)應(yīng)該適當(dāng)?shù)販p緩知識(shí)架構(gòu)的“坡度”，讓學(xué)生有足夠的思維空間將知識(shí)科學(xué)、和諧、穩(wěn)定地建構(gòu)到原有的知識(shí)鏈中，而且更有廣闊的再建空間. 但是這樣的平衡在建立之初是很脆弱的，最容易被打破，所以應(yīng)該加以強(qiáng)化.

知識(shí)回顧——直線與橢圓的位置的關(guān)系：

研究橢圓+=1和直線y=kx-3的位置關(guān)系需要兩方程聯(lián)立后得一元二次方程（3+4k2）x2-24kx+24=0，以一元二次方程根的判別式為載體，通過研究方程根的個(gè)數(shù)來求得直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定. 此時(shí)學(xué)生原有知識(shí)已經(jīng)激活，是接納相關(guān)知識(shí)的最佳時(shí)機(jī).

緊接著設(shè)計(jì)一個(gè)探索：將橢圓方程+=1變成雙曲線方程-=1.

探索——直線與雙曲線的位置的關(guān)系：

學(xué)生甲：兩方程聯(lián)立后得方程（3-4k2）x2+24kx-48=0.

學(xué)生乙：聯(lián)立后兩個(gè)方程不一樣了.（通過觀察已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了區(qū)別）

教師：對(duì)判斷位置關(guān)系有影響嗎？（引導(dǎo)到課堂的重點(diǎn)）

學(xué)生丙：有. 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，Δ不適用了. （運(yùn)用已有的知識(shí)）

教師：那該怎么辦？（給予肯定，繼續(xù)讓他回答）

學(xué)生丙：可以分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩類. （運(yùn)用分類討論思想）

（1）若k=時(shí)，直線方程變?yōu)閥=x-3，與漸近線平行.

（2）若k=-時(shí)，直線方程變?yōu)閥=-x-3，與漸近線平行.

（在學(xué)生回答的過程中配以圖像的演示，加強(qiáng)學(xué)生的印象，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且為交點(diǎn).）

（3）若k2≠，則只需判斷判別式的符號(hào)即可.

第一，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解——相交.

第二，當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相同的解——相切.

第三，當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有解——相離.

思考：通過這個(gè)簡單環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，不僅激活了學(xué)生原有的直線與橢圓的位置關(guān)系以及判定的知識(shí)，學(xué)生也抓住了“+”到“-”變化帶來的區(qū)別，經(jīng)歷了橢圓與雙曲線的類比學(xué)習(xí)，知識(shí)的遷移顯得比較自然，同樣也激起了學(xué)生再學(xué)習(xí)的興趣.另一方面，鞏固了研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，加強(qiáng)了對(duì)該模塊知識(shí)建構(gòu)的強(qiáng)度，還抓住了雙曲線的特殊性（與漸近線平行的直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了課堂重難點(diǎn)的分解分層實(shí)施，降低了“坡度”，但沒有降低難度.學(xué)生不僅領(lǐng)悟、內(nèi)化了橢圓與雙曲線的共性，同時(shí)也分辨抽象出了雙曲線的個(gè)性，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，符合知識(shí)的發(fā)展過程以及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

時(shí)代在發(fā)展，教師也應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)地不斷提升自己的綜合實(shí)力，課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)和思考是一條強(qiáng)有力的途徑，也是我們自我價(jià)值實(shí)現(xiàn)和得到認(rèn)可的一條有效途徑. 當(dāng)然另一方面，通過教師對(duì)教育心理學(xué)理論的再學(xué)習(xí)——領(lǐng)悟、吸收、內(nèi)化、升華——并以個(gè)體積極探索和創(chuàng)造性的行動(dòng)所形成的具有極強(qiáng)操作性的理論或模式為指導(dǎo)，從學(xué)生的知識(shí)水平和認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，反思自己的教學(xué)行為——深入研究教材，探討教學(xué)方式方法，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)教學(xué)情景，深入淺出，層層推進(jìn)，最大化地激活學(xué)生學(xué)習(xí)的思想火花和靈感，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)，提升教師自己對(duì)課堂設(shè)計(jì)的掌控能力和教學(xué)的思考能力.