江蘇省連云港市海頭高級中學(222111) 劉永巖

談高三數(shù)學一輪復習的有效性
——高三復習課《三角恒等變換》教學實錄與啟示

江蘇省連云港市海頭高級中學(222111) 劉永巖

最近,我,舉行中小學“青藍課程”(高中數(shù)學)展示活動,我有幸參加這次活動,展示活動的四位教師的課堂教學嚴謹流暢,內容豐富、環(huán)節(jié)緊湊,在一定程度上體現(xiàn)了在新課程背景下,數(shù)學課堂中如何通過師生共同參與、互動對話,通過學生的“自主、合作、探究”來實施有效教學.下面是宋老師上的一節(jié)課復習課進行整理,供同行共同探討.

1 以本為本基礎訓練

師：同學們,我們知道孫悟空會72變,那么我們今天也來變一下,看誰會“變”？我們今天復習“三角恒等變換”,這節(jié)課主要體現(xiàn)在“變”上,關鍵看各位同學怎么變,看誰變得精彩！請同學們完成下面的題目

(學生思考、解題,教師巡視,稍過片刻,學生講述自己的解法,其中第1小題有兩位學生在黑板上展示,第2、3題各一位同學展示.)

2 師生活動探究解法

生 1：把 15°寫成 45°-30°,因此很容易求出sin15°和cos15°的值,代入原式就可以求出值

師：她這里面就體現(xiàn)了 “變”字,她是將 15°變?yōu)?5°-30°,這里用到差角公式,(教師同時板書所用到的公式),我們發(fā)現(xiàn)學生1也計算出了結果,不過看上去有些麻煩！

把正弦、余弦的和差問題轉化為一個角的三角函數(shù)問題.師：很好！生2解法較學生1的解法要簡單,他實質上用了αsinα+bcosα=sin(α+φ).我們高考主要定位在a:b=1:1或1:型的問題,還有沒有其他方法?(此話一出,下面有學生小聲議論,片刻之后)

生3：可以弦化切來處理,將分子、分母同除以cos15°,原式可變?yōu)?/p>

師：你是怎么想到的？

生3：根據前面的做題經驗,遇到這樣的式子,就可以化弦為切,然后逆用兩角差的正切公式.

師：這樣的式子,實際就是我們說的“齊次式”,遇到正余弦的齊次式我們可以化弦為切.

生3：然后在分母的tan15°前填添1,在采用“1”的代換,變?yōu)?tan(15°-45°)=tan(-30°)=

師：她的思路也比較縝密,(追問)那么,你能否不轉化為切,而直接從弦的角度處理呢？

生3：好像不好處理.(一臉的茫然,過了一會兒,下面有學生躍躍欲試)

師：生4,你說說看！

生4：可以分子、分母同乘以分子,也可以同乘以分母,然后展開分子、分母化簡,逆用正余弦二倍角公式.(教師根據學生的口述,同時在黑板上板書)

師：學生4的解法非常好！(此時全班同學都投以贊許的目光)他是逆用正余弦二倍角公式將15°轉化為30°,受學生4的啟發(fā),請同學們思考,能否嘗試只用正弦的二倍角公式呢？(此語一出,全班學生一臉的茫然,然后陷人了深深的思考中...,偶爾不乏小聲地相互討論...,至此,學生思維陷入困境,此時教師及時點撥.)

師：請同學們回顧正弦二倍角的形式,要用正弦二倍角,要有正余弦的乘積,注意觀察分子、分母的形式,那么,該怎么辦呢？

(經過教師的引導,頓時,有學生舉手,站起來.)

生5：可以平方,這樣就會出現(xiàn)2sin15°cos15°,然后可以逆用正弦二倍角公式！

師：太棒了！(全班學生茅塞頓開,臉上露出了微笑)那么你平方后,求得是原式平方的值？

生5：是的,然后再開方,要注意式子的符號,原式為負,因此要舍正取負.(此時全班同學都投以贊許的目光.)

師：回答的非常好！希望我們在以后解題過程中要善于觀察差異,尋找聯(lián)系,設法將式子中存在的一些信息提煉加工.(正當師生準備對下一問題研究時,一位學生突然起來.)

生 6：老師,這題也可以用斜率來解決,設A(sin15°,cos15°),A(cos15°,-sin15°),通過數(shù)形結合可知,直線AB傾斜角為150°,故原式的值為tan150°=-(帶著有點興奮和激動的心情說出了自己的解法,沾沾自喜.)

師：回答得非常好!運用直線的斜率來處理,用學過的知識解決學習中遇到的問題,溝通了知識的橫向聯(lián)系.好！請大家回過頭來看看這題的做法,用到哪些公式？(回頭看黑板上寫下的用過公式.)

生7：我先分析了所給式子的整體結構,發(fā)現(xiàn)角存在差異,不好化簡,就用公式將,sin(α-),cos(α-)分別展開了.

師：你是從角度的差異入手,那你能否換個角度再考慮一下,解決這個問題？(生7沉思了片刻.)

生7：不從角...,那只能從冪的角度入手了,可以采用降冪公式,先降次,在用兩角差正余弦的公式.

師：很好！大家聽明白了嗎？

學生 (齊聲)：明白

教師：下面我們看一下第3題,請生8談一下你的思路

生8：可從它的結果化,也可以從它的條件化

師：那你是從那化得

生8：我是從條件化的

師：很好,要從結果化,那就采用分析法,數(shù)學中有很多問題需要兩邊夾,要看看條件,在看看結論.我轉的時候發(fā)現(xiàn)有的同學在做到cos2αcos2β-sin2αsin2β的時候卡住了,我們要看化歸的方向,現(xiàn)在我們研究什么呢,(教師用粉筆強調 cos2α-sin2β)那么我們看 cos2αcos2β-sin2αsin2β這里面還有沒有sin2α,cos2β,那么該怎么辦？

生 (齊聲)：消去

師：很好,因此在解決三角變換問題時,要明確三角變換的方向通過：發(fā)現(xiàn)差異→尋找聯(lián)系→合理轉化→解決問題.(此時教師投出這幾個題目的來源,都是課本上的題目,教師注重復習時回歸課本.)

3 拓展訓練突出重點

教師通過課本上的三道基礎題,幫助學生回顧了一些基本概念和基本方法之后,趁熱打鐵又給學生出三道變式題,讓學生更好的掌握變角的方法：

變式1 已知α,β為銳角,且cos(α+β)=sin(α-β),則tanα=____.(變式1由一位同學到黑板板演.)

師：請生9談你的思路.

生9：我是這樣想的已知條件是弦之間的關系,要求tanα要么求出sinα與cosα的值,要么找出sinα與cosα的關系,通過分析只能找關系,從而展開可以得到cosα(cosβ +sinβ)=sinα(sinβ +cosβ),故 tanα =1.

師：很好,我們解題時一定要明確化歸的方向,注意尋找聯(lián)系,我們來看下一題.

(變式2由兩位同學到黑板板演,教師點評,下面同學各自完成后小組討論.)

師：我們來看看兩位同學的解答過程及思路,生10通過變角將sinα變?yōu)閟in[(α√+β)-β],然后將sinβ,cosβ代入可以直接出tan(α+β)=,而生11是通過cos(α+β)=sinα與sinβ=求出tanα與tanβ,借助兩角和的正切公式求解的.兩位同學解題思路都很清晰

師：要求sinα+cosβ不太好求,但通過條件發(fā)現(xiàn)(α - β)+(α + β)=2α,因此可以求出 sin2α,sin2α =sin[(α-β)+(α+β)],只要根據條件分別求出sin(α-β),cos(α+β)即可,(sinα+cosβ)2=1+sin2α,然后開方,要注意符號的取舍,當＜α＜π時,sinα+cosβ＞0.

4.課堂小結 觀點提煉

通過今天這堂課,我們對變角問題有了進一步的理解,熟悉處理這類問題的思維方法,提高了我們解決三角恒等變換問題的能力,我們高考中變角一般都定位在下面三種情況：

1.用已知角相加減,如變式2、3.

幾點啟示

本節(jié)課的教學教師只通過三個課本的基礎題和三道變式題展開教學取得很好效果,這得益于教師具備正確的教材觀,能對教學資源進行優(yōu)化整合;能尊重學生的學習主體地位,積極引導他們自主學習,探究發(fā)現(xiàn),合作交流,以積極愉悅的心態(tài)參與其中.在這樣的課堂環(huán)境中,學生的思維也會活躍起來,真正實現(xiàn)有效的課堂.

1.回歸課本,夯實基礎知識

“九層之臺,始于壘土”,能否掌握基礎知識是學生取得高考成功的根本,否則,就談不上知識的運用,也談不上能力的培養(yǎng),更談不上數(shù)學思維的養(yǎng)成.因此,教學中我們要注重學生基礎知識的掌握,只有這樣在高考中不管題目如何變化,只要基礎牢固方能在應用時“以不變應萬變”,如果基礎不牢,巧婦也難為無米之炊.本節(jié)課在復習中注意以教材為根本,重視教材中例題、習題蘊含的基本方法和基本技巧,通過對基礎題“一題多解,一題多變”,讓學生的思維水平在“變”中得以升華,增強了思維的深刻性.

2.發(fā)揮學生的主體作用,教師要做“積極的旁觀者”

教學過程中,教師應考慮到學生原有的知識儲備以及教材內容的要求,把課堂還給學生,教師自己只發(fā)揮了組織者、引導者的作用,適時在心理上給予學生支持和鼓勵,讓學生通過交流展示、互動探究等活動加強對知識的理解和掌握.例如,基礎訓練雖然是課本上的習題,教師沒有一帶而過,而是讓學生自己思考解答,然后再合作交流,這樣學生會在交流中思維上產生相互碰撞,暴露相互之間的思維過程,在交流中相互理解、相互啟發(fā)、互相幫助,實現(xiàn)了互補,比教師直接灌輸更具有說服力,同時也可以將學生思考問題時存在的問題暴露出來,為教師進一步了解學生及今后教學措施與方法的修正提供切實可行的客觀依據.因此,在高三教學中教師要大膽的把課堂還給學生,讓學生在課堂中綻放出思維的火花,教師只要在必要時適當引導,這樣課堂上人人都能參與,每一位學生都能體驗和享受成功的愉悅.

3.問題驅動教學過程,適時引導學生思維

好奇之心人皆有之,同樣一個問題,提出時平平淡淡,沒有藝術,學生就不可能被吸引.相反,如果提出的問題與學生的思維發(fā)生碰撞,會使學生有新奇之感,那么他們就會開動腦筋積極思考.例如基礎題第1題,雖然是課本習題,學生給出對分子、分母同乘分母或分子,然后分別用正余弦的二倍角公式求解后,教師沒有就此停止,而是教師順水推舟提出問題：能否只用正弦二倍角？使學生的思維突然陷入困境,這時學生開始討論,教師給予了引導,使學生在思維上找到了突破口,把三角恒等變換中的“變”彰顯出精彩.

4.變式循序漸進,使學生的思維得到進一步提升

數(shù)學變式教學要源于課本又要高于課本,在復習過程中教師應回歸教材,根據教材的內容和學生的實際情況對例題和習題進行恰當合理的變式,有助于學生更牢固地掌握基礎知識,了解知識間的相互聯(lián)系,做到舉一反三、觸類旁通.本節(jié)課在給學生訓練基礎題后給出的變式題,由淺入深,逐步遞進,使學生思維得到循序漸進的提高.因此,教師要在高三復習教學中充分發(fā)揮變式的作用,只有讓學生長期在“變中思、思中探、探中悟”,才能加深學生對問題的理解,增強思維的靈活性,進而在高考中立于不敗之地.

總之,在高三復習中,我們應多關注學生,多傾聽學生,多給學生展示的機會,而不是教師像作報告似的,滔滔不絕的向學生展示精彩題型,精彩方法,而是應達到“放馬于原野之中,牽其于晚霞之時”的瀟灑境界,讓學生把課堂變的精彩,變的高效.