北京北方長(zhǎng)城光電儀器有限公司 徐衛(wèi)星

處于靜態(tài)中帶電平面導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算

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為了能夠了解導(dǎo)體內(nèi)電荷的分布概況,利用麥克斯韋方程組中電場(chǎng)積分式,令其電場(chǎng)強(qiáng)度與閉環(huán)回路(或封閉空間)的積分和為零的理念,建立坐標(biāo)模型和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算求得分布概率結(jié)果所采用的一種方法。

麥克斯韋方程積分式；導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零；電荷分布概率

引言

上一篇論文闡述了對(duì)線性帶電導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算方法,本次繼續(xù)論述關(guān)于平面導(dǎo)體電荷分布概率的計(jì)算。( 上一篇論文發(fā)表在《電子技術(shù)與軟件工程》2016年16期第138頁(yè) 國(guó)際刊號(hào)ISSN 2095-5650)。

1. 為了更好地描述這種方法先闡述幾個(gè)基本概念

1.1 平面分割：為了便于計(jì)算將被計(jì)算導(dǎo)體平面按照其平面特性分割成數(shù)塊小面積。一般是按照平面的軸向方向與徑向方向分割成數(shù)塊邊長(zhǎng)為2△的正方形。注意：1)分割后平面必須不漏任何空余處。2)分割的面積盡量一致，否則影響計(jì)算精確度，特別是對(duì)電荷密度進(jìn)行相對(duì)比較的塊。3)測(cè)試方向兩端必須存有連續(xù)中心電荷點(diǎn),否則無(wú)意義。)

1.2 平面軸向方向：在進(jìn)行平面分割時(shí)一般將平面較長(zhǎng)的方向定為平面軸向方向。

1.3 平面徑向方向：在進(jìn)行平面分割時(shí)一般將平面較短的方向定為平面徑向方向。

1.4 中心電荷點(diǎn)：在分割的小面積中選取某一點(diǎn),此點(diǎn)可代表此分割面積的電荷集合量及其電荷集合量產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)測(cè)試點(diǎn)的作用力,一般選在平面分割的中心范圍內(nèi)。

1.5 中心電荷線(帶)：在分割帶狀平面時(shí)往往分割成數(shù)條軸向的條形帶，在帶中取一條線，此線可代表此分割帶的電荷集合量及其電荷集合量產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)測(cè)試點(diǎn)的作用力，一般選在分割帶的中間軸向直線。

1.6 測(cè)試方向：在導(dǎo)體平面中沿著徑向和軸向方向上,在測(cè)試點(diǎn)處,設(shè)定的電場(chǎng)力的方向。

1.7 測(cè)試點(diǎn)：在導(dǎo)體平面中沿著徑向和軸向方向上,在中心電荷點(diǎn)之間設(shè)定測(cè)試電荷的測(cè)量點(diǎn)。(q為盡小影響環(huán)境電場(chǎng)的電荷量)

2. 證明論述

2.1 計(jì)算方法：將任意平面的帶電導(dǎo)體分劃出n多個(gè)小面積(一般為邊長(zhǎng)是2△的正方形)將n多個(gè)凡是存有電荷小面積中的電荷量，集中在選定的各自小面積中的中心電荷點(diǎn)處。n多個(gè)中心點(diǎn)電荷的相互電場(chǎng)力可利用庫(kù)侖定律建立函數(shù)關(guān)系。再經(jīng)過(guò)合力分解方法轉(zhuǎn)化為兩條互相垂直的線性上，令其處處為零。解出各小面積的電荷量，從而求得各自密度值。

2.2 計(jì)算步驟：在任意平面的帶電導(dǎo)體中任意劃分二條間距2△的平行線，在二平行線中取n多個(gè)邊長(zhǎng)2△的正方形，直至導(dǎo)體的邊緣。將二平行線以同樣方法上下外延m多個(gè)平行線，直至導(dǎo)體的邊緣。并取得n×m個(gè)邊長(zhǎng)2△的正方形。在含有導(dǎo)體的小正方形中心確定中心電荷點(diǎn)。（因?qū)w往往處于不規(guī)則形狀，會(huì)有小正方形中沒(méi)有導(dǎo)體存在）利用庫(kù)侖定律建立出每個(gè)中心電荷點(diǎn)相互作用力的關(guān)系，并分解為水平分量（或垂直）和垂直分量（或水平）。建立測(cè)試點(diǎn)使其各自為零。推算出各個(gè)電荷量，便求得電荷分布概率。即：

（i=1、2、3…n,j=1、2、3…m)，σij為電荷密度，Qij為中心電荷點(diǎn)電量，S為導(dǎo)體面積。

2.3 可行性論證：在平面導(dǎo)體中任取一個(gè)分割小面積，此處為某一小正方形。如圖1當(dāng)求得測(cè)試點(diǎn)q1、q2、q3、q4都為零時(shí)q0測(cè)試點(diǎn)處必為零。其它小正方形具有同理。而當(dāng)n→∞，時(shí)，因?qū)w是連續(xù)、電荷分布是連續(xù)，所以任意點(diǎn)處在平衡狀態(tài)下是無(wú)電場(chǎng)力和電荷移動(dòng)的存在，任何閉環(huán)的積分必為零。

圖1

3. 舉例

為了更好地理解這種方法，下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單而有特性的例子。

3.1 正方形帶電導(dǎo)體

3.1.1 環(huán)境與條件：一張邊長(zhǎng)為b極薄的正方形帶有Qs電量的導(dǎo)體，因不考慮厚度的影響。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下計(jì)算電荷分布概率。

3.1.2 闡述：將正方形帶有電荷導(dǎo)體分割為n=3，m=3，邊長(zhǎng)為2△的9個(gè)小正方形。如圖2，其中Q11、Q12、Q13、Q21、Q22、Q23、Q31、Q32、Q33為中心電荷點(diǎn)，q11、q12、q21、q22、q31、q32為水平測(cè)試點(diǎn)，q011、q012、q021、q022、q031、q032為垂直測(cè)試點(diǎn)。

其水平分量為：

以此類推。

3.1.3 圖例

圖2

3.1.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.1.5 運(yùn)算結(jié)果：約去△、K、q，解得：

3.2 異形平面帶電體之一：

3.2.1 環(huán)境與條件：一張邊長(zhǎng)為b極薄的十字形帶有Qs電量的導(dǎo)體，因不考慮厚度的影響。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下計(jì)算電荷分布概率。

3.2.2 闡述：如圖3，將其分割為5個(gè)邊長(zhǎng)2△正方形，建立中心電荷點(diǎn)Q12、Q21、Q22、Q23、Q32;q21、q22為水平方向測(cè)試點(diǎn)q021、q022為垂直方向測(cè)試點(diǎn)。

3.2.3 圖例

圖3

3.2.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.2.5 運(yùn)算結(jié)果：約去△、K、q，解得：

異形平面帶電體之二：

3.2.6 環(huán)境與條件：一張如圖4極薄的異形帶有Qs電量的導(dǎo)體，因不考慮厚度的影響。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下計(jì)算電荷分布概率。

3.2.7 闡述：如圖4,將其分割為6個(gè)邊長(zhǎng)2△正方形,建立中心電荷點(diǎn)Q11、Q12、Q22、Q23、Q31、Q32；q11、q31、q22為水平方向測(cè)試點(diǎn)q021、q022為垂直方向測(cè)試點(diǎn)。

3.2.8 圖例：

圖4

3.2.9 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.2.10 運(yùn)算結(jié)果：約去△、K、q

3.3 平行帶狀帶電體：

3.3.1 環(huán)境與條件：有一條寬度為b長(zhǎng)度很長(zhǎng)的帶狀帶電平面導(dǎo)體，因不考慮厚度的影響。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下,為了便于計(jì)算在帶狀導(dǎo)體軸向上只取2△長(zhǎng)度中存儲(chǔ)電荷量Qs0來(lái)加以計(jì)算，進(jìn)行密度的相對(duì)比較。

3.3.2 闡述：如圖5，從上一篇論文中可知非常大平面導(dǎo)體其中部電荷密度值是一樣的，因此可以認(rèn)為在很長(zhǎng)的帶狀導(dǎo)體中軸向方向每條平行線上電荷密度是一致的。而徑向長(zhǎng)度只有b長(zhǎng)，所以徑向電荷會(huì)有很大的變化。在此將帶狀帶電平面導(dǎo)體將其分割為n=5條寬2△帶狀，建立5個(gè)中心電荷點(diǎn)Q1、Q2、Q3、Q4、Q5；4個(gè)測(cè)試點(diǎn)q1、q2、q3、q4，l為測(cè)試點(diǎn)到中心電荷帶的距離，A為測(cè)試點(diǎn)到電荷點(diǎn)dQi的距離，σQi為中心電荷帶的密度。

由于軸向電荷密度一致，將中心電荷點(diǎn)改用中心電荷帶，采用積分的方法將帶上各個(gè)電荷點(diǎn)對(duì)測(cè)試點(diǎn)的電場(chǎng)徑向作用力進(jìn)行積分并令其各個(gè)為靜態(tài)可求得電荷分布概率。

對(duì)于中心電荷帶上每個(gè)電荷點(diǎn)σQi2△dt(i=1、2、3、4、5)對(duì)測(cè)試點(diǎn)q的徑向作用力為：

3.3.3 圖例：

圖5

3.3.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

3.4 平面圓導(dǎo)體：

3.4.1 環(huán)境與條件：有一個(gè)直徑為b的圓形平面帶電導(dǎo)體，因不考慮厚度的影響。在沒(méi)有任何電磁場(chǎng)干擾的理想情況下,加以計(jì)算進(jìn)行密度的相對(duì)比較.

3.4.2 闡述：在平面圖形完全對(duì)稱圓形帶電導(dǎo)體,是一種特殊的形狀，具有特殊性能，并且經(jīng)常應(yīng)用到,所以在此重點(diǎn)闡述。

在平面圓靜態(tài)導(dǎo)體中任取一點(diǎn)A,在過(guò)A點(diǎn)直徑的切線方向上電場(chǎng)力為零時(shí),必然存在這么一種情況，有無(wú)數(shù)個(gè)相對(duì)于此直徑的對(duì)稱點(diǎn),其對(duì)稱點(diǎn)中的電荷密度必相等。在此條件下必然存在切線方向的靜態(tài)平衡。而當(dāng)某一趨近于此直徑的對(duì)稱點(diǎn)如B、C兩點(diǎn)若Qb點(diǎn)要等于Qc則σb必等于σc。(導(dǎo)體為連續(xù)的電荷分布也是連續(xù)的)由于對(duì)稱的圓形，直徑與B、C兩點(diǎn)可存而在于360度任何地方,所以同半徑的圓環(huán)中的電荷密度是相等。也同時(shí)證明此直徑的所有對(duì)稱點(diǎn)的電荷密度也是分別相等的。而直徑方向可以通過(guò)計(jì)算求得環(huán)形電荷密度的變化梯度。由于環(huán)狀分布直徑上分布概率應(yīng)是以中心為對(duì)稱的，這與線性導(dǎo)體電荷分布相吻合。

為了簡(jiǎn)單化將直徑為b的圓分割為3個(gè)環(huán)形區(qū)域分別為σ1、σ2、σ3每環(huán)寬度2△。為了符合分割的3個(gè)注意事項(xiàng)做了如圖的分割，由于對(duì)稱只畫出一個(gè)象限。Q1、Q2、Q3、Q4、Q5、Q6為直徑上中心電荷點(diǎn)，位于每環(huán)與直徑相交線的中間。Q4’、Q4”、Q5’、Q01、Q02為各分割面積中心電荷點(diǎn)。Q4’、Q4”、Q5’位于Q5、Q6半徑環(huán)與Q4、Q5切線交叉點(diǎn)。Q01、Q02位于其分割面積中離一個(gè)直角邊的距離是另一個(gè)直角邊長(zhǎng)的1/3。q1、q2、q3、q4、q5為直徑線的測(cè)試點(diǎn),方向?yàn)閺较?，位于直徑方向上中心電荷點(diǎn)之中間。

設(shè)定：GH=PQ=2×1.67；b=12△通過(guò)設(shè)定和圖形可計(jì)算出各種參數(shù)，將其代入數(shù)學(xué)模型。

3.4.3 圖例：

圖6

3.4.4 根據(jù)圖示和運(yùn)算方法建立數(shù)學(xué)模型：

4. 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)上面的探索和計(jì)算可以看出電荷即不是均勻分布在導(dǎo)體內(nèi)，也不是停留在導(dǎo)體的表面，而是由中心向外逐漸遞增，而且分割的越細(xì)計(jì)算的越精準(zhǔn)遞增的值就越大。

[1]迪派克(Dipak,L.S)唯迪斯(Valdis,V.L)著;沈遠(yuǎn)茂等譯.應(yīng)用電磁學(xué)與電磁兼容[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009.

[2]汪泉弟,張淮清.電磁場(chǎng)[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

[3]張洪欣,沈遠(yuǎn)茂,韓宇南.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013.

[4]付云起,張光甫,莫錦軍,吳微微.天線理論與工程[M].北京:電子工業(yè)出版社,2015.

徐衛(wèi)星（1957-），男，浙江金華人，學(xué)士學(xué)位，高級(jí)工程師， 主要研究方向：電氣測(cè)量。