江蘇省江陰市青陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 譚 穎 范祥東

把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性

江蘇省江陰市青陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 譚 穎 范祥東

美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō)過(guò)：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此教學(xué)?！笨磥?lái)，課堂教學(xué)是否有效，不是指教師有沒(méi)有教完內(nèi)容或教得好不好，而是指學(xué)生有沒(méi)有學(xué)到什么或?qū)W得好不好，其有效性是建立在課堂的教學(xué)起點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)之上。本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，就如何把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性談幾點(diǎn)體會(huì)。

一、以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，提高課堂教學(xué)的有效性

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，許多內(nèi)容能在現(xiàn)實(shí)生活中找到相應(yīng)的原型。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知起點(diǎn)不僅限于邏輯關(guān)系上的知識(shí)基礎(chǔ)，而且還包含現(xiàn)實(shí)生活中積累的經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，這一點(diǎn)越來(lái)越成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。教學(xué)的最大浪費(fèi)就是無(wú)視學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，只有在找準(zhǔn)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)起點(diǎn)的基礎(chǔ)上，才能研究如何把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。因此在新課標(biāo)指引下的數(shù)學(xué)課堂，教師要全面了解學(xué)生，認(rèn)識(shí)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。

案例1：在教學(xué)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”時(shí)，創(chuàng)設(shè)了如下情境：

在印度有一個(gè)古老的傳說(shuō)：舍罕王打算獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋（國(guó)際象棋棋盤(pán)共有8行8列，構(gòu)成64個(gè)格子）的發(fā)明人——宰相西薩·班·達(dá)依爾。國(guó)王問(wèn)他想要什么，他對(duì)國(guó)王說(shuō)：“陛下，請(qǐng)您在這張棋盤(pán)的第1個(gè)小格里，賞給我1粒麥子，在第2個(gè)小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請(qǐng)您把這樣擺滿(mǎn)棋盤(pán)上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國(guó)王覺(jué)得這要求太容易滿(mǎn)足了，就欣然同意了他的要求。你認(rèn)為國(guó)王有能力滿(mǎn)足發(fā)明者的上述要求嗎？

師：每個(gè)格子里的麥粒數(shù)是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍，共有64個(gè)格子，每個(gè)格子里的麥粒數(shù)是多少？其麥?？倲?shù)是多少？

師：要求麥?？倲?shù)實(shí)際上就是求上述數(shù)列的和，那么這是一個(gè)什么數(shù)列呢？

生3：相鄰兩項(xiàng)相差2倍，利用消項(xiàng)求和。

生4：不能消項(xiàng)求和，因?yàn)檫@個(gè)等式不具有加減消項(xiàng)的特征。

師：回答得很好，請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胂耄ㄉ?dòng)，合作探究），究竟能不能求和？若能求和，那又要怎樣來(lái)求和？

生5：利用2倍的關(guān)系，在等式的兩邊同時(shí)乘以2，得到一個(gè)新的等式，然后再兩式相減，具體為：現(xiàn)將①的兩邊同時(shí)乘以2，得到，最后由②-①得

此時(shí)學(xué)生的情緒也異常激動(dòng)和興奮，怎么也想不到竟有如此大的數(shù)目，同學(xué)們都十分驚訝和好奇。

上述案例的導(dǎo)入是從生活實(shí)際出發(fā)，放手讓學(xué)生交流、討論、探究，使學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程，弄清數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性和熱情。這樣的教學(xué)無(wú)疑把數(shù)學(xué)知識(shí)與解決實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系起來(lái)，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)，與新課程倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)源于生活”相吻合，實(shí)現(xiàn)了課堂的有效性。

二、以學(xué)生的原有知識(shí)為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，提高課堂教學(xué)的有效性

抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn)。數(shù)學(xué)是邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，它體現(xiàn)的是一種循序漸進(jìn)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著承前啟后的作用，因此，在課堂教學(xué)中，要善于抓住知識(shí)的連接點(diǎn)，讓學(xué)生的思維順暢無(wú)阻，感覺(jué)一切都是水到渠成。

案例2：“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)中，設(shè)計(jì)與構(gòu)想如下：

針對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)，筆者就“終邊定義法”的教材安排，選擇“摩天輪情境”引入，然后從已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的“銳角三角函數(shù)的定義”出發(fā)，筆者給出教學(xué)設(shè)計(jì)與構(gòu)想：

1.給出勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪情境，提出描述坐在座艙里的一個(gè)人的位置的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系——以摩天輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。借助于坐標(biāo)系研究，并回顧任意角的意義，得到兩種可能的描述形式：與把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提出在坐標(biāo)系下探究與的關(guān)系的問(wèn)題。

2.直接就任意角的情形探究是困難的，學(xué)生很難獨(dú)立完成探究過(guò)程，需要教師啟發(fā)引導(dǎo)：首先，遇到新問(wèn)題怎么辦？如果問(wèn)題比較復(fù)雜，該從哪里切入呢？——讓學(xué)生萌發(fā)從“簡(jiǎn)單開(kāi)始”的念頭；其次，對(duì)任意角而言，簡(jiǎn)單情形是什么呢？——銳角，即當(dāng)為銳角時(shí)的情形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生形成先研究“為銳角情形”的方案，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：先研究為銳角時(shí)，與的關(guān)系；再次，你打算怎樣研究呢？——具體要探究當(dāng)為銳角時(shí)，是什么，有何意義？引導(dǎo)學(xué)生自己畫(huà)圖（如圖）。

此時(shí)直角三角形OMP自然“浮出水面”，原有的知識(shí)——初中直角三角形中的銳角三角函數(shù)也隨之而來(lái)，對(duì)新知識(shí)的探究自然回到已有的基礎(chǔ)起點(diǎn)。

三、以教材中蘊(yùn)含的思想方法為起點(diǎn)，提高課堂教學(xué)的有效性

所謂數(shù)學(xué)思想方法，筆者的理解是：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是一個(gè)抽象與具體并存的統(tǒng)一體，當(dāng)我們偏重于提煉其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)性作用時(shí)，稱(chēng)之為數(shù)學(xué)思想（具有一定甚至是高度的抽象性）；當(dāng)我們側(cè)重于它的數(shù)學(xué)操作性作用（如推理、解題和建模等）時(shí)，可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)方法（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化）。如同語(yǔ)言是思維的載體，數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)思想的具體化，是數(shù)學(xué)思想的外殼和物質(zhì)形式。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，無(wú)論怎樣的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，都需要數(shù)學(xué)方法，當(dāng)然也就離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)。而數(shù)學(xué)思想需要長(zhǎng)期對(duì)大量的數(shù)學(xué)實(shí)踐中的做法、規(guī)律等進(jìn)行思考、總結(jié)和提煉，才能獲得升華。但數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有明確提出，只是通過(guò)一些文字?jǐn)⑹龌蝾}目以及解題過(guò)程等來(lái)蘊(yùn)含，這就需要教師有意識(shí)地研究教材，深入挖掘其中所蘊(yùn)含的思想方法，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

先觀察圖1，這是某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管，最上面一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)呢？

看起來(lái)極為普通和常見(jiàn)的計(jì)算鋼管總根數(shù)的問(wèn)題，卻通過(guò)文字?jǐn)⑹龊鸵环鶊D的變化，向我們展示了幾個(gè)值得玩味的數(shù)學(xué)的東西：

首先，“假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管”這一句話(huà)向我們展示了等差數(shù)列求和的具體方法——倒序相加，其優(yōu)點(diǎn)是不用考慮的奇偶性而直接相加。

其次，“這樣，每層的鋼管數(shù)量都等于4+9，共有6層，從而原來(lái)一堆鋼管的總數(shù)為，則向我們展示了等差數(shù)列求和公式——梯形面積公式其優(yōu)點(diǎn)是形象、熟悉，因而也就容易記憶。

總之，在課堂教學(xué)中，對(duì)于教學(xué)起點(diǎn)的把握絕非是靜止的，它應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的、富有變化的，教師在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中要善于分析。當(dāng)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于教材的邏輯起點(diǎn)時(shí)，我們有必要對(duì)課堂教學(xué)的起點(diǎn)進(jìn)行適度的調(diào)整。那種置學(xué)生的需求、困惑和情緒于不顧的課堂不是真正有效的課堂，那種多數(shù)學(xué)生只是當(dāng)了一回“觀眾”的課堂，更不是真正有效的課堂。教師要善于在教學(xué)實(shí)踐中，根據(jù)鮮活的學(xué)情做出現(xiàn)場(chǎng)處理，根據(jù)學(xué)生課堂上表現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)做隨機(jī)調(diào)控，必須充分預(yù)設(shè)學(xué)生課堂的生成情況，并把學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)生成的學(xué)習(xí)資源轉(zhuǎn)化為引出新知的背景，讓學(xué)生在觀察、思考、分析、討論中，最終獲取新知。