江蘇省南京市臨江高級中學(xué) 李仲勝

創(chuàng)設(shè)各類問題情境，組織學(xué)生自主探究
——“基本不等式”教學(xué)案例

江蘇省南京市臨江高級中學(xué) 李仲勝

當(dāng)代教育家蘇霍姆林斯基指出：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需求，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在人的精神世界中，這種需要特別強烈?！币虼耍谡n堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，設(shè)計探索性與開放性的問題，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會，使他們積極主動地參與學(xué)習(xí)的全過程。課堂教學(xué)關(guān)鍵是“問題情境”的設(shè)置，通過“問題情境”的創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究知識的欲望。本文中，筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)《必修5》中“基本不等式”這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中如何以問題為中心組織學(xué)生自主探究。

一、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用性問題情境，開展探究性活動

在講授“基本不等式”這節(jié)課時，如果按照教材內(nèi)容直接給出定理，學(xué)生會覺得很枯燥。我在教學(xué)中精心設(shè)計了如下問題：

問題1：我們教室前面的花壇是邊長為13米的正方形（如圖1）?，F(xiàn)想種植四種不同顏色的花，請問：能不能設(shè)計出面積相等且長和寬分別為6米和7米的小長方形方塊？如果能，設(shè)計出圖案（如圖2）。若把正方形的邊長改為（a+b）米，小長方形的長和寬分別為a米和b米，情況又會怎么樣呢？

問題2：求正數(shù)a 和b的等差中項和等比中項，并猜想它們的大小關(guān)系。能不能根據(jù)問題1來驗證？

問題1的提出使學(xué)生產(chǎn)生了興趣，同學(xué)之間馬上議論起來。他們覺得問題有趣、親切，于是大家都躍躍欲試設(shè)計圖案。經(jīng)過分析，動手操作，互相交流，互相探討，最后設(shè)計出如下美麗圖案（如圖3、圖4、圖5），有些同學(xué)還涂上了各種顏色。

從設(shè)計的圖形中可直觀得出：S正方形≥4S小長方形（當(dāng)a=b時，取等號），即：，對于問題（2），要求正數(shù)a和b的等差中項和等比中項，同學(xué)們認(rèn)為太容易了，但要比較它們的大小時，同學(xué)就有點疑惑了，難以確定。老師給足時間，讓學(xué)生仔細(xì)猜想，認(rèn)真討論，并在關(guān)鍵時引導(dǎo)他們用特殊值來思考或觀察問題（1）的結(jié)果，找出問題之間的關(guān)系。于是同學(xué)們都積極參與，經(jīng)過思索、比較、驗證，終于猜想出（a＞0，b＞0），這樣學(xué)生在愉快、有趣的活動中不知不覺探究到了數(shù)學(xué)定理，這時再給出基本不等式的定理已是水到渠成了。

二、創(chuàng)設(shè)開放性問題情境，開展探究性活動

證法1：用不等式基本性質(zhì)：由（a-b）2≥0 得：（a+b）2-4ab≥0，∵a＞0，b＞0，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）。

顯然，④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，④中的等號成立。

證法3：用問題（1）中的正方形面積大于或等于四個長方形面積之和，得：（a+b）2≥4ab，從而可得：

通過創(chuàng)設(shè)開放性問題3并進(jìn)行一題多解，可使學(xué)生拓寬視野，并從幾何圖形中（如圖6）直觀認(rèn)識基本不等式定理，深刻理解基本不等式定理的意義，尤其能通過圖形理解定理中的等號條件。在課堂上多提出一些開放性問題，多開展這樣的探究性活動，既能使學(xué)生理解和掌握課本的知識，又能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力的目的。

三、創(chuàng)設(shè)變換引申問題情境，開展探究性活動

在課堂例題的教學(xué)中，如果就題講題，不思變換，學(xué)生往往印象不深，只知其一，不知其二，不能理解其中奧妙，若能通過一些讓學(xué)生感到意外的變例加以刺激，使他們無意之中看到了問題的嚴(yán)重性，往往可以引起學(xué)生的極大興趣和高度注意，從而留下較為深刻的印象。

以上幾個方面的變化有一定程度的關(guān)系，但不盡相同。給學(xué)生以神秘感，教師正好利用這點來集中學(xué)生的注意力。通過例題講解和引申問題的探究，使學(xué)生真正理解和掌握基本不等式定理的“一正、二定、三相等”，并且知道怎樣利用基本不等式定理求最值，問題4、5看似簡單、容易，但設(shè)有陷阱，能使粗心大意、考慮不周全的學(xué)生受到挫折。同時，問題難度是遞進(jìn)式的、有層次的、由淺入深、由易到難的，這樣能使學(xué)生緊緊圍繞問題，逐步深入開展探究，從而使學(xué)生的探究能力得到提高，得到升華。

四、創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑性問題情境，開展探究性活動

在課堂練習(xí)中制造明顯錯誤，通過就錯論錯，錯中見正，不僅能有效地幫助學(xué)生辨別是非，解決疑惑，走出困境，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與求知欲，積極思考，踴躍發(fā)言，令課堂氣氛活躍，課堂教學(xué)的效果也就更好了?？聪旅胬}：

∴所以x+y的最小值為9 。

出示問題6后，學(xué)生個個睜大眼睛，上下來回看了一遍又一遍，如此答案，在學(xué)生看來似是而非，但錯在何處卻又迷惑不解，課堂氣氛隨即活躍起來。大家都覺得兩種解法都對，但又不知道答案為什么會不一樣，不能辯明事理。教師若一語道破了玄機(jī)，則不僅會使課堂教學(xué)失去生機(jī)，更重要的是難以達(dá)到預(yù)期效果。教師不著急，讓學(xué)生自由探究，終于有一雙慧眼發(fā)現(xiàn)了問題（6）的甲方法中，兩次用到基本不等式定理時，等號成立的條件不一致，故甲方法是錯的。通過對問題6的探究，使學(xué)生更全面、更深刻地理解定理，同時也提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

五、創(chuàng)設(shè)趣味性問題情境，開展探究性活動

在課堂上或課后，老師可適當(dāng)對定理、例題等知識進(jìn)行引申推廣，創(chuàng)設(shè)趣味性問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提高學(xué)生的求知欲，使學(xué)生在思考與探索問題的過程中掌握知識。

我在這節(jié)課的課外練習(xí)中補充了下面的問題：

問題7：

觀察上述各小題的結(jié)論，探究其規(guī)律，你們能得出什么結(jié)論？

讓同學(xué)們經(jīng)過觀察、思考與探索，自己得出結(jié)論：“若干個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)?！?/p>

總之，通過對定理、例題等知識的引申推廣，創(chuàng)設(shè)一些趣味性問題讓同學(xué)們思考與探索，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比等解題的能力，提高數(shù)學(xué)思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神，讓同學(xué)們通過自己的努力得出一些性質(zhì)、公式，可讓他們有一定的成就感，使他們的學(xué)習(xí)興趣更濃，學(xué)習(xí)熱情更高漲。

由此可見，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要精心設(shè)計有針對性、啟發(fā)性和趣味性的問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究性活動的氛圍，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到最佳效果。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展探究性活動，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心和克服困難的意志，有利于加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，掌握解決問題的方法和策略，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識和合作精神。