劉麗蘭， 任博林， 朱國棟， 楊倩倩

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048)

考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)電磁式吸振器的動力學(xué)特性研究

劉麗蘭， 任博林， 朱國棟， 楊倩倩

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048)

將非線性阻尼引入到雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動能量捕獲器中，提出了考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器。建立了考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器和主系統(tǒng)的力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型。分析了考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器隨非線性阻尼系數(shù)的分岔情況。數(shù)值仿真研究發(fā)現(xiàn)，特別是在頻率共振區(qū)域，考慮附加非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器比線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器對主系統(tǒng)減振更有優(yōu)勢。并進(jìn)一步獲得了主系統(tǒng)及考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器振動能量隨非線性阻尼參數(shù)的變化曲線，發(fā)現(xiàn)了非線性阻尼對主系統(tǒng)減振及吸振器發(fā)電的影響規(guī)律。上述研究工作可為雙穩(wěn)態(tài)吸振器的研究提供參考。

非線性阻尼； 雙穩(wěn)態(tài)吸振器； 共振； 振動能量； 平均功率

隨著精密加工技術(shù)的進(jìn)步，采用有效的隔振或者吸振技術(shù)隔離來自基礎(chǔ)的振動和設(shè)備自身的擾動日益重要。吸振或隔振技術(shù)一般分為主動隔振和被動隔振，主動隔振的吸振器在多頻激勵下具有較好的減振效果，但是要消耗能源，成本較高[1-2]。被動隔振是一種不需要外部能源的減震控制技術(shù)，一般是在結(jié)構(gòu)的某個部位附加一個子系統(tǒng)，因其構(gòu)造簡單、造價低、易于維護(hù)且無需外部能源支持等優(yōu)點(diǎn)而引起了廣泛的關(guān)注。近年來一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)，非線性吸振器具有振動抑制頻帶寬、附加質(zhì)量小、可實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞等諸多特點(diǎn)，將其應(yīng)用到系統(tǒng)的減振和隔振中[3-6]。

通常系統(tǒng)的減振和隔振多采用線性彈簧、線性阻尼質(zhì)量系統(tǒng)，也取得了較好的減振效果[7-9]。隨著非線性動力學(xué)理論研究的深入，有研究表明振動控制系統(tǒng)采用非線性阻尼對減振更加明顯，如Milovanovic等[10]分別研究了一個單自由度隔振系統(tǒng)附加線性黏性阻尼及立方剛度和附加立方阻尼及線性剛度的減振性能，通過分析系統(tǒng)的位移及相對位移響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在共振區(qū)域時立方阻尼系統(tǒng)比線性黏性阻尼減振明顯。文獻(xiàn)[11-12]介紹了附加立方非線性阻尼的單自由度隔振系統(tǒng)，并理論證明了立方非線性阻尼在共振頻率區(qū)域可以減少力的傳遞率，同時保證在其他頻率區(qū)域內(nèi)幾乎不受影響。但是這些研究都只局限于單個自由度系統(tǒng)。Jing[13]研究了主系統(tǒng)附加線性剛度和非線性阻尼的吸振器，發(fā)現(xiàn)了吸振器在主系統(tǒng)振動控制方面有很多優(yōu)點(diǎn)。另外，將吸振器吸收的能量轉(zhuǎn)化為電能成為了新的研究熱點(diǎn)[14-15]。

本文將非線性阻尼引入到雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動能量捕獲器中，在對主系統(tǒng)減振的同時，將吸收的振動能轉(zhuǎn)化為有用的電能，提出了考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動吸振器，并建立了主系統(tǒng)附加非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器的力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型。借助數(shù)值仿真分析，研究了頻率共振區(qū)考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器隨非線性阻尼系數(shù)的分岔情況。特別是在頻率共振區(qū)域，考慮附加非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器比線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器對主系統(tǒng)減振更有優(yōu)勢。

1 吸振器及主系統(tǒng)力學(xué)模型

本文提出的考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動吸振器及主系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器及主系統(tǒng)力學(xué)模型

在該模型中，假設(shè)輸出電路只有一個負(fù)載電阻R，i是電回路中的電流，ψ是機(jī)電耦合系數(shù)。簡諧激勵P施加給主質(zhì)量后，主質(zhì)量發(fā)生振動，進(jìn)而吸振器吸收主質(zhì)量的振動能量，吸振器發(fā)生振動，并與線圈發(fā)生相對運(yùn)動X(τ)切割磁感線產(chǎn)生電動勢，在能量收集電路中產(chǎn)生了電流i(τ)。

系統(tǒng)控制方程如下：

(1)

(2)

(3)

將式(3)代入式(1)，再對式(1)和式(2)進(jìn)行無量綱化得到：

(4)

y″+γ2y′+y-μfγ1x′-λx′3+μf2x-μf2βx3=pcos (ωt)

(5)

圖2 雙穩(wěn)態(tài)勢能函數(shù)示意圖

2 振動能量及輸出功率

減振效果主要表現(xiàn)在主系統(tǒng)的振動幅值及振動能量的大小，發(fā)電效果可用輸出功率的大小來衡量。

非線性雙穩(wěn)態(tài)吸振器振動的能量包含兩部分：動能和彈性勢能，即：

(6)

同理，主系統(tǒng)振動的能量為

(7)

為了便于對比，在此采用平均振動能量表示，即：

(8)

(9)

(10)

(11)

從式(10)可以看出，吸振器的能量取決于主系統(tǒng)和吸振器的位移和速度，由式(11)可知主系統(tǒng)的能量直接取決于主系統(tǒng)的位移和速度響應(yīng)。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，定義吸振器發(fā)電系統(tǒng)的平均輸出功率為

(12)

式中：Pav為平均輸出功率;T1和T2分別為初始和終止時刻;Δt為計(jì)算步長;n為T1和T2時間段內(nèi)步長數(shù)。

某擬建橋梁總長約1520m，橫跨既有高速公路，處在2km曲線段上，和既有高速公路成45°的夾角。根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)計(jì)采用組合梁的形式直接跨越既有高速公路。組合梁的長度與高度分別為82m、9m，相鄰節(jié)段之間的距離為10m，中心距為6.7m，采用不設(shè)豎桿的結(jié)構(gòu)形式，整體呈三角形，上、下弦桿分別采用鋼筋混凝土與預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土；上、下弦桿的截面形式分別為矩形與槽型。道床板采用40～45cm厚鋼筋砼板，梁頂、底部寬度分別為9.4m、7.8m，梁端板總厚為90～95cm，梁體立面如圖1所示?，F(xiàn)圍繞本工程實(shí)際情況，對其組合梁施工關(guān)鍵技術(shù)做如下深入分析。

由式(3)可知：

(13)

將式(13)代入式(12)中，得到

(14)

將ε2=ψ2/R代入式(14)，并令ω2=1得無量綱的吸振器平均輸出功率：

(15)

由式(15)可知，當(dāng)ε2為常數(shù)時，發(fā)電系統(tǒng)的平均輸出功率與吸振器速度的平方成正比。

3 非線性阻尼與線性阻尼對主系統(tǒng)減振效果的比較

取參數(shù)f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p

=0.15，ε=0.2，對無量綱式(4)和式(5)仿真計(jì)算，當(dāng)吸振器分別采用線性阻尼和非線性阻尼時，共振下主系統(tǒng)的幅值——頻率響應(yīng)曲線和振動能量——頻率響應(yīng)曲線分別如圖3(a)和(b)所示。

(a) 主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線

(b) 主系統(tǒng)能量隨激勵頻率的響應(yīng)曲線

Fig.3 Comparison of the effects of nonlinear damping and linear damping on the vibration reduction of the main system

從圖3(a)主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線可以看出，在共振區(qū)，雙穩(wěn)態(tài)吸振器采用非線性阻尼比線性阻尼時主系統(tǒng)振幅更小。圖3(b)的振動能量曲線也反映出同樣的變化趨勢。

為了直觀查看吸振器和主系統(tǒng)的振動情況，圖4給出了共振下(ω=1.0)，分別考慮非線性阻尼和線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器影響下主系統(tǒng)的時域圖、相圖及振動能量響應(yīng)。

(a) 時域圖

(b) 相圖

(c) 能量響應(yīng)

4 非線性阻尼系數(shù)對雙穩(wěn)態(tài)吸振器的動力學(xué)特性影響

根據(jù)第3節(jié)的分析，主系統(tǒng)在共振區(qū)時，非線性阻尼對減振具有優(yōu)越性，為了了解考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器的動力學(xué)特效，對其進(jìn)行了以非線性阻尼系數(shù)為參數(shù)的分岔分析，分岔圖如圖5所示。取激振頻率ω=1.0，其余參數(shù)為f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p=0.15，ε=0.2。

從圖5看出，在非線性阻尼系數(shù)處于[0-0.17]時，吸振器做大幅混沌或者周期運(yùn)動，隨著的增大，吸振器開始在平衡點(diǎn)1或-1處做小幅運(yùn)動，偶爾出現(xiàn)平衡點(diǎn)間的跨越，大多數(shù)情況下在平衡點(diǎn)做小幅周期運(yùn)動。

圖5 以λ為分岔參數(shù)的分岔圖

為了直觀查看雙穩(wěn)態(tài)吸振器的動力學(xué)響應(yīng)，圖6和圖7分別以λ=0.1和λ=0.9為例，給出了雙穩(wěn)態(tài)吸振器的時域圖和相圖。

(a) 時域圖

(b) 相圖

(a) 時域圖

(b) 相圖

從圖6中可知，雙穩(wěn)態(tài)吸振器做大幅周期運(yùn)動。

從圖7可以看出，當(dāng)增大λ=0.9時，雙穩(wěn)態(tài)吸振器在上平衡點(diǎn)做小幅周期運(yùn)動。

5 非線性阻尼系數(shù)對減振和發(fā)電的影響

為了提高雙穩(wěn)態(tài)吸振器的工作效率，對非線性阻尼系數(shù)進(jìn)行仿真分析。取參數(shù)f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p=0.15，ε=0.2，不同的非線性阻尼系數(shù)λ對應(yīng)的主系統(tǒng)平均振動能量E2av及吸振器平均輸出功率Pav隨激勵頻率ω的變化曲線,如圖8所示。

從圖8可知系統(tǒng)在頻率共振區(qū)時，隨著非線性阻尼系數(shù)λ的增大，主系統(tǒng)的平均振動能量E2av逐漸減小(圖8(a))，吸振器的平均輸出功率Pav也逐漸變小(圖8(b))。在非共振區(qū)時，非線性阻尼的大小對主系統(tǒng)和吸振器都幾乎沒有影響。

(a) 主系統(tǒng)平均振動能量

(b) 吸振器平均輸出功率

圖8 不同非線性阻尼系數(shù)下主系統(tǒng)平均能量和吸振器平均輸出功率的變化曲線

Fig.8 The variation curves of average energy of the main system and average output power under different nonlinear damping coefficient

為了獲取在頻率共振區(qū)時非線性阻尼系數(shù)對主系統(tǒng)減振和吸振器振動能量的影響規(guī)律，現(xiàn)取共振激勵頻率ω=1.0，其余參數(shù)同上，主系統(tǒng)和吸振器的平均振動能量隨非線性阻尼系數(shù)的變化曲線，如圖9所示。

圖9 頻率共振區(qū)域下主系統(tǒng)和吸振器的平均能量隨變化曲線

Fig.9 The average energy of the main system and the vibration absorber with the change of in the frequency resonance region

從圖9中可以看出，在非線性阻尼系數(shù)較小時，主系統(tǒng)和吸振器的平均能量都較大，隨著λ的增大，主系統(tǒng)平均能量E2av逐漸較小后保持平穩(wěn)，吸振器E1av先減小后緩慢增大，在λ=0.39出現(xiàn)了拐點(diǎn)。

為了直觀觀察非線性阻尼對主系統(tǒng)和吸振器的能量影響，分別取λ=0.3和λ=1.8，對應(yīng)的主系統(tǒng)及吸振器的振動能量隨時間t的響應(yīng)變化，如圖10所示。

(a) 主系統(tǒng)振動能量響應(yīng)

(b) 吸振器振動能量響應(yīng)

從圖10(a)可以看出λ=0.3時，主系統(tǒng)振動能量E2值位于0.4左右，當(dāng)λ=1.8時，E2值減小到0.2左右，減振效果更佳。圖10(b)給出了λ=0.3與λ=1.8時吸振器的振動能量對比，可以看出，后者的吸振器振動能量E2的最大值及最小值均大于前者，振動能量有所增大。

另外，為了進(jìn)一步了解雙穩(wěn)態(tài)電磁吸振器在實(shí)現(xiàn)吸振同時的發(fā)電情況，圖11給出為了吸振器平均輸出功率隨非線性阻尼系數(shù)變化的關(guān)系曲線。

從圖11可以看出，吸振器的平均輸出功率隨著非線性阻尼系數(shù)的增加逐漸遞減，也進(jìn)一步驗(yàn)證了圖8(b)的變化趨勢。雖然圖9中吸振器的振動能量隨著非線性阻尼系數(shù)的增加出現(xiàn)了下降然后上升的趨勢，但結(jié)合吸振器振動能量表達(dá)式(6)和平均輸出功率表達(dá)式(14)可以看出，振動能量是位移和速度的函數(shù)，而平均輸出功率僅僅是速度的函數(shù)。由于非線性阻尼的增大，吸振器振動的速度在減小。

圖11 吸振器平均輸出功率隨非線性阻尼系數(shù)變化的關(guān)系曲線

Fig.11 Relation curve of the average output power of vibration absorber and nonlinear damping

6 結(jié) 論

本文將非線性阻尼引入到雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動能量捕獲器中，提出了考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器，建立了主系統(tǒng)及吸振器系統(tǒng)力學(xué)和數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)值仿真對比了考慮非線性阻尼的吸振器和考慮線性阻尼的吸振器對主系統(tǒng)減振效果，研究了頻率共振時非線性雙穩(wěn)態(tài)吸振器隨非線性阻尼的分岔特性，分析了非線性阻尼對主系統(tǒng)和吸振器的振動能量及平均輸出功率的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 考慮非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器對主系統(tǒng)減振效果好于考慮線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)吸振器；

(2) 不同的非線性阻尼系數(shù)對應(yīng)的雙穩(wěn)態(tài)吸振器的分岔效果不同，在較小時，吸振器會出現(xiàn)大幅運(yùn)動，隨著增大，吸振器在某一平衡點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動。

(3) 隨非線性阻尼的增大，吸振器對主系統(tǒng)減振效果越明顯，吸振器的振動能量先減小后緩慢增大，吸振器的平均輸出功率呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，也反映出雖然提高了減振效果，但也對吸振器產(chǎn)出的副產(chǎn)品——電量產(chǎn)生了影響。

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Dynamiccharacteristicsofabi-stablestateelectromagneticvibrationabsorberconsideringnonlineardamping

LIU Lilan, REN Bolin, ZHU Guodong, YANG Qianqian

(School of Mechanical and Instrumental Engineering， Xi’an University of Technology， Xi’an 710048， Shaanxi， China)

Here, nonlinear damping was introduced into a bi-stable state electromagnetic vibration energy harvester. The harvester with nonlinear damping was proposed to be a nonlinear bi-stable state vibration absorber. The mechanical model for the absorber and the main system was established. The bifurcation diagram for the absorber vibration energy versus nonlinear damping parameter was obtained. Numerical simulation showed that the vibration reduction effect of the main system using a bi-stable state vibration absorber with nonlinear damping is superior to that with linear damping, especially, in the resonance region; furthermore, the relation curve between the vibration energy of the main system using the bi-stable state vibration absorber and nonlinear damping parameter is obtained; the influence laws of nonlinear damping on the vibration energy of the main system and its average output power are obtained. The results provided a reference for studying bi-stable state vibration absorbers.

nonlinear damping; bi-stable state vibration absorber; resonance; vibration energy; average power

國家自然科學(xué)基金(11572243)

2016-10-12 修改稿收到日期：2016-12-11

劉麗蘭 女，副教授，碩士生導(dǎo)師，1979年12月生

O322

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.015