王東剛

【分類號】O174

2015年山東省高考數學理科導數試題的第一問考查了函數極值點個數的問題。研究發(fā)現考試院所提供的參考答案不易想到，對于學生來說在有限的時間內解決這類問題是有困難的。筆者根據這類問題的特點嘗試使用了分離參數的方法，得到了比較簡捷的解法?，F將對這類問題的解法和思考與讀者進行分享，不當之處請批評指正。

對這類問題，我們可以先給出下述解題思路：

由此可見，“函數的零點、極值點及方程根的問題”是可以互相轉化的。此種解題思路主要用到了“函數與方程”、“化歸轉化”、“數形結合”等重要的數學思想方法。其解決問題比較簡單和易操作的原因在于通過分離參數實現了研究水平的動直線與固定的曲線之間的位置關系問題，非常直觀形象。其難點為研究固定函數 的圖象，很多時候函數 并不是基本初等函數，而是由基本初等函數復合或者加減乘除得到的新函數，因此研究圖象需要通過導數研究其單調性、極值、最值、上下確界等性質。

【例題】（2015年山東理）設函數 ，其中 ，討論函數 極值點的個數.

【解法一】因為 ，所以 ，

令 ，易見 不是函數 的極值點，

所以可得 ，

令 ，則 ，

所以 在 上遞減，在 和 上遞增，

所以當 時， ，

且當 時， ，當 時， ，

當 時， ，

所以 在定義域內的圖象（如圖1）大致為：

所以當 時函數 僅有一個極值點，

當 時函數 無極值點，

當 時函數 有兩個極值點.

在這里特別需要強調的是導函數 的零點并不一定是函數 的極值點，而是導函數 的異號零點才對應函數 的極值點。因此方程 =0的根及函數 與函數 圖象公共點，必須對應導函數 的異號零點。

其實分離參數的實質是分離參變量和主變量，等式左側可以是關于參數的一個函數表達式，右側是關于主變量的一個函數表達式。如果主變量的一個函數表達式不易研究，可以適當地變換形式，以達到容易研究右側函數的性質和便于畫出其圖像的目的。上述解法一分離參數后，右側的函數研究起來較為復雜，還涉及到函數的漸進線及趨向，對高中生來講還是有一定難度的?；诖艘?，我們可以給出以下解法：

【解法二】因為 ，

所以 ，

令 ，

則 ，令 ，

所以 在定義域 上的圖象（如圖2）大致為：

所以當 即 時函數 僅有一個極值點，

當 即 時函數 無極值點，

還易得：當 時函數 無極值點，

當 即 時函數 有兩個極值點.

筆者還要說明的是分離參數并不是適用解決所有函數零點和方程根的問題，例如2009年山東的一道填空題：（2009年山東）若函數 （ 且 ）有兩個零點，則實數 的取值范圍是 .

本題如果分離參數 顯然是無法實現的，而此時可以轉化成方程 （ 且 ）有兩個不同的實根，再轉化成函數 （ 且 ）與 的圖象有兩個不同的公共點，不難得到 .所以我們研究問題時要因題而異，辯證施治。

有的讀者可能會提出“研究非水平動態(tài)直線（定點直線系或者斜率不為0的平行直線系）與固定曲線的位置關系是否可行”，筆者仍然提出“因題而異，辯證施治”的觀點。舉一個簡單例子加以說明，例如：“若函數 與 的圖象在區(qū)間 內有公共點，求實數 的取值范圍。”如果畫函數圖像時不精確，很容易把 的最小值誤認為是圖3所示所對應的 的值，其實是圖4所示所對應的才是 的最小值，圖5所示對應 的最大值。由此可以看出，導致出錯的原因是當函數的單調性確定后，容易忽略函數的凹凸性，即使注意到了函數的凹凸性，有些函數也難以研究凹凸的程度。

而如果令 ，通過分離參數得到 就比較簡單了，易得

所以筆者提出以下觀點，在解決函數的零點、極值點及方程根的關系問題時優(yōu)先考慮分離參數的方法，如果分離參數不容易實現或者分離后依然不好解決問題，再考慮以下解題思路：（1）研究函數圖象本身與 軸的位置關系問題；（2）研究非水平的動態(tài)直線（定點直線系或者斜率不為0的平行直線系）與固定（動態(tài)）函數曲線的位置關系問題；（3）研究動態(tài)曲線與固定（動態(tài)）曲線的位置關系問題?？偠灾?，我們不能固化地研究某一類問題，而要因題而異，辯證施治，采取簡捷有效的解策略。