吳朝陽

這期我們要談一個(gè)看似簡單的幾何問題。這個(gè)問題是我多年以前偶然遇到的，它不僅答案非常有趣，而且尋找答案的過程非常有啟發(fā)意義。當(dāng)時(shí)我遇到的問題是：

如何將1個(gè)正三角形分割成4塊，使其恰好能拼合成1個(gè)正方形。

這個(gè)問題的解答如圖1所示。

答案很巧妙，是不是？很多人可能百思不得其解，見到答案后不禁會問：我們要如何思考才能夠找到這個(gè)答案？這是相當(dāng)睿智的一問。下面，我們就來還原解決這個(gè)問題的思考過程。

要想解決一個(gè)問題，關(guān)鍵在于如何找到這個(gè)問題的關(guān)鍵點(diǎn)。找到問題的關(guān)鍵所在，思維才不會漫無目標(biāo)，思緒才能走上解決問題的正確軌道。對于上述問題，其關(guān)鍵點(diǎn)看起來有兩個(gè)：一個(gè)是拼合前后面積不變，另一個(gè)是拼合的結(jié)果是一個(gè)正方形。因此，解決問題就應(yīng)該從這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)出發(fā)。

把正三角形分割成四塊多邊形，我們顯然可以假設(shè)分割的“第一刀”經(jīng)過正三角形的兩條邊。因此，我們不妨假設(shè)它就像是上列左圖中的DF。正方形有4個(gè)直角，對于正三角形所切成的4塊圖形，我們需要它們不僅能夠拼出4個(gè)直角，而且其他的角可以被拼成180°或360°。所以，我們略加思索后即可以假設(shè)，另外的分割線就像是上列左圖中的EH和GI。我們現(xiàn)在當(dāng)然不能排除H和I為同一點(diǎn)的可能性，但無論如何，我們的思緒已經(jīng)在正確的軌道上了。

有了DF及EH、GI，我們就切割出了十多個(gè)不同的角。如何從中拼出直角，將是一個(gè)頭緒紛繁的問題。最直截了當(dāng)?shù)南敕?，是假定EH和G，都與DF垂直。這樣，4個(gè)直角就都有了，而問題也就簡單化了。因此我們先接受這個(gè)假設(shè)，然后繼續(xù)思考，以觀后效。

在上述垂直假設(shè)之下，∠AEH與∠BEH互為補(bǔ)角，要將4塊圖形拼成正方形，最可能的方案是將四邊形EHFB繞E點(diǎn)向上旋轉(zhuǎn)180。拼接，以便將這對補(bǔ)角拼成180。的平角。因此，我們考慮將E點(diǎn)取為AB的中點(diǎn)。同理，我們將D點(diǎn)取為AC的中點(diǎn)。

現(xiàn)在，將EHFB繞E點(diǎn)向上旋轉(zhuǎn)180°，將DIGC繞D點(diǎn)向上旋轉(zhuǎn)180°，我們就拼出了上列右圖的下面3塊。于是，只要直角三角形IFG的斜邊正好等于FB與GC的長度和，也即等于底邊長的一半，則我們就至少拼成了1個(gè)長方形。而如果我們選擇F、G點(diǎn)，使得EH恰好等于正方形邊長的一半，則根據(jù)面積關(guān)系，所拼成的圖形一定是1個(gè)正方形！至此我們發(fā)現(xiàn)，以上分析和思考中的所有假設(shè)都是成立的，余下的問題是如何確定F、G、H、I四個(gè)點(diǎn)，而這一點(diǎn)兒都不困難。

根據(jù)以上討論，我們可以用如下5個(gè)步驟作出正三角形的分割：

（1）以AB的中點(diǎn)E為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作圓。

（2）從AC的中點(diǎn)D作圓的切線，將位于正三角形內(nèi)的切點(diǎn)記為H。

（3）沿長DH，將它與底邊BC的交點(diǎn)記為F。

（4）找出底邊BC上的點(diǎn)G，使得FG等于底邊邊長的一半。

（5）由點(diǎn)G作DF的垂線，交DF于點(diǎn)I。

事實(shí)上，以上步驟只是分割正三角形的一種辦法。根據(jù)長度關(guān)系，我們不難推得DF的長度恰好等于正方形的邊長。因此，以D點(diǎn)為圓心，以結(jié)果正方形的邊長為半徑作圓，則其與底邊BC的交點(diǎn)即為F。以此為基礎(chǔ)參考以上分析，可以得出另一種確定G、H、I諸點(diǎn)的步驟。由此可見，分割正三角形的步驟不止1種。

有意思的是，上述分割方法的5個(gè)步驟并沒有利用正三角形的3個(gè)角都等于60°這個(gè)特性，因此這種分割法對很多一般三角形都是可行的。也就是說，很多三角形可以用以上方法分割成4塊，然后拼合成1個(gè)正方形。顯然，只要這種分割方法能夠在三角形內(nèi)得到H、I兩點(diǎn)，則它就一定是可行的。下面，我們再舉個(gè)例子。

例：將5邊邊長分別為6、8、10的三角形分割成恰好可以拼成正方形的4塊。

以上化三角形為正方形的問題，看似相當(dāng)困難，但如果我們能夠找到正確的入手點(diǎn)，則問題可以迎刃而解。上述分析、解決問題的過程，為我們展示了一個(gè)如何發(fā)現(xiàn)解決問題關(guān)鍵點(diǎn)的典型案例。細(xì)細(xì)品味，我們也許能夠從中得到很大的啟發(fā)，并因此提高自己解決問題的能力。

作為本文的結(jié)束，我們提出幾個(gè)與本文相關(guān)的問題供讀者思考：什么樣的三角形不可以用上述步驟分割成恰好能拼合成正方形的4塊？如果1個(gè)三角形不能用上述步驟化為正方形，是不是可以用別的方法做到？如果4塊不能，一般的三角形需要切割成幾塊才能拼成正方形？endprint