劉書君 楊 婷 唐明春 王 品 李勇明

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基于貝葉斯準則的隨機共振算法研究

劉書君*楊 婷 唐明春 王 品 李勇明

(重慶大學通信工程學院 重慶 400044)

該文針對二元假設檢驗問題，首先在貝葉斯準則的基礎上，分析了最小化貝葉斯代價所對應的最優(yōu)噪聲，將貝葉斯代價的最小化問題等價為虛警概率和/或檢測概率的最優(yōu)化。其次，在保證一定虛警概率和檢測概率的前提下，建立起能同時改善檢測概率和虛警概率的模型。然后分別給出當檢測概率一定時虛警概率最小和虛警概率一定時檢測概率最大這兩種極限情況下對應的最優(yōu)加性噪聲，并對其進行線性凸組合以獲得模型所需的最優(yōu)加性噪聲，進一步分析并證明了該模型能夠成立的充分條件。再次，獲得先驗概率已知和未知兩種情況下最小化貝葉斯代價時所對應的加性噪聲，且當先驗知識發(fā)生改變時，該算法只需調(diào)整加性噪聲中一個可變參數(shù)即可獲得相應的最優(yōu)貝葉斯代價。最后，結(jié)合具體的檢測問題，通過仿真驗證了所提算法的有效性。

信號處理；貝葉斯準則；噪聲增強模型；加性噪聲；假設檢驗

1 引言

噪聲無處不在，理解和掌握噪聲的分布和性能是一個非常重要的問題。在經(jīng)典信號處理中，噪聲被視為不需要的信號或是對系統(tǒng)的干擾[1]。例如，系統(tǒng)中噪聲越多信道容量越小，使得檢測性能和估計精度都有所下降。然而，噪聲對系統(tǒng)的影響并不都是負面的。自20世紀80年代文獻[2]首次提出隨機共振的概念以來，噪聲的積極作用被用于物理、化學、磁學、和電子學等許多領域的研究中。文獻[11]將隨機共振應用到雙基地逆合成孔徑雷達成像系統(tǒng)中，有效地提高了輸出信噪比，使得雷達接收機的動態(tài)范圍擴大，對目標精細特征探測和識別的能力提升。

隨機共振在信號處理中所發(fā)揮的重要作用也逐漸引起人們的廣泛關注，其本質(zhì)是指噪聲在一定條件下，通過非線性系統(tǒng)對信號和系統(tǒng)起到積極的增強作用，也被稱為噪聲增強現(xiàn)象[3]。近幾年的研究表明，在信號檢測理論中也存在隨機共振現(xiàn)象。給一些系統(tǒng)的輸入加入噪聲或增加系統(tǒng)的背景噪聲水平，可明顯提高系統(tǒng)輸出的性能。如文獻[13]引入匹配噪聲，通過匹配非線性系統(tǒng)、噪聲和信號三者的關系，從而改變能量檢測統(tǒng)計量的分布，有效地檢測信號的存在性。在假設檢測問題的隨機共振理論中，通常采用信噪比[11]、互信息量[12]、檢測概率[13,15]的提高，或者平均錯誤率[14]的降低作為衡量性能改善的標準，并根據(jù)奈曼皮爾遜準則[15]、貝葉斯準則[16]以及極大極小準則[17]來分析如何通過加入噪聲來提高非最優(yōu)檢測器的性能。如文獻[15]分析了在虛警概率一定的情況下，給觀察值加入獨立噪聲使得檢測概率最大化的問題，并推導出對應的最優(yōu)噪聲概率密度函數(shù)及檢測概率能否提高的充分條件；文獻[16]研究了在嚴格貝葉斯準則框架下噪聲增強多元復合假設檢驗問題，其中貝葉斯準則和極大極小準則[17]下的隨機共振優(yōu)化問題可看作嚴格貝葉斯框架下的特例。

在以貝葉斯代價最小準則添加噪聲的相關文獻中，研究者通常把貝葉斯代價作為一個整體來估計其最優(yōu)化時對應的加性噪聲，雖然可以優(yōu)化貝葉斯代價，但并不能保證檢測器的虛警概率和檢測概率同時得到改善，甚至可能使得其中之一的性能降低。同時，當先驗概率或者條件代價發(fā)生變化時，需要重新估計新參數(shù)下最優(yōu)貝葉斯代價所需的加性噪聲，增加了計算的復雜度。本文在研究貝葉斯準則下如何添加加性噪聲的問題時，將貝葉斯代價的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為虛警概率和檢測概率的優(yōu)化問題。因此，本文在保證一定虛警概率和檢測概率的前提下，首先提出了一種基于貝葉斯準則的隨機共振模型，并利用當檢測概率一定時，虛警概率取最小值時對應的最優(yōu)加性噪聲，以及虛警概率一定時，最大化檢測概率所對應的加性噪聲這兩種極限情況下的最優(yōu)噪聲的線性組合獲得最小化貝葉斯代價的合適的噪聲。然后，詳細推導了這兩種極限情況所對應的最優(yōu)噪聲。其次，給出了該模型能夠成立的加性噪聲以及充分條件。再次，給出了先驗概率已知和未知時，分別對應的最小化貝葉斯代價的加性噪聲。本文算法的優(yōu)勢在于當改變先驗概率和條件代價時，只需調(diào)節(jié)最優(yōu)加性噪聲模型中的參數(shù)值即可獲得最小化貝葉斯代價對應的加性噪聲，在保證性能的同時簡化了運算。最后，結(jié)合具體的檢測問題對不同情況下對應的最優(yōu)噪聲進行求解，并通過仿真分析了在不同情況下添加噪聲時對檢測性能的影響，證明了本文算法的有效性和正確性。

2 最優(yōu)貝葉斯代價的隨機共振算法

2.1 基于貝葉斯準則的隨機共振

考慮如式(1)中的二元假設檢驗問題：

(2)

(4)

(6)

其中，

(8)

(10)

2.2 最優(yōu)貝葉斯代價的隨機共振模型

(13)

3 綜合性能改善下的最優(yōu)加性噪聲

為了獲得如式(13)所示情況(3)對應的加性噪聲概率密度函數(shù)，以下分別對兩種極限情況下的性能改善程度與相應最優(yōu)噪聲概率密度函數(shù)進行詳細分析，并給出可同時改善虛警概率和檢測概率的充分條件。

(16)

由文獻[15]可知，極限情況(2)下的最優(yōu)噪聲概率密度函數(shù)和加噪后的檢測概率及其改善程度表示為

(19)

在獲得如式(17)和式(20)所示的兩種極限情況下對應的最優(yōu)噪聲后，將其代入式(13)，并根據(jù)具體應用需求選擇適合的參數(shù)即可獲得能同時改善檢測概率與虛警概率的適合的加性噪聲概率密度函數(shù)。此外，當或時，可直接得出式(13)模型所定義的情況(3)中適合的加性噪聲可為概率密度函數(shù)為的直流信號。當時，由和確定；當時，由和確定。

3.3 檢測概率和虛警概率同時改善的充分條件

以上4個條件中任意一個成立時，至少存在一個概率密度函數(shù)為的噪聲使得和同時成立。

4 貝葉斯準則下最優(yōu)加性噪聲

將式(13)代入式(10)得

(23)

式(22)與式(23)中最小值的求解分別對應了極限情況(1)和情況(2)的求解。在文獻[17]中，求的最小化的問題是一個非線性的過程，對應最優(yōu)加性噪聲設為，因為為已知常量則最終是作用在或者上的。在和的情況下，通過對和的求解可知，,分別為令,取得最優(yōu)值的加性噪聲，則有,。因此，在此情況下，本文算法優(yōu)于文獻[17]中的結(jié)果。

5 實驗與仿真分析

本節(jié)將針對不同的背景噪聲分布下已知常量的檢測問題，結(jié)合仿真分析對前文的結(jié)論進行驗證?？紤]如下二元假設檢驗例子。

(25)

5.1 高斯分布背景噪聲

(27)

(29)

圖1與的關系示意圖

5.2 瑞利分布背景噪聲

(32)

圖3 不同瑞利背景噪聲方差下的檢測性能

6 結(jié)論

本文基于貝葉斯準則，分析了在貝葉斯準則下，加入噪聲使得貝葉斯代價最小化問題等價于使得虛警概率和/或檢測概率最優(yōu)化的問題。本文在保證和的情況下，提出了同時使得虛警概率降低和檢測概率提高的加性噪聲增強檢測模型。然后給出了3種不同情況下對應的最優(yōu)加性噪聲及模型能夠成立的充分條件。再次，給出了先驗概率已知和未知時，分別對應的最小化貝葉斯代價的加性噪聲，并且在改變先驗概率和條件代價時，只需調(diào)節(jié)最優(yōu)噪聲模型中的參數(shù)值即可獲得相應的加性噪聲，在保證性能的同時簡化了運算。檢測實例和仿真結(jié)果分析均證明了本文算法的有效性。

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Study on Stochastic Resonance Algorithm Based on Bayes Criterion

LIU Shujun YANG Ting TANG Mingchun WANG Pin LI Yongming

(,,400044,)

The optimal noise that minimizes Bayes risk for a binary hypothesis testing problem is analyzed firstly. As a result, the minimization of Bayes risk can be equivalent as the optimization of the detection probabilityand/or false alarm probability. Secondly, a noise enhanced model, which can increaseand decreasesimultaneously, is established under the premise of maintaining predefinedand. Then the optimal additional noise of this model is obtained by a convex combination of two optimal noises of two limit cases, which are the minimization ofwith maintaining the predefinedand the maximization ofwith maintaining the predefined, respectively. Furthermore, the sufficient conditions for this model are given. What’s more, the additive noise that minimizes the Bayes risk is determined when the prior probabilities are known or not, and the corresponding additive noise can be obtained by recalculating a parameter only if the prior information changes. Finally, the availability of algorithm is proved through the simulation combined with a specific detection example.

Signal processing; Bayes criterion; Noise enhanced model; Additive noise; Hypothesis testing

TN911.7

A

1009-5896(2017)02-0293-08

10.11999/JEIT160361

2016-04-14；改回日期：2016-10-18；

2016-12-20

劉書君 liusj@cqu.edu.cn

重慶市基礎與前沿研究(cstc2016jcyjA0134, cstc2016 jcyjA0043)，國家自然科學基金(61501072, 61301224, 41404027, 61108086, 61471072)，重慶市社會事業(yè)與民生保障專項(cstc2016 shmszx40002)，中央高校重點基金(CDJZR155507)

The Basic and Advanced Research Project in Chongqing (cstc2016jcyjA0134, cstc2016jcyjA0043), The National Natural Science Foundation of China (61501072, 61301224, 41404027, 61108086, 61471072), The Chongqing Social Undertaking and People,s Livelihood Guarantee Science and Technology Innovation Special Foundation (cstc2016shmszx40002), The Fundamental Research Funds for the Central Universities (CDJZR155507)

劉書君： 女，1981年生，講師，研究方向為統(tǒng)計信號分析、圖像處理.

楊 婷： 女，1990年生，博士生，研究方向為噪聲增強信號處理、統(tǒng)計信號分析.

唐明春： 男，1981年生，研究員，研究方向為天線與電波傳播、微波毫米波理論與技術.

王 品： 女，1979年生，副教授，研究方向為智能信息處理、光學信息處理.

李勇明： 男，1976年生，副教授，研究方向為智能計算與模式識別、數(shù)據(jù)挖掘.