林慕凡

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展至今，已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)以千年的發(fā)展歷史，這其中蘊含了無數(shù)數(shù)學賢者的智慧結(jié)晶與心血。其中，數(shù)論當中有一個非常重要的分支理論，叫做二元二次型理論，它與初級數(shù)論當中所涉及的許多基礎性定理都是息息相關的。本文，通過數(shù)篇原始級別文獻資料，全面化的分析了關于數(shù)論中二元二次型理論的起源與早期發(fā)展的一系列演化過程。隨著時間不斷的推移，筆者相信通過探究數(shù)論中二元二次型的演化歷史，將會對未來其余的數(shù)學有關學科帶來十分積極的影響，從而推動整個中國乃至于全世界的數(shù)學文明進程。

【關鍵詞】數(shù)論;二元二次型理論;起源;早期發(fā)展演化

從理論意義上來看，關于數(shù)論的概述，事實上即是指有關數(shù)字的所有規(guī)律性變化，尤其是整數(shù)性的規(guī)律。因為整數(shù)是最能貼近生活，也是最為淺顯易懂的數(shù)字化對象。據(jù)悉，早在古希臘時期人們就已經(jīng)把整數(shù)寓意為完美的和諧范本，而且把它當做是宇宙萬物的基本守恒原則。古希臘智者通過數(shù)論，構(gòu)建了人們常談論到的“萬物皆數(shù)”的哲思理念世界?？梢院敛豢鋸埖恼f，關于數(shù)論當中整數(shù)性質(zhì)的研究已然成為了所欲偶數(shù)學名家智力考據(jù)、宇宙探索的基礎性目標。

一、關于二元二次型理論的萌芽狀態(tài)

從一般情況來看，運用乘法以及加法是正整數(shù)最為基礎性的兩種運算方式，它可以將一個正整數(shù)拆分成多個正整數(shù)相乘、相加得出的“積”與“和”來解決數(shù)學問題。用乘法來解決問題相對比較容易，因為算數(shù)的基礎定理可以從理論上進行合理的闡述，而運用加法來表示問題則相對比較復雜。因此緣故，社會大眾在探索每一個具體數(shù)字的時候都是用較為特殊的一些數(shù)字進行相加來表示需要的數(shù)論，例如立方數(shù)、平方數(shù)以及圖形數(shù)等等。而關于二元二次型理論的萌芽，最早應該從古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯身上，他是最早研究關于勾股數(shù)的數(shù)學家之一，不過這種類型的數(shù)論實際上到了古希臘數(shù)學的晚期方得以系統(tǒng)化成型，才能真正的用來解決對應的數(shù)學問題。對此，將從如下幾個方面來具體闡述關于二元二次理論的起源于早期發(fā)展狀態(tài)。

（一）關于丟番圖《算術》中的型數(shù)

遠在古希臘時期，丟番圖就寫出了他的偉大數(shù)學巨作《算數(shù)》，這部巨著解決了當時非常多的數(shù)論以及代數(shù)方程的問題，使得他被人們譽為“代數(shù)之父”。關于《算數(shù)》這本巨著，它與同樣驚為天人的歐幾里得的《幾何原本》交相輝映，兩人共同把代數(shù)以及數(shù)論的發(fā)展推動到巔峰的位置?！端銛?shù)》這本著作全篇共有13卷，它對畢達哥拉斯學派提出的“x2+y2=z2”不定方程式展開了更深層次的研究與分析。其中，在第18卷有一個問題是這樣的，“將已知的一個平方數(shù)，分解成為兩個平方數(shù)之和”;以及“要得出兩個平方數(shù)，致使它們之間的總和恰好為立方數(shù)”等等，丟番圖還有眾多諸如此類的解題思路，他無疑是那個時代的數(shù)論解題大師。

而事實上，丟番圖也并不是圣人，他自身有著某些較為固執(zhí)的特點，甚至從總體來看丟番圖缺乏實質(zhì)性的概括定論。而且，丟番圖還不承認無理數(shù)解以及負數(shù)解這兩種數(shù)學理念，過多的側(cè)重于于立方數(shù)、平方數(shù)的研究。不過，他把型數(shù)當成是一種獨立的數(shù)論個體來進行研究，細致到把一個數(shù)分解成“ x2+y2”的問題進行研究，而恰好這個定理就是最為簡單、直接的二元二次型理論。由此可以推斷，二元二次型的萌芽正是丟番圖所提出的。歷史推進到1621年，《算數(shù)》這本著作推出了拉丁文一本，這本巨著直接成為了法國著名數(shù)學家費馬研究的起點。

（二）關于費馬提出的“微積分”理論

法國著名數(shù)學家費馬對于“x2+ ny2”的研究，促使他成為了數(shù)學研究歷史上首先提出“微積分”理論研究的先行者，費馬奠定了幾何解析的基礎，并且在后期一同與帕斯卡構(gòu)建了“概率論”。盡管如此，費馬其人更為令人驚嘆的是他在數(shù)論方面的非凡才能。毫不夸張的說，他對于數(shù)論的間接直接引導19世紀所有數(shù)論的研究動向，亦正是由于他的成就，才導致整數(shù)論逐漸成長為一門獨立的專業(yè)化學科。不過，遺憾的是費馬終其一生都沒有發(fā)表過任何一門著作，關于他的數(shù)論理論成果幾乎都是通過他與朋友的通信以及各類讀書評注當中。費馬在一封寫給好友梅森的書信當中就曾提出，類似“4n+1”這樣的素數(shù)以及其平方數(shù)，可以直接以兩者之間的平方數(shù)之和來表示，例如：“5=22+12，52=42+32”。一直到1674年左右，費馬提出：如若b被定義為一個非完全平方的整數(shù)，那么佩爾方程式“x2+by2=1”則會有無窮無盡的解法。之后，費馬加深了“ x2+by2=c”的拓展范圍，指出此類數(shù)論方程式可以在已知b以及c時，可以存在無數(shù)的遞減法解題原則。

（三）歐拉對費馬數(shù)論工作的推動

在費馬以后，數(shù)論陷入了一段長時間的頹靡期，不過這段時間最終被著名的數(shù)學家歐拉所打破。毫無疑問，數(shù)論發(fā)展至歐拉時期，其中涉及到的許多問題在陳述的時刻都已經(jīng)逐漸顯得簡單起來，不過一旦需要領用數(shù)論的方法論進行對應的回答，則令不少的數(shù)學名家都頓感頭疼。在數(shù)論的實踐過程中，歐拉以一己之力證明了“x2+y2、x2+2y2、x2+3y2”的數(shù)學論斷，之后又在1744年進一步推動了關于“x2+27y2、x2+64y2”等一系列論斷的數(shù)學論據(jù)，他的這些成果在數(shù)學研究歷史上具有非常重要的意義。其中，法國著名數(shù)學天才提出了一段關于二元二次型理論的論斷，他通過二元二次型的等價以及約化理論，提出了關于方便數(shù)的證明：如果d=1，2，3，4，5，6，7，8，9......1320，1365，1 848（共 65 個）滿足，如若d=ab，并且其中有一個數(shù)字為唯一性的表示型“ax2+by2”，其中“ax，by=1”那么一定可以推斷出這個數(shù)是素數(shù)“p、2p 或 2k”?？傮w而言，可以看出歐拉的研究成果實際上是對費馬數(shù)學成果的一種拓展和推動，而且事實上，歐拉關于“二平方定理”方面的貢獻無疑是舉足輕重的。

二、關于二元二次理論的發(fā)展

通過早期的歐拉提出的二元二次型理論，這套理念已經(jīng)逐漸成為一類數(shù)論問題的匯總版本，只要有相關的數(shù)論問題能夠提出，它就能給與明確的解決答案與技巧，可以讓無數(shù)數(shù)學家不斷的推翻在革新，類似這種看似逐漸深入的研究方式，實際上導致二元二次理論發(fā)展的愈發(fā)雜亂無章，一直到拉格朗日和高斯兩位數(shù)學家的誕生，二元二次型理論才逐漸完成了一次質(zhì)的飛躍，因為這套理論不再拘泥于個別的二次型，它能夠適用于幾乎所有的高抽象化數(shù)論研究。

（一）拉格朗日的奠基性工作

縱觀早期所有數(shù)論研究中關于二元二次理論的應用，大部分時候都只是解決了部分問題，從現(xiàn)實意義來看，拉格朗日才是真正奠定二元二次理論的集大成者。他用自己獨特而敏銳的洞察力與創(chuàng)造力，證明了費馬提出的一系列未能證明的數(shù)論猜想。發(fā)展到1768年，拉格朗日完成的數(shù)學論文《算數(shù)問題的解》，第一次證實了關于佩爾方程提出的“x2+by2=1”，他明確的指出此方程式不僅可以得出結(jié)論，而且解題的方法可以有無數(shù)種。不過，拉格朗日的數(shù)學研究也不是毫無遺憾的，因為這篇論文一直到1773年才得以問世，同年他發(fā)表的《算數(shù)研究》推出關于二元二次型的一般性理論，力證關于素數(shù)成型的“x2+2y2、x2+3y2”等。拉格朗日其人的成就，已經(jīng)完美的超越了諸如費馬以及歐拉關于二元二次型個別問題的研究，其思維之嚴謹，有效的將無窮多個型的研究進行簡化，毫不夸張的說，拉格朗日在整個數(shù)論研究歷史上都是二元二次理論的第一人。

（二）關于高斯的創(chuàng)新化發(fā)展

隨著歷史進程的推進，雖然拉格朗日對整個數(shù)論研究歷史起到了空前的推動作用，但是若是要談及二元二次型理論的系統(tǒng)化發(fā)展，其功勞應該歸功于著名的數(shù)學家高斯。在1801年，高斯撰寫的《算數(shù)研究》一經(jīng)問世便已轟動數(shù)論學術界圈外，他在拉格朗日二元二次型規(guī)則之上，持續(xù)創(chuàng)新了眾多關于二元二次理論的專業(yè)化術語以及概念，并且將其規(guī)范化，在原有的數(shù)論基礎上推陳出新，制定了一整套完整的數(shù)論處理系統(tǒng)，并且從多個角度進行二元二次理論的內(nèi)容擴充與優(yōu)化。最終，高斯用自己對于數(shù)論中二元二次理論的研究成果，推動了整個19世紀關于數(shù)論研究的風氣，讓數(shù)論成為一個專業(yè)化，獨立性質(zhì)的數(shù)學研究對象。

三、二元二次型理論之于數(shù)學史的重要意義

總體而言，高斯關于數(shù)論中的二元二次理論的研究成果，不僅帶動了現(xiàn)代數(shù)論研究的新潮流，并且還決定了這一課題在未來的正確引導作用，二元二次型理論之于數(shù)學史的重要意義有很多，如下從幾個方面展開詳細的闡述。

（一）成為代數(shù)理論的奠基

在諸如方程式“x2+y2= n”的求解過程中，利用高斯提出的整數(shù)理論“a + bi（其中a 、b 均為整數(shù)）”就可以得出正確的解答。通過一些列的數(shù)論“研究環(huán)”，發(fā)現(xiàn)在“Z[D]（ D = b2- ac）”之中，有很多元素其實都不具有唯一性的分解屬性，在這種情況之下，便延伸出了更廣泛的“域”和“環(huán)”，高斯在這一方面的工作可以說是二次域研究領域的起源。而且，高斯許多關于二次域的算數(shù)問題都是在現(xiàn)實中一系列精確化計算過程中得出的，由此可以論斷，高斯在二次型的基礎之上實現(xiàn)了二次域的具象化計算過程，這一成果無疑是非常偉大的。

而且，從技巧層面來看，高斯關于“型”理論的應用是非常聰明的，著名的尚克斯曾經(jīng)說過：“大部分在數(shù)論當中談及型的合成都是非常困難的一件事，乃至于有很多鼎鼎大名的數(shù)學家都懼怕關于型的合成，因為這只有通過分數(shù)，乃至于更加理想化的研究形勢才能進行改善”。而后的數(shù)論研究發(fā)展，一直到戴德金才探究出更加理想化的概念，再將其引入數(shù)論當中，讓后代的數(shù)學家便于探討關于二次域等抽象化代數(shù)理論?？蒲兴鞯陆鹗歉咚苟卫碚摰睦^承者，他在前者的基礎之上記性創(chuàng)新化改造，并且促使二元二次型的相關理論成為整數(shù)形式數(shù)論的有力證明。

（二）逐漸演化成型的二元二次型理論

從高斯、尚克斯、戴德金等數(shù)學大師之后，關于二元二次新理論方面的論斷基本已經(jīng)成型，并且在人們的心中逐漸形成了一定的公信力。在此之后，越來越多的人逐漸把眼光從二元二次型理論延伸至多元二次型理論的研究，猶如西伯對三元二次型等價問題展開的研究，在至其后愛森斯坦將其成果進一步的進行推廣和深化。之后關于二元二次型的延伸名家越來越多，其中狄利克雷撰寫的數(shù)學巨著《數(shù)論講義》當中，在原有數(shù)論認知的基礎之上，他還提出了更多極具創(chuàng)新價值的結(jié)論。經(jīng)過無數(shù)的數(shù)論研究實踐，發(fā)現(xiàn)有很多的數(shù)學分支，例如“不定方程、三角和、積分學”等等，它們與數(shù)論之中都存在千絲萬縷的關聯(lián)性，進而拓展了各個數(shù)學分支之間的研發(fā)高度。與此同時，數(shù)學大師切比雪夫帶領他的學生，一同對朗格朗日的數(shù)論研究路線進行深入的挖掘，進而延伸出了“N元二次型數(shù)論理論”。二元二次理論發(fā)展至此，逐漸成為主流的抽象化數(shù)學思想，并且廣泛的進行延伸和應用。

四、結(jié)語

綜合以上文獻內(nèi)容所述，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)論中關于二元二次理論從萌芽到研究拓展，在到如今逐漸成型的體系當中，其經(jīng)過了漫長的演化過程。它集合了無數(shù)數(shù)學大師的心血與智慧，在整個數(shù)學體系當中都具有無可替代的特殊性地位。從古希臘時期的數(shù)論初期，數(shù)論便已經(jīng)是偉大的一門學問，玄妙務必的二元二次理論發(fā)展到當前階段，找已經(jīng)成為了現(xiàn)代數(shù)學的重要基石。在現(xiàn)實當中的數(shù)論應用上，它可以沖破許多陳舊的數(shù)學思想，更啟迪了諸如“代數(shù)結(jié)構(gòu)思想、抽象大師叔、線性代數(shù)”等一系列的數(shù)學理念。而且實際上，這些看似離人們非常遙遠的高深數(shù)論理念，也正在對人們的生活起到舉足輕重的影響。文末，殷切的期盼數(shù)論理念可以在未來開出更具開創(chuàng)性意義的數(shù)學分支，從而為全人類服務。

參考文獻：

[1]姚云飛.論二次型與正交變換在重積分中的某些應用[J].工科數(shù)學，2002，18（6）：90～102.

[2]胡俊美.二元二次型理論的發(fā)展演化[D].石家莊：河北師范大學，2006.

[3]任榮珍.幾個不定方程可解性問題的研究[D].西安：西安工程大學，2017.

[4]郭竹梅.對二次型圖形的探討[J].西昌學院學報（自然科學版），2011（6）：54～57.