陸紅艷

【摘 要】解題過后再反思是我們廣大數(shù)學教師都需要做的一項重要工作，也是學生所必備的一項基本學習技能。根據(jù)所選的典型例題對于知識的認知過程及“成功之中抓反思”的深刻體會，對于廣大師生養(yǎng)成良好的自覺反思的習慣是至關(guān)重要的。

【關(guān)鍵詞】成功；反思；數(shù)學；解法；應用

作為一名高中數(shù)學教師，我們每天都會解題，每天都會不斷地進行總結(jié)，但更多的時候我們都是解題成功之后就沒有拿更多的時間去思考一下這道題更多的解題思路，或是自己的這種解法是否更加簡便，能否具備通用性。下面我就借用對一道高考題談一下我自己的體會。

原題如下：

題目：（2013年高考新課標卷Ⅱ第11題）設(shè)拋物線C：y=2px（p>0）的焦點為F，點M在C上，MF=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（ ）

A.y=4x或y=8x B.y=2x或y=8x

C.y=4x或y=16x D.y=2x或y=16x

我的原來的解法是比較常規(guī)而且較繁瑣，費事較多，因此雖然題目解對了，但我并不滿意，于是我進行了認真地反思：解得不好的原因是題目中一定有個重要的隱含條件未被發(fā)掘出來，或某種規(guī)律性的東西未被揭示出來而加以利用所致。

基于這種想法，如下圖所示，我作MF⊥y軸，N為垂足，目的是將題目中的所有數(shù)據(jù)在圖形中標注出來，然后進行觀察、分析、研究，很快就可以發(fā)現(xiàn)：NM+OF=x+=FM這個重要的隱含條件。即：直角梯形NOFM的上、下兩底邊之和等于斜腰。

聯(lián)想到梯形中位線定理，便知此時中位線長為斜腰長之半。于是得到一個一般性結(jié)論：如果一個直角梯形的上、下兩底之和等于斜腰，那么以斜腰為直徑的圓與直角腰相切于直角腰的中點。

回到原題便得已知點（0，2）為ON的中點，故可得：y=y=4，x===。

從而產(chǎn)生了第一種解法，姑且把它說成解法一。

能夠在解題中有所發(fā)現(xiàn)而獲得一種較為簡單的解法，心情是我們廣大高中數(shù)學教師所不可言喻的。然而在高興之余，但我仍有一些困惑，因為題目的本質(zhì)尚未揭示出來，但我還不能用十分簡捷的語言概括出此類問題的結(jié)果，這就促使我進一步認真地在思考、再探索。

于是我把p=2時p=8時的兩個直角梯形都畫出來，如圖所示：

圖中的Q分別在相應的準線上，由于只存在圖中的兩種使得OM=MF=5D的可能性，故問題有且只有兩解。

注意到圖1中的F點恰好是圖2中的P點，而圖1中p的點又恰好是圖2中的F點，這就說明，x是某個一元二次方程的兩個根，又注意到P點也在以MF為直徑的圓上，因此，這個一元二次方程很容易求出來，因而得到

解法二：由切割線定理OPOF=（ON），即得

和x是一元二次方程 的兩個根，解

之得： 故=1或=4。故選C答案。

（注：當然，也可以將 或 代入拋物線方程而得到8p=16或2p=16，也可選出C答案。）

又在Rt△FPM中FM=5PM=4，故FP=3，則OP=+3或OP=-3，同樣利用切割線定理又可得到

解法三：（+3）=4或（-3）=4。解之取正根，可得：=1或=4。故選C答案。

在難易程度上解法二、揭發(fā)三與解法一相當，雖然在解法一的基礎(chǔ)上又補充了兩種解法，但我希望的結(jié)果仍未出現(xiàn)，只能算是得到了一些“副產(chǎn)品”。不過“副產(chǎn)品”積累多了對培養(yǎng)思維的靈活性、開闊性還是很有好處的。

前面得到FP=3。另一方面，又有FP=x-或FP=-x，可合并成FP=

-

x，于是又得到

解法四：

-

x=

-（5-

）=P-5=3 p=5-

3=2或p=5+3=8故選C答案。

至此，我忽然看見了希望的曙光，p的值很有可能就是MF與其在x軸上的射影長差或和。

我立刻由圖1，圖2加以驗證，這就是下面的另一種解法

解法五：圖1中p=QM-FP=5-3=2，

圖2中p=QM-FP=FM+FP=5+3=8.故選C答案。

將結(jié)果用三角函數(shù)的形式寫下來，就有

解法六：設(shè)MF與x正方向所成的角為θ，則p=QM-FMcosθ=MF（1-cosθ）.

圖1中cosθ=，圖2中cosθ=-.故得：p=5（1-）=2或p=5（1-）.故選C答案。

寫到這里我不禁打了自己一下腦袋，焦半徑公式“MF=”我原本是知道的呀，為什么起初會想不到用它呢？其實原因很簡單，如果知道θ或θ的三角函數(shù)和p，我肯定會用它來求MF，但我的頭腦中卻缺乏在知道MF及θ時，也可以用它來求p這樣一種意識，好在亡羊補牢，為時不晚，我終于還是用上了，更為重要的是強化了我對焦半徑公式的認識和自覺應用該公式的意識，我堅信，今后再遇見類似的題，即便題目的面貌改變了，性質(zhì)轉(zhuǎn)化了，內(nèi)容發(fā)展了，我也能隨機應變，妙用該公式。想到這些，我欣喜若狂，如獲珍寶。說到反思，這難道不就是一種深刻的反思嗎？

綜上所述，我更加清醒地認識到，我們對客觀事物的認識不是一次完成的，而是要經(jīng)歷一個曲折的、漫長的、由淺入深的認識過程。而對于學會反思，養(yǎng)成自覺反思的良好習慣，就能縮短我們所經(jīng)歷的這個認識過程，最終培養(yǎng)我們高效率的學習能力。特別是對于我們在教學一線的老師而言，這樣的良好習慣我們不僅要如魚得水地應用，更要潛移默化地傳授給學生，使他們在學習上達到事半功倍的效果，實現(xiàn)真正意義上的雙豐收。

【參考文獻】

[1]王申懷.普通高中課程標準試驗教科書《數(shù)學》選修2-1A版，人民教育出版社，2013.4