朱愛(ài)紅

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生提供什么樣的學(xué)習(xí)材料，直接決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)是否有效. 研究表明，學(xué)習(xí)材料的難易程度與學(xué)習(xí)有效性直接相關(guān)，而難易程度的判定又需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果來(lái)判斷，這就為教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累提供了可能.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)材料；難易程度；有效性

在教學(xué)中向?qū)W生提供學(xué)習(xí)材料，是教師教學(xué)最基本的任務(wù). 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生提供的學(xué)習(xí)材料最主要都是來(lái)自于教材以及教學(xué)參考書(shū)，其是在教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)加工的基礎(chǔ)上，結(jié)合階段性考試或高考的需要，進(jìn)而成為“適合學(xué)生”學(xué)習(xí)的. 這里之所以對(duì)“適合學(xué)習(xí)”加上引號(hào)，是因?yàn)檫@里判斷的“適合”其實(shí)是教師的一種主觀判斷，即使教師不認(rèn)為自己是主觀判斷，而認(rèn)為是結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)需要的判斷，這實(shí)際上依然是一種主觀性極強(qiáng)的判斷. 因?yàn)楫?dāng)離開(kāi)了學(xué)生學(xué)習(xí)的具體過(guò)程時(shí)，所有的判斷都難免帶有主觀性，因此是不是真正適合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，也就值得研究了. 本文嘗試就高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)習(xí)材料的有效提供，談?wù)劰P者的淺顯觀點(diǎn).

由于學(xué)習(xí)材料的提供是一個(gè)非常宏大的問(wèn)題，對(duì)學(xué)習(xí)材料的判斷也可以多重視角，因而試圖通過(guò)一篇文章來(lái)面面俱到地闡述，其難度是非常大的. 因此，筆者從最容易理解的角度入手，這個(gè)角度就是“學(xué)習(xí)材料閱讀的難易程度”.毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生接觸到教師的學(xué)習(xí)材料之后，會(huì)有難易的判斷，這是一種直覺(jué)性的判斷，而且這種判斷將影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，因此從這個(gè)角度研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是非常恰當(dāng)?shù)? 因?yàn)閿?shù)學(xué)盡管是一門(mén)理性學(xué)科，但對(duì)學(xué)習(xí)材料的閱讀卻是無(wú)法回避的——對(duì)學(xué)習(xí)材料閱讀原本就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式.當(dāng)然必須指明的是，這里所說(shuō)的閱讀，既有直接的文字或圖形的閱讀，也有對(duì)教師通過(guò)教學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)述的學(xué)習(xí)材料的閱讀.

學(xué)習(xí)材料的難易判斷

難易是學(xué)生面對(duì)學(xué)習(xí)材料的最直覺(jué)的判斷，是難還是易取決于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的加工程度，也決定著學(xué)生有效學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 這里通過(guò)一個(gè)例子來(lái)詳細(xì)說(shuō)明：

在“圓錐曲線”這一章的“橢圓”這一知識(shí)的教學(xué)中，常規(guī)的教學(xué)（也就是日常課，考慮到教學(xué)的實(shí)際需要，本文所選擇的事例均來(lái)自于日常的課堂觀察及反思）中，教師一般會(huì)通過(guò)教學(xué)語(yǔ)言或現(xiàn)代教學(xué)手段向?qū)W生呈現(xiàn)類似于教材上所提供的材料：你認(rèn)為油罐車的油罐其橫截面的形狀最接近于什么曲線？之所以將課本上的素材以這樣的問(wèn)題形式提出，是考慮到問(wèn)題更容易驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維，而且在學(xué)生的生活中，是有觀察油罐車的經(jīng)驗(yàn)的，其也是能夠迅速地做出“橢圓”的判斷的. 因此從材料難易的角度來(lái)看，這一問(wèn)題（當(dāng)然也是學(xué)習(xí)材料）是既簡(jiǎn)潔又簡(jiǎn)單的. 但是，這個(gè)學(xué)習(xí)材料的“易”只是表面上的易，因?yàn)榇藭r(shí)只需要學(xué)生做出猜想，而既然是猜想，就是不需要理論證實(shí)的，只需要經(jīng)驗(yàn)加工即可. 同時(shí)，這種“易”的感覺(jué)還更容易將學(xué)生帶入學(xué)習(xí)的情境，從而為有效學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

其后跟進(jìn)的學(xué)習(xí)材料則可以讓學(xué)生更清晰地產(chǎn)生難易感覺(jué)，如筆者就是用PPT呈現(xiàn)的問(wèn)題：是不是被壓扁的圓就一定是橢圓？如何根據(jù)方程去研究橢圓？這兩個(gè)問(wèn)題就不是憑經(jīng)驗(yàn)所能夠回答的了，很顯然，這個(gè)時(shí)候不同學(xué)生會(huì)有不同的感覺(jué)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的，往往能夠結(jié)合此前所學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)去猜想，如根據(jù)此前形成的“在同一平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的集合為橢圓”的理解，試圖將這一定義變成表達(dá)式，然后去進(jìn)行進(jìn)一步的推理.盡管在短時(shí)間內(nèi)這些基礎(chǔ)較好的學(xué)生無(wú)法得出最終的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，但這個(gè)方向畢竟是正確的，因而這些學(xué)生此時(shí)的學(xué)習(xí)感覺(jué)往往是“有把握的”，也就是“易”的；而另一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)心理更是這樣的：被壓扁的圓是不是橢圓不知道，但可以肯定不是圓，難道還有既不是圓又不是橢圓的圖形……也應(yīng)該有，因?yàn)閳A是可以隨便壓的……那么橢圓必須是什么樣的呢？……這段話是筆者在教學(xué)之前隨機(jī)從中等生及學(xué)困生抽出的幾個(gè)學(xué)生，進(jìn)行簡(jiǎn)單調(diào)查時(shí)的結(jié)果，這說(shuō)明他們?cè)诿鎸?duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)實(shí)際上是感覺(jué)到“難”的，因而他們基于這個(gè)問(wèn)題對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究就是困難的.

那么，探究學(xué)習(xí)材料的難易程度有什么意義呢？答案很簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@與學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程是否有效有關(guān). 近年來(lái)，在學(xué)習(xí)心理領(lǐng)域，有不少專家在研究學(xué)生學(xué)習(xí)有效性的時(shí)候，都將學(xué)習(xí)材料的難易程度當(dāng)成研究的重要對(duì)象，而且更有人指出，即使同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，即使用不同大小的字體呈現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果也會(huì)有很大的不同，這使得學(xué)習(xí)材料的難易程度從內(nèi)容層面的研究拓展到形式的研究，盡管這一研究不在本文的重點(diǎn)敘述范圍內(nèi)，但已經(jīng)能夠說(shuō)明學(xué)習(xí)材料的難易程度對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性有著明顯的影響.

學(xué)習(xí)材料的有效提供

那么，什么樣的難易程度的學(xué)習(xí)材料的提供才是有效的呢？從經(jīng)驗(yàn)的角度來(lái)看，學(xué)習(xí)材料的難易程度對(duì)有效學(xué)習(xí)與否的影響，顯然不是學(xué)習(xí)材料越難，學(xué)生學(xué)習(xí)越有效. 那是不是學(xué)習(xí)材料越容易，學(xué)生的學(xué)習(xí)就越有效呢？答案也并非那么簡(jiǎn)單.

一則學(xué)習(xí)材料的提供能夠在多大程度上促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵取決于學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的加工情況，而學(xué)習(xí)材料的難易程度，首先影響的是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)材料的態(tài)度. 研究表明，適當(dāng)難度的學(xué)習(xí)材料的提供，更加容易將學(xué)生的注意力集中到學(xué)習(xí)本身.仍然以“橢圓”的教學(xué)為例，在上面所提供的第二個(gè)學(xué)習(xí)材料（問(wèn)題）進(jìn)行分析時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)其難度對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)都不是太恰當(dāng)?shù)模虼藢W(xué)優(yōu)生盡管能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的方向，卻難以得到結(jié)果；而中等生與學(xué)困生則更是難以根據(jù)該問(wèn)題尋找到判斷的思路. 于是筆者對(duì)該材料進(jìn)行了改編（向?qū)W生提供一段文字，并輔之以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考）：第一張幻燈片：橢圓是圓錐曲線中的一個(gè)重要的曲線，一個(gè)看起來(lái)像橢圓的扁圓是不是真正的橢圓，要看其是否符合橢圓的特征.那么，你知道的橢圓的特征有哪些呢？待學(xué)生思考之后再呈現(xiàn)第二個(gè)幻燈片：橢圓在生活中有著不少奇特的現(xiàn)象！鏈接教材上“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)”（意大利西西里島上的故事）……；在學(xué)生完成這兩則學(xué)習(xí)材料的信息的輸入之后，教師再給出問(wèn)題：判斷一個(gè)曲線是不是橢圓，數(shù)學(xué)上常常有一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)方程”，這是數(shù)學(xué)上常用的以“數(shù)”描述“形”的方法，也是數(shù)形結(jié)合重要思想的體現(xiàn)，現(xiàn)在我們面臨的任務(wù)就是來(lái)探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 那么，我們的探究從哪里入手呢？endprint

在上面兩張幻燈片上學(xué)習(xí)材料的刺激之下，在新的問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生的思維從感性趨向了理性，從形轉(zhuǎn)向了數(shù).而這個(gè)時(shí)候?qū)W生大腦中關(guān)于橢圓的數(shù)學(xué)理解，就只有此前的定義，而這個(gè)定義也將成為走向標(biāo)準(zhǔn)方程的重要入口.

事實(shí)證明，在上面學(xué)習(xí)材料的刺激之下，絕大多數(shù)學(xué)生探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程更加順利，而在課后筆者進(jìn)行的調(diào)查中，三個(gè)層次的學(xué)生普遍反映：這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程感覺(jué)還是比較“順”的.順，說(shuō)明了什么？說(shuō)明了學(xué)生的思維比較順利（并不意味著探究的過(guò)程中遇不到問(wèn)題，而是指即使遇到問(wèn)題，在解決問(wèn)題方向的判斷與解決問(wèn)題的工具選擇上也不會(huì)有太多的困難，如將橢圓的定義轉(zhuǎn)換成方程，對(duì)方程進(jìn)行移項(xiàng)、平方、再平方等處理），而思維的順利其實(shí)歸根結(jié)底是由學(xué)習(xí)材料的難易程度來(lái)決定的，因?yàn)椴牧想y易適中，因此學(xué)生容易更好地占有學(xué)習(xí)材料，也因而可以對(duì)學(xué)習(xí)材料并基于學(xué)習(xí)材料進(jìn)行有效的思維加工.

很顯然，這里必須對(duì)“難易適中”做出更有效的界定. 盡管筆者并未尋找到精確的描述，但從相關(guān)的心理學(xué)研究結(jié)論，以及筆者相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，所謂的“難易適中”，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在看到相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料的時(shí)候，感覺(jué)到材料描述本身通俗易懂——材料最好由生活語(yǔ)言來(lái)描述，而在教師問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，又會(huì)發(fā)現(xiàn)材料背后有著豐富的數(shù)學(xué)含義——學(xué)生可以將生活語(yǔ)言組織的材料轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解. 有了這樣的轉(zhuǎn)換之后，學(xué)習(xí)材料應(yīng)當(dāng)還能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步的數(shù)學(xué)思考，以將學(xué)生引入數(shù)學(xué)要領(lǐng)構(gòu)建或數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的境界. 如上面的例子中，在對(duì)生活中橢圓的理解基礎(chǔ)上提出如何精確地界定橢圓的問(wèn)題，就有這樣的效果.

尋找有效的教學(xué)視角

無(wú)論是教學(xué)視角下對(duì)有效教學(xué)的探討，還是宏觀視界下對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的研究，最根本的落腳點(diǎn)就是教學(xué)視角的有效性. 而教學(xué)視角的有效性，歸根到底又要落到教學(xué)的細(xì)節(jié)上.

研究學(xué)習(xí)材料的難易程度，在筆者看來(lái)是一個(gè)非?？煽康慕虒W(xué)視角，一方面學(xué)習(xí)材料的提供原本就是教學(xué)過(guò)程中最常見(jiàn)的事情，以至于很多時(shí)候我們往往忽視對(duì)其難易程度的判斷，忽視了對(duì)其有效性的研究，而事實(shí)上學(xué)習(xí)材料是學(xué)生學(xué)習(xí)接觸得最直接的對(duì)象之一，其直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果.

筆者基于自身的教學(xué)直覺(jué)，基于在理論學(xué)習(xí)中偶遇的教育專家對(duì)學(xué)習(xí)材料的研究，做出了文中所述的一些探究，自認(rèn)為是一個(gè)比較有效的教學(xué)視角.當(dāng)然，由于能力所限，文中也會(huì)存在一些不當(dāng)之處，還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.endprint