唐浩然

1引言

眾所周知，通過對函數(shù)求導，獲得的導數(shù)可以判斷函數(shù)的眾多特性，例如在某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減，在自變量取值范圍內(nèi)函數(shù)的最大值或最小值，還有函數(shù)的極值以及凹凸性等。在進行不等式證明時，通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，在對構(gòu)造的函數(shù)求導，利用導數(shù)判別函數(shù)的上述性質(zhì)，進而實現(xiàn)不等式的證明。本文對導數(shù)與不等式之間的關(guān)系進行了論述，分別采用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法，論證了這兩種方法在不等式證明中的應用，為不等式證明提供了一種簡便的解題方法。

2函數(shù)單調(diào)性的導數(shù)判別法與不等式證明的關(guān)系

函數(shù)的單調(diào)性反映出某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的增減情況，而函數(shù)的單調(diào)性可以通過其導數(shù)進行判別，當函數(shù)的導數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)大于零時，說明函數(shù)在這一區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當導數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減。如果要證明不等式，可以從構(gòu)造函數(shù)的角度入手，對這個構(gòu)造的函數(shù)求導，利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來證明不等式成立。也就是說，不等式成立與否可以看作比大小的問題，這種大小的比較可以通過導數(shù)判斷函數(shù)在某一范圍內(nèi)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減來實現(xiàn)。具體步驟為首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即根據(jù)不等式的情況構(gòu)造合適的函數(shù)，之后對該函數(shù)求導，判斷在某一取值范圍內(nèi)的單調(diào)性。

以實例說明導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性在不等式證明的應用。即證明x在（0，+∞）范圍內(nèi)不等式-x-x2/2+ln（1+x）<0成立。首先構(gòu)造如式（1）所示的函數(shù)：

[fx=-x-x22+ln （1+x）] （1）

對式（1）求導得到式（2）所示的導數(shù)：

[fx=-1-x+1x+1] （2）

當x>0時，f（x）<0，說明式（1）所示的函數(shù)f（x）在（0，+∞）范圍內(nèi)單調(diào)遞減，也就是說在（0，+∞）范圍內(nèi)f（x）都小于f（0），將0帶入式（1），可以得到f（0）=0，那么f（x）

3函數(shù)最值的導數(shù)判別法與不等式證明的關(guān)系

有些不等式的證明涉及到恒成立問題，即不等式恒小于一個值或恒大于一個值。同樣，這類問題也可以將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行求解證明。要證明不等式恒大于（小于）某一個值，可以將不等式左側(cè)轉(zhuǎn)化為一個特定的函數(shù)，只要求出這個函數(shù)的最值，且最值永遠小于或大于不等式右側(cè)的值即可證明不等式恒成立。求解函數(shù)的最值可以通過導數(shù)來進行，求出導數(shù)的的最值在進行函數(shù)最值的求解。在證明不等式恒成立時需要注意變量取值區(qū)間的端點成立與否，這是進行大小比較的先決條件。

以具體實例說明：定義變量x的范圍為[-π/2，π/2]，在這個范圍內(nèi)任取兩個值x1和x2，現(xiàn)要證明如式（3）所示的不等式一定成立：

[fx1-f（x2）<π] （3）

式（3）中x1和x2滿足式（4）所示的函數(shù)關(guān)系：

[fx=sin2x-x] （4）

將式（4）所示的函數(shù)進行求導，導數(shù)如式（5）所示：

[f'x=2cos2x-1] （5）

式（4）所示的函數(shù)在[-π/2，π/2]內(nèi)連續(xù)，如果f（x）=0，那么x在這個范圍內(nèi)有兩個取值，分別為π/6和-π/6，帶入式4，當x=π/6時f（π/6）=[32-π6]，當x=-π/6時f（-π/6）=[32+π6]，由于π/6和-π/6位于[-π/2，π/2]區(qū)間內(nèi)，且x等于-π/2和π/2時f（x）分別等于π/2和-π/2，而f（x）在[-π/2，π/2]范圍內(nèi)的最大值和最小值分別為π/2和-π/2。因此任取x1和x2都存在如式（6）所示的關(guān)系：

[fx1-f（x2）<π2-（-π2）] （6）

可以看出式（3）所示的不等式恒成立。

從上述分析可以看出這種證明不等式恒大于或恒小于某一個值的問題完全可以轉(zhuǎn)化為通過導數(shù)求解函數(shù)的最小值或最大值的問題。在證明過程中將不等式轉(zhuǎn)化為合適的函數(shù)以及選取合適的臨界范圍是這種問題的重要步驟。

4結(jié)論

綜上所述，不等式是否成立可以利用函數(shù)的導數(shù)進行證明。將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值等特性，不僅可以完美的完成不等式的證明，還能夠使得證明過程簡潔明了。