尹海欽

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用較為廣泛的一個(gè)知識點(diǎn)。經(jīng)常見到的數(shù)學(xué)問題可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解外，拋物線運(yùn)動相關(guān)題目中，也可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。拋物線運(yùn)動是生活中經(jīng)常見到的運(yùn)動學(xué)問題，在解決這一問題時(shí)除了常規(guī)解法外，導(dǎo)數(shù)也是一種經(jīng)常利用的求解方法。本文主要對導(dǎo)數(shù)在拋物線運(yùn)動中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，以加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的理解和認(rèn)識。

平拋運(yùn)動是拋物線運(yùn)動中的一種重要形態(tài)，歷年高考中都會出現(xiàn)跟平拋運(yùn)動相關(guān)的題目，因此平拋運(yùn)動是高考中的一個(gè)重要出題方向。根據(jù)這一情況，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)重視平拋運(yùn)動相關(guān)知識的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，將其看作一個(gè)重要知識點(diǎn)。并在理解平拋運(yùn)動基礎(chǔ)上，學(xué)會總結(jié)平拋運(yùn)動相關(guān)規(guī)律，學(xué)會解決平拋運(yùn)動實(shí)際問題。在理解平拋運(yùn)動時(shí)，可以將其看作是勻速直線運(yùn)動、自由落體運(yùn)動的結(jié)合。如表1為平拋運(yùn)動的相關(guān)基礎(chǔ)知識，如圖1為平拋運(yùn)動示意圖。

在平拋運(yùn)動中有，x方向上有[vx=v0]；y方向上有[vy=gt]，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義對x、y方向進(jìn)行求導(dǎo)得到有：[dvxdt=0，dvydt=g]。從以上公式中可以看出對于x方向上的速度與時(shí)間的微變量關(guān)系是0，這表示速度在每時(shí)刻t的變化為0也就是勻速運(yùn)動；對于y方向上的速度和時(shí)間的微變量為g，這表示速度在每時(shí)刻t的變化為g。從以上導(dǎo)數(shù)推到中可以看出學(xué)生只需要掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念，便可推導(dǎo)出平拋運(yùn)動中先關(guān)公式，這樣減少了記憶難度。下面是導(dǎo)數(shù)在平拋運(yùn)動中的實(shí)例分析。

例1 求解平拋運(yùn)動中初速度的方法如圖2所示為平拋運(yùn)動軌跡。在該軌跡中，O為物體平拋點(diǎn)，物體經(jīng)過平拋運(yùn)動后，對軌跡中的某一點(diǎn)進(jìn)行測量，該點(diǎn)坐標(biāo)為（60，45），求解該物體做平拋運(yùn)動時(shí)的初速度。

解：從題中可知x方向的位移sx=60，y方向是的位移為sy=45。根據(jù)導(dǎo)數(shù)在平拋運(yùn)動中的應(yīng)用可知，有[dsxdt=v0，dsydt=gt]。這樣有[sx=v0t，sy=12gt2]。將[sx]平方的到[sx2=（v0t）2]，最終可以計(jì)算出[v0=xg2y]，帶入數(shù)據(jù)最終得到[v0=2m/s]。

1.在類平拋運(yùn)動中的應(yīng)用。質(zhì)量為m的小球在如圖3所示的斜面中進(jìn)行拋物線運(yùn)動。小球從A點(diǎn)水平拋出，拋出速度為V0。拋出后，小球在斜面上進(jìn)行運(yùn)動，直至B點(diǎn)。假設(shè)小球從A點(diǎn)拋出時(shí)的高度為h，求小球在該斜面上進(jìn)行運(yùn)動時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間？當(dāng)小球運(yùn)動到B時(shí)，小球的速度是多少？

解析：小球在斜面上運(yùn)動時(shí)出的拋物線運(yùn)動為平拋運(yùn)動，斜面向下加速度[a=gsinθ]。

假設(shè)小球從A至B的運(yùn)動時(shí)間為t，由題可知[hsinθ=12at2]，求出運(yùn)動時(shí)間[t=1sinθ2hg]。

假設(shè)小球m斜面向下速度為vy。

則小球運(yùn)動到B的速度為[v=v20+v20=v20+2gh]。

2.在復(fù)雜平拋運(yùn)動中的應(yīng)用。已知物體在平面上運(yùn)動，y方向的位移與時(shí)間關(guān)系是[ys=5t2+5t]，在x方向上的位移與時(shí)間關(guān)系是[xs=6t3+5t2+6t]，求t=2s時(shí)物體的運(yùn)動速度。

解析：根據(jù)[dysdt=vy]表示t時(shí)刻在y方向上的速度，這樣可以計(jì)算出[vy=10t+5]，同理可以計(jì)算出[vx=18t2+10t+6]，最終得到速度[v=vx2+vy2]，帶入數(shù)據(jù)得到[v=vx2+vy2=101.13m/s]。

拋物線運(yùn)動是物理學(xué)運(yùn)動中的一種重要形式，也是生活中常見的運(yùn)動形式。因此不管是日常生活中，還是高考題目中，都經(jīng)常出現(xiàn)求解拋物線運(yùn)動的問題。解決拋物線運(yùn)動的方法很多，其中導(dǎo)數(shù)是一種有效解決拋物線運(yùn)動的知識點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)次數(shù)最多、應(yīng)用最廣泛的知識點(diǎn)，如何利用導(dǎo)數(shù)解決拋物線運(yùn)動問題是每個(gè)高中生都應(yīng)掌握的解題技巧。endprint