廣東省佛山市華英學(xué)校(528000) 黎春玉

課例:一次函數(shù)的圖象(第1課時)—正比例函數(shù)的圖象

廣東省佛山市華英學(xué)校(528000) 黎春玉

1 內(nèi)容及解析

“一次函數(shù)的圖象”(北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》八年級上冊第四章第3節(jié))第1課時正比例函數(shù)的圖象,“正比例函數(shù)的圖象”是第一次對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,其內(nèi)容不僅僅介紹正比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì),更重要的是為研究函數(shù)提供了通法和重要的思想方法,借助函數(shù)圖象的特征探索函數(shù)性質(zhì),這種數(shù)學(xué)思想方法就是“幾何直觀”的一種表現(xiàn)形式,是“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想的具體應(yīng)用;本節(jié)課介紹了畫函數(shù)圖象的一般思路與方法:列表——描點(diǎn)——連線,為畫更一般的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)圖象提供了畫圖的思路和方法;并進(jìn)一步借助函數(shù)圖象的特征探索函數(shù)的性質(zhì).

2 教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷正比例函數(shù)的畫圖過程,初步了解畫函數(shù)圖象的一般步驟;

(2)經(jīng)歷正比例函數(shù)圖象性質(zhì)的探索過程,發(fā)展數(shù)形結(jié)合的意識和能力.

2.2 重點(diǎn)難點(diǎn)分析

重點(diǎn) 畫正比例函數(shù)的圖象,并能根據(jù)圖象讀取其性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)的分析和理解《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出“學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,不能依賴死記硬背,而應(yīng)以理解為基礎(chǔ),并使得在應(yīng)用中不斷鞏固和深化.”所以本節(jié)課的重點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷每個知識的生成過程,而不是強(qiáng)化畫圖的訓(xùn)練和性質(zhì)的記憶.所以本節(jié)課重點(diǎn)是探究如何把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為圖象,觀察圖象并結(jié)合關(guān)系式探究圖象的性質(zhì).

難點(diǎn)理解函數(shù)圖象的概念,領(lǐng)悟圖象的本質(zhì)(數(shù)形結(jié)合)

教學(xué)難點(diǎn)的分析和理解 數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想與方法的載體,只有扎實(shí)的知識才有可能形成解決問題和操作規(guī)則或模式,才能培養(yǎng)化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化一般為特殊、化抽象為具體的數(shù)學(xué)思維.本節(jié)課難點(diǎn)是理解函數(shù)圖象的概念,這是數(shù)形結(jié)合的“結(jié)”,這一“結(jié)”是從抽象思維到形象思維的過渡,所以打開這一“結(jié)”是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn).

2.3 教學(xué)問題診斷分析

問題1 如何畫正比例函數(shù)的圖象?它有什么特征?

問題2 正比例函數(shù)的圖象怎樣直觀地體現(xiàn)變量之間的關(guān)系?

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 復(fù)習(xí)提問

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的哪些知識?

(1)函數(shù)的定義;(2)函數(shù)的表示方法;(3)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義.

設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)已學(xué)的函數(shù)知識,讓學(xué)生進(jìn)一步理解知識發(fā)生、發(fā)展的過程,從而更有效地形成知識鏈和知識體系.

3.2 新課導(dǎo)入

正比例函數(shù)與一次函數(shù)的定義用了函數(shù)的哪種表示方法?學(xué)生很清晰地回答:關(guān)系式法;若要更直觀地研究正比例函數(shù)與一次函數(shù),應(yīng)選擇哪種函數(shù)的表示方法?我們一起來學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖象,一般地,我們研究數(shù)學(xué)的問題是從特殊到一般,今天先研究較為簡單的正比例函數(shù)的圖象,首先要理解什么是函數(shù)圖象?

3.3 通過觀察摩天輪上一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象的生成過程,引導(dǎo)學(xué)生分析抽象概括出函數(shù)圖象的定義

讓學(xué)生觀察圖象生成的過程,動畫演示隨著“描點(diǎn)”的數(shù)量的逐步增加到點(diǎn)動成線,直觀地顯示函數(shù)圖象的形成過程:

圖1

問題1:你能說出函數(shù)圖象是怎樣形成?

學(xué)生回答:函數(shù)圖象是由無數(shù)個點(diǎn)形成,點(diǎn)動成線形成的;

教師引導(dǎo):這無數(shù)個點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系與誰對應(yīng)?學(xué)生回答:有序?qū)崝?shù)對;教師追問:這些有序?qū)崝?shù)對的橫坐標(biāo)表示函數(shù)的哪個變量?縱坐標(biāo)?學(xué)生回答:分別是自變量和因變量.

問題2:你能給函數(shù)圖象下個定義?

學(xué)生思考后回答:把函數(shù)的一組自變量的值和函數(shù)值看作點(diǎn)的坐標(biāo),然后把點(diǎn)描到平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)動成線所形成的圖象叫做函數(shù)圖象.

師生活動:翻開書本P83頁共同解讀函數(shù)圖象的定義;進(jìn)一步把函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為如下的直觀程序:

設(shè)計(jì)意圖函數(shù)圖象的本質(zhì)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滿足一定關(guān)系的點(diǎn)集合,將一個函數(shù)關(guān)系中的兩個變量對應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個坐標(biāo)的維度,本身就存在數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換的難度,通過函數(shù)圖象的生成過程,化抽象為直觀,讓學(xué)生更好地理解函數(shù)圖象的概念的本質(zhì),從而有效地突破難點(diǎn).

3.4 從函數(shù)圖象的定義出發(fā),類比圖象的獲得過程,借助關(guān)系式、列表,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),經(jīng)歷在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出正比例函數(shù)y=2x的圖象

根據(jù)函數(shù)圖象的定義,你能畫出正比例函數(shù)的圖象?例如你能畫出正比例函數(shù)y=2x的圖象?教師板書師生交流進(jìn)一步完善畫圖的程序:

引導(dǎo)學(xué)生歸納畫圖象的步驟是:列表、描點(diǎn)、連線,并根據(jù)步驟嘗試畫出正比例函數(shù)y=2x的圖象后,教師邊講評,邊展示課本例1的規(guī)范解答,這一過程引導(dǎo)學(xué)生思考和嘗試解決如下的問題:

(1)列表先確定哪個變量的值?如何確定?能窮盡所有的值嗎?

學(xué)生回答:先確定自變量的值;因?yàn)樽宰兞考瓤梢匀≌龜?shù),也可以取負(fù)數(shù),還可以取0;因?yàn)椴荒芨F盡所有的值,應(yīng)選擇有一定的代表和好算的數(shù).

(2)連線,連什么線(直的還是曲的)?為什么?

學(xué)生回答:連直線;但理由學(xué)生說不清,此時老師提示類比摩天輪上一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象的生成過程,讓學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中在原有點(diǎn)的基礎(chǔ)上,在點(diǎn)與點(diǎn)之間及已有點(diǎn)外描更多的點(diǎn),讓學(xué)生觀察分析點(diǎn)的分布,從而歸納出正比例函數(shù)y=2x的圖象是一條直線,所以要連成直線.

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)學(xué)生明晰了由關(guān)系式到圖象的基本步驟后,可以讓學(xué)生自主作圖,由于這是第一次正式研究函數(shù)圖象,學(xué)生難免出現(xiàn)畫函數(shù)圖象的困惑,此時通過教師的提問和點(diǎn)撥,讓學(xué)生明晰知識生成的每一步數(shù)理,逐步建立較強(qiáng)的邏輯思維能力,通過規(guī)范性的演示,讓學(xué)生逐步養(yǎng)成規(guī)范的習(xí)慣.

3.5 P83做一做:學(xué)生自主做一做,讓學(xué)生類比正比例函數(shù)y=2x的圖象的畫圖過程畫出y=?3x的圖象

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生獲得更多的畫圖體驗(yàn),同時也為后續(xù)歸納正比例函數(shù)圖象的共性提供材料.

3.6 P84議一議

(1)滿足關(guān)系式y(tǒng)=?3x的x,y所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)都在y=?3x的圖象上嗎?

(2)y=?3x的圖象上的點(diǎn)(x,y)都滿足關(guān)系式y(tǒng)=?3x嗎?

此處的設(shè)計(jì)先讓每個學(xué)生各自任取滿足關(guān)系式y(tǒng)=?3x的x,y所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)描點(diǎn)看是否在在y=?3x的圖象;任選y=?3x的圖象上的點(diǎn)(x,y)看是否都滿足關(guān)系式y(tǒng)=?3x.再合作交流,引導(dǎo)得出下列結(jié)論:

滿足關(guān)系式的每一組x,y值函數(shù)圖像上每一個點(diǎn)(x,y)

設(shè)計(jì)意圖通過例1和做一做,得出了正比例函數(shù)圖象的直觀形象,正比例函數(shù)圖象是一條直線,但理性的認(rèn)識不夠,針對學(xué)生現(xiàn)在階段的認(rèn)知水平,通過議一議的(1)(2)兩問,以已畫的函數(shù)圖象為例,理解和建立正比例函數(shù)關(guān)系式與圖象的對應(yīng)關(guān)系,為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力.

3.7 引導(dǎo)學(xué)生歸納出正比例函數(shù)圖象,并進(jìn)一步優(yōu)化畫圖方法

觀察y=2x與y=?3x的圖象,

提問:推廣到一般正比例函數(shù)y=kx的圖象是什么?

學(xué)生回答:正比例函數(shù)y=kx的圖象是一條直線;

追問:一定會過哪個點(diǎn)?為什么?

學(xué)生回答:過原點(diǎn),因?yàn)楫?dāng)x=0時,關(guān)系式y(tǒng)=kx中的函數(shù)值y=0.

繼續(xù)追問:正比例函數(shù)的圖象既然是一條直線,那么如何更快地畫出正比例函數(shù)的圖象?課件展示優(yōu)化后的規(guī)范畫圖:

圖2

設(shè)計(jì)意圖明晰正比例函數(shù)圖象的特征,并根據(jù)特征給出的簡便畫法.

3.8 P84做一做:在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出正比例函數(shù)y=x,y=?0.5x的圖象

設(shè)計(jì)意圖要求學(xué)生在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出若干個正比例函數(shù)圖象,目的是讓學(xué)生熟練畫圖的技能,同時也為議一議、想一想提供討論的素材,為討論k對函數(shù)圖象的性質(zhì)的影響做好準(zhǔn)備.

3.9 議一議:觀察正比例函數(shù)y=2x,y=?3x,y=x,y=?0.5x的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么?

引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題:

(1)圖象的位置是如何確定的?為什么?(從數(shù)的角度來解釋形)

(2)隨著x值的增大,y的值分別如何變化?為什么?(從變化趨勢看圖象)

此處學(xué)生較難理解如何根據(jù)圖象看變化,教師以y=2x為例逐步引導(dǎo)從文字“隨著x值的增大”到從左到右地看圖象,圖象呈上升趨勢,說明圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)在增大,所以對應(yīng)的函數(shù)值也在變大,逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想.再讓學(xué)生獨(dú)立分析y=?3x,y=?0.5x的圖象性質(zhì).

圖3

(3)圖象y=x與y=2x有何不同?y=?0.5x與y=?3x?(從變化幅度看圖象)

結(jié)論1 當(dāng)k＞0時,圖象經(jīng)過一、三象限,y的值隨著x值的增大而增大;當(dāng)k＜0時,圖象經(jīng)過二、四象限,y的值隨著x值的增大而減小.

結(jié)論2|k|越大,直線越陡,y隨x的增減得越快.

設(shè)計(jì)意圖通過看圖象、談位置、想性質(zhì)等活動,引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出正比例函數(shù)的增減性與比例系數(shù)k的關(guān)系,在性質(zhì)的探究過程中,以“形”表示“數(shù)”,以“數(shù)”解釋“形”的思想得到應(yīng)用,函數(shù)圖象與關(guān)系式實(shí)現(xiàn)了貫通,有效地積累基本活動的經(jīng)驗(yàn),不斷發(fā)展、優(yōu)化學(xué)生的思維,提供了感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法(數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論,從特殊到一般)和積極主動觀察、全面歸納,學(xué)以致用等數(shù)學(xué)認(rèn)知的機(jī)會.

3.10 小結(jié) 感悟與提升

(1)本節(jié)課我們是如何畫出正比例函數(shù)圖象的?圖？

(2)我們是從哪些方面來研究正比例函數(shù)的圖象的?

(3)利用所學(xué)的知識你能直接說出函數(shù)y=?2x的圖象及其性質(zhì)?

(4)類似地,你能進(jìn)一步探索一次函數(shù)y=?2x+1的圖象及其性質(zhì)?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回顧課堂的學(xué)習(xí)過程,從知識、思想、方法等角度總結(jié)自己的收獲,提升對正比例函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識,體會研究函數(shù)的一般方法,體會類比、遷移、從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法.

3.11 作業(yè):P85習(xí)題4.3第2、4題,思考第5題

4 教學(xué)反思

本節(jié)課是我?！敖虒W(xué)三年一盤棋”開展的數(shù)學(xué)研討課,主要針對初二階段一盤棋的其中一項(xiàng)目標(biāo):提升學(xué)生的思維能力,而培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)能力的有效途徑是學(xué)生獨(dú)立解決問題的過程,含數(shù)學(xué)表達(dá)能力、歸納推理能力,空間觀念等發(fā)展機(jī)會.本節(jié)課以知識為載體,為學(xué)生提供獨(dú)立思考和合作交流的機(jī)會,讓學(xué)生自主完成新知識的構(gòu)建,通過滲透類比遷移、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想和方法來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.在教學(xué)過程中關(guān)注了以下問題:

一是函數(shù)圖象的概念理解.這一概念對于學(xué)生來說相當(dāng)抽象,在認(rèn)識上有一定的困難,為突破這一難點(diǎn),通過演示上一節(jié)課摩天輪上一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象的生成過程,直觀地表達(dá)函數(shù)圖象的概念,化抽象為直觀,并進(jìn)一步程引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)圖象的概念程序化,加深學(xué)生領(lǐng)會函數(shù)圖象的概念本質(zhì),從而有效力地突破難點(diǎn).這一難點(diǎn)的突破為學(xué)生提供生動有趣的問題情境,提供觀察、操作、交流、歸納等數(shù)學(xué)活動,在活動中加深對數(shù)學(xué)知識的理解,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;在引入這一新知識時,既注重了與學(xué)生生活實(shí)際的聯(lián)系,又注重新舊知識的聯(lián)系,在新舊知識的比較與聯(lián)系中,促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立與完善.

二是關(guān)于正比例函數(shù)圖象是一條直線的理解.要理性地認(rèn)識圖象是一條直線,筆者認(rèn)為現(xiàn)階段的學(xué)生認(rèn)知水平還不能達(dá)到,因此本節(jié)課先從感性認(rèn)識開始,在畫正比例函數(shù)y=2x圖象的最后一步:連線時,先類比摩天輪上一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象的生成過程,讓學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中原有點(diǎn)的基礎(chǔ)上,在點(diǎn)與點(diǎn)之間及已有點(diǎn)外描更多的點(diǎn),讓學(xué)生觀察分析點(diǎn)的分布,從而歸納出正比例函數(shù)y=2x的圖象是一條直線;再通過做一做畫出正比例函數(shù)y=?3x的圖象,進(jìn)一步深化正比例函數(shù)圖象是一條直線的認(rèn)識,希望能從動手畫圖的感性認(rèn)識提升到理性認(rèn)識水平.同時,這一過程也滲透了函數(shù)圖象與關(guān)系式之間的一一對應(yīng)關(guān)系,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

三是探究正比例函數(shù)圖象的性質(zhì).P84議一議觀察已畫的4個函數(shù)圖象,隨著x的增大,y的值分別如何變化?這一問題無疑對學(xué)生來說是比較抽象的,如何引導(dǎo)學(xué)生從圖象上讀取y隨x的變化而變化呢?為解決這一問題,作了以下的問題設(shè)計(jì):①“數(shù)”中隨著x的增大,在“形”中如何對應(yīng)?②“數(shù)”中的y的變化,在“形”中如何對應(yīng)?通過問題的設(shè)計(jì)結(jié)合圖象,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.