陳文龍

【摘 要】史寧中教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)模型主要是指：用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造出來(lái)的概念、原理和方法，來(lái)理解、描述和解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問題”。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建需要一個(gè)過(guò)程，通過(guò)對(duì)五套教材進(jìn)行橫向比較，分別從“情境內(nèi)容的編排”“概念描述的編排”“算法揭示的編排”“應(yīng)用練習(xí)的編排”四個(gè)方面來(lái)闡述數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】長(zhǎng)方形周長(zhǎng) 教材比較

史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以健康發(fā)展的重要源泉?！薄皵?shù)學(xué)模型主要是指：用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造出來(lái)的概念、原理和方法，來(lái)理解、描述和解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問題?！币簿褪钦f(shuō)，數(shù)學(xué)模型構(gòu)建需要一個(gè)過(guò)程，而這個(gè)過(guò)程主要分幾個(gè)層面實(shí)現(xiàn)呢？筆者的理解是主要有這四個(gè)層面：第一層是“把握現(xiàn)實(shí)世界一類問題的本質(zhì)”；第二層是“數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述一類問題的本質(zhì)”；第三層是“數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)一類問題的規(guī)律”；第四層是“應(yīng)用解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問題”。而這四個(gè)層面在長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的教材編排中是如何呈現(xiàn)的？這里選取五套教材進(jìn)行橫向比較，展現(xiàn)給大家，以期獲得一些思考。

橫向比較的五套教材分別來(lái)自：人民教育出版社（以下簡(jiǎn)稱“人教版”）、北京師范大學(xué)出版社（以下簡(jiǎn)稱“北師版”）、浙江教育出版社（以下簡(jiǎn)稱“浙教版”）、江蘇教育出版社（以下簡(jiǎn)稱“蘇教版”）、青島出版社（以下簡(jiǎn)稱“青島版”）。

從周長(zhǎng)內(nèi)容編排上看，這五種版本都是將周長(zhǎng)的概念和長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算分成兩課時(shí)編排，只有浙教版教材把“概念與計(jì)算”分別編寫在三下與三上，其他教材都在三上學(xué)習(xí)這兩塊內(nèi)容，并且是連續(xù)學(xué)習(xí)的。

一、情景內(nèi)容是怎樣編排的

“數(shù)學(xué)模型的研究手法不是單向的，需要從數(shù)學(xué)的角度思考，更需要從現(xiàn)實(shí)問題的角度思考?！敝荛L(zhǎng)的模型構(gòu)建首先需要思考的是學(xué)習(xí)活動(dòng)情景內(nèi)容的編排，設(shè)置有效的情景內(nèi)容，才能引導(dǎo)學(xué)生更好地“把握周長(zhǎng)的本質(zhì)”。

在周長(zhǎng)概念教學(xué)中，學(xué)習(xí)材料是怎樣編排的？活動(dòng)情景是怎樣編排的？我們來(lái)看一下這五種教材的編排內(nèi)容。

1.揭示周長(zhǎng)概念編排的學(xué)習(xí)材料（如下圖）。

五種教材編排的學(xué)習(xí)材料都注意從學(xué)生的生活實(shí)際中取材，從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)把握和構(gòu)建周長(zhǎng)的概念。人教版編排的學(xué)習(xí)材料有兩類：一類是現(xiàn)實(shí)生活與學(xué)習(xí)中的四種實(shí)物（樹葉、三角尺、數(shù)學(xué)書、鐘面），另一類是已經(jīng)學(xué)過(guò)的四種圖形（五角星、三角形、長(zhǎng)方形、正方形）；北師版編排的學(xué)習(xí)材料有兩類：一類是現(xiàn)實(shí)生活中的兩種實(shí)物（樹葉、數(shù)學(xué)書），另一類是已經(jīng)學(xué)過(guò)的一個(gè)圖形（長(zhǎng)方形，是從書本的封面抽象出來(lái)的）；浙教版編排的學(xué)習(xí)材料有一類：學(xué)生比較熟悉的一些圖形（三角形、十字形、五角星、樹葉、五邊形、六角星、梯形等）；蘇教版編排的學(xué)習(xí)材料有一類：以學(xué)生學(xué)習(xí)中的不同形狀的書簽為學(xué)習(xí)材料（橢圓形、心形、長(zhǎng)方形）；青島版編排的學(xué)習(xí)材料有一類：校園生活中的花壇形狀（長(zhǎng)方形、正方形、圓形、扇形）。

從整體上看，為了把握周長(zhǎng)的本質(zhì)，這五種教材編排的學(xué)習(xí)材料都基本上把實(shí)物與圖形結(jié)合起來(lái)：人教版教材相對(duì)來(lái)說(shuō)分得比較清楚，實(shí)物與圖形數(shù)量相同，而浙教版更突出的是圖形，其他三種版本的教材基本上是把實(shí)物與圖形整合在一起，其中北師版還有一個(gè)從實(shí)物抽象出圖形的過(guò)程。從圖形的形狀看，編排的基本上是學(xué)生學(xué)過(guò)的圖形，有長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓形等。而人教版、北師版、浙教版都加入了不規(guī)則圖形（主要是樹葉形狀），這樣的內(nèi)容加入會(huì)使學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)本質(zhì)的把握更豐滿些。而北師版有一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，一只螞蟻爬過(guò)樹葉的邊線，使學(xué)生有一種直觀形象的認(rèn)識(shí)。可以看出各版本教材在注重從現(xiàn)實(shí)角度把握的同時(shí)，結(jié)合從數(shù)學(xué)的角度把握周長(zhǎng)的本質(zhì)，這樣會(huì)使學(xué)生理解得更透、更全。

2.計(jì)算圖形的周長(zhǎng)編排的活動(dòng)情境（如下圖）。

為了使學(xué)生進(jìn)一步理解周長(zhǎng)的本質(zhì)“封閉圖形一周的長(zhǎng)度”，這五種版本教材都安排了計(jì)算圖形周長(zhǎng)的活動(dòng)情境。人教版編排的情境是：通過(guò)直接測(cè)量的辦法知道書本封面和三角形的周長(zhǎng)，通過(guò)軟尺用圍一圈的方法測(cè)量樹葉（不規(guī)則圖形）的周長(zhǎng)。北師版編排的情境是：一是同學(xué)合作用繩子把樹葉圍一圍的方法測(cè)量樹葉的周長(zhǎng)，用尺子量出書本封面的周長(zhǎng)；二是讓學(xué)生在格子圖中數(shù)出三個(gè)圖形的周長(zhǎng)。浙教版編排的情境是：讓學(xué)生摸一摸、量一量課桌桌面的周長(zhǎng)，用卷尺量樹干的周長(zhǎng)。蘇教版編排的情境是：讓學(xué)生自行想辦法得出兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)。青島版編排的情境是：用步數(shù)走一圈的方法知道長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，用卷尺等工具測(cè)量其他花壇的周長(zhǎng)，想辦法測(cè)量出紅領(lǐng)巾和少先隊(duì)隊(duì)旗的周長(zhǎng)。

美國(guó)學(xué)者萊許認(rèn)為：“在問題情境中，為提取概念所提供的線索越多，就越容易使概念得到檢索和應(yīng)用，有利于抽象的概念建立起具體的模型，從而促使概念的掌握?！敝荛L(zhǎng)概念的建立，需要學(xué)生積極主動(dòng)地參與到多種形式的活動(dòng)之中，讓學(xué)生通過(guò)看、描、摸、圍、量、說(shuō)等，使學(xué)生的眼、手、耳、口等多種感官全都參與其中，只有這樣才能有利于學(xué)生抽象出周長(zhǎng)概念的模型。顯然，這五種教材都充分考慮到了。

二、概念描述是怎樣編排的

“數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的載體，實(shí)現(xiàn)有效交流的前提是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)語(yǔ)言可分為抽象性數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀性數(shù)學(xué)語(yǔ)言?！痹趯W(xué)生獲得直觀的感知，得到多層次的體驗(yàn)，能把握周長(zhǎng)的本質(zhì)后，教師再引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述什么是周長(zhǎng)”。各種版本的教材是怎么描述的？請(qǐng)看下表。

長(zhǎng)方形：圖形一周的長(zhǎng)度就是圖形的周長(zhǎng)][封閉圖形一周的長(zhǎng)度就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)][書簽一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)][一周的長(zhǎng)度就是它們的周長(zhǎng)]endprint

從表中可以看出，周長(zhǎng)概念的描述主要分兩種形式：一種是以“定義式”的方法描述，有人教版和浙教版；另一種是以“描述式”的方法描述，有北師版、蘇教版和青島版。

三、算法揭示是怎樣編排的

“合理的思維過(guò)程具有理性加工的功能，而現(xiàn)實(shí)世界的事物一旦經(jīng)過(guò)理性加工，或者說(shuō)，一旦經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的描述，不僅具有了一般性，而且具有了真實(shí)性，而數(shù)學(xué)模型就是這種理性加工的范例?！苯滩膭?chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生在經(jīng)歷“合理的思維過(guò)程”后，通過(guò)數(shù)學(xué)的描述，建立起長(zhǎng)、正方形周長(zhǎng)的模型，用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)出這種規(guī)律，這樣的過(guò)程具有“真實(shí)性、合理性”，這樣的模型構(gòu)建過(guò)程是有效的。那么這五種教材是如何編排的？請(qǐng)看下表。

五種教材揭示“長(zhǎng)、正方形周長(zhǎng)計(jì)算公式”的過(guò)程具體編排

[教材版本 揭示“長(zhǎng)、正方形周長(zhǎng)計(jì)算公式”的過(guò)程 人教版 材料：一個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)6厘米、寬4厘米）；一個(gè)正方形（邊長(zhǎng)是5厘米）

算法：各兩種。算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)：①6+4+6+4=20（厘米），②（6+4）×2=20（厘米）；算正方形的周長(zhǎng)：①5+5+5+5=20（厘米），②5×4=20（厘米）

公式：以填空的形式出現(xiàn)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（ ）；正方形的周長(zhǎng)=（ ） 北師版 材料：一個(gè)長(zhǎng)方形（要學(xué)生量出長(zhǎng)和寬）；一個(gè)正方形（要學(xué)生量出邊長(zhǎng)）；怎樣靠墻圍一個(gè)長(zhǎng)方形柵欄

算法：算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)有三種算法：①5+3+5+3=16（厘米），②5×2+3×2=16（厘米），③（5+3）×2=16（厘米）；算正方形的周長(zhǎng)有兩種算法：①3+3+3+3=12（厘米），②3×4=12（厘米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“四條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)，2個(gè)長(zhǎng)和2個(gè)寬加起來(lái)，1個(gè)長(zhǎng)和1個(gè)寬加起來(lái)再乘2，正方形的周長(zhǎng)可以用邊長(zhǎng)乘4” 浙教版 材料：1.生活中哪些地方需要計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？（畫框、樹的圍欄）；2.用點(diǎn)子圖畫長(zhǎng)方形并算周長(zhǎng)（知道周長(zhǎng)畫圖形）；3.量一量、算一算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)（兩個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形）

算法：各兩種。算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)：①3×2+2×2=10（厘米），②（5+1）×2=12（厘米）（兩個(gè)不同的圖形）；算正方形的周長(zhǎng)：①（2+2）×2=8（厘米），②2×4=8（厘米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4” 蘇教版 材料：求一個(gè)籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)（長(zhǎng)28米、寬15米），求一塊正方形手帕的周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)是25厘米，以試一試的形式出現(xiàn)）

算法：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)有三種算法：①長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，②2條長(zhǎng)與2條寬相加，③先算長(zhǎng)加寬的和，再用和乘2；算正方形的周長(zhǎng)有一種算法：邊長(zhǎng)×4=正方形的周長(zhǎng)

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；2條長(zhǎng)與2條寬相加；先算長(zhǎng)加寬的和，再用和乘2；邊長(zhǎng)×4=正方形的周長(zhǎng)” 青島版 材料：一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（長(zhǎng)9米、寬4米）；一個(gè)正方形花壇（邊長(zhǎng)是7米）

算法：算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)有三種算法：①9+4+9+4=26（米），②9×2+4×2=26（米），③（9+4）×2=26（米）；算正方形的周長(zhǎng)有兩種算法：①7+7+7+7=28（米），②7×4=28（米）

公式：以文字的形式出現(xiàn)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2；正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4” ]

從上表可以看出，這五種教材在編排內(nèi)容的過(guò)程中，基本思路大同小異：都是先創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)材料，包括長(zhǎng)方形和正方形；通過(guò)不同算法的呈現(xiàn)進(jìn)行算法探究，在算法呈現(xiàn)中都基本上呈現(xiàn)了兩種或兩種以上算法（北師版、蘇教版、青島版在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)算法中呈現(xiàn)了三種算法，蘇教版在正方形算法中只呈現(xiàn)了一種算法），而蘇教版算法呈現(xiàn)中有別于其他四種版本的教材，是用文字算式的形式表述的，這其實(shí)也就是把長(zhǎng)（正）方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式呈現(xiàn)出來(lái)了，而其他四種版本的教材都是以數(shù)字算式的形式表述的；在各種算法呈現(xiàn)后，進(jìn)行算法的優(yōu)化，其中人教版用“你喜歡哪種算法”、蘇教版用“計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，怎樣算比較簡(jiǎn)便”這樣的問題點(diǎn)出來(lái)，其他三種版本的教材并沒有直接點(diǎn)明，在算法優(yōu)化的過(guò)程中，自然形成了長(zhǎng)（正）方形周長(zhǎng)的公式，人教版是以填空的形式出現(xiàn)，其他四個(gè)版本的教材都給了一個(gè)相對(duì)比較明確的文字公式。

四、應(yīng)用練習(xí)是怎樣編排的

學(xué)生通過(guò)多種學(xué)習(xí)活動(dòng)，能深刻地把握周長(zhǎng)的本質(zhì)，能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述周長(zhǎng)的本質(zhì)，并能用符號(hào)化的公式去表達(dá)長(zhǎng)（正）方形周長(zhǎng)的計(jì)算規(guī)律，這樣一個(gè)完整的長(zhǎng)（正）方形周長(zhǎng)的模型才能初步構(gòu)建起來(lái)，但是能否真正成型，需要在應(yīng)用與解決實(shí)際問題中得到檢驗(yàn)、提高、完善。那么這五種教材對(duì)于應(yīng)用練習(xí)是怎樣編排的？請(qǐng)看下表。

總體上來(lái)說(shuō)，北師版、蘇教版基礎(chǔ)性練習(xí)題比較多一點(diǎn)，編排的練習(xí)結(jié)合了直接利用公式的情境模型題、量一量再計(jì)算的圖形題、畫一畫再計(jì)算、用算式去找圖形題等。人教版、浙教版、青島版綜合性練習(xí)題比較多一點(diǎn)，人教版、青島版都比較注重剪、拼的練習(xí)設(shè)計(jì)，青島版突出一點(diǎn)是注重學(xué)生課外實(shí)踐，浙教版顯得思維性更強(qiáng)一些，有幾個(gè)題目學(xué)生在解答之后都可以進(jìn)一步去思考，得出新的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

總之，“在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型，特別是了解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程是非常重要的，因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中，可以讓學(xué)生體會(huì)：如何用數(shù)學(xué)的‘眼睛觀察現(xiàn)實(shí)世界，如何用數(shù)學(xué)的‘思維思考現(xiàn)實(shí)世界，如何用數(shù)學(xué)的‘語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界?！?參考文獻(xiàn)：

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[2]楊曉翊，謝瑩.長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)與周長(zhǎng)教學(xué)研究[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.

（浙江省臨海市河頭鎮(zhèn)中心小學(xué) 317034）endprint