章穎

“倍的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生學(xué)習(xí)相對(duì)數(shù)量比較的起點(diǎn)。前段時(shí)間，在俞正強(qiáng)特級(jí)教師工作室團(tuán)隊(duì)活動(dòng)中，我們對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”進(jìn)行了研究與探討。師父的精彩演繹讓我們嘆為觀止，師父的通理明法讓我們豁然開朗。當(dāng)我們讀懂學(xué)生的明白，學(xué)生學(xué)習(xí)就自然發(fā)生，課也自然生動(dòng)。

一、理解：倍是一種關(guān)系

“倍”代表著兩個(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，而關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份。對(duì)于中高年級(jí)即將接觸到的“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”“比”甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，它起著至關(guān)重要的作用。要建立“倍”概念，其關(guān)鍵和難點(diǎn)是讓學(xué)生體會(huì)“關(guān)系”“標(biāo)準(zhǔn)”。用怎么樣的素材，按怎么的序列，讓學(xué)生體會(huì)“關(guān)系”“標(biāo)準(zhǔn)”，建立“倍”概念？我們先來看看特級(jí)教師俞正強(qiáng)的演繹。

A版本

流程一：經(jīng)驗(yàn)的激活

1.教學(xué)“一樣多”

（1）談話

板書：一樣多

師：把這3個(gè)字讀一讀：一樣多。

師：什么時(shí)候會(huì)用到“一樣多”？

學(xué)生自由發(fā)言。

師小結(jié)：“一樣多”肯定是誰和誰在比多少。

板書：△和○一樣多

⑵拍手游戲

師：請(qǐng)你跟我一樣多，我就跟你一樣多。

師拍3下，學(xué)生也拍了3下。

師：為什么剛才拍了3下？

生：老師拍了3下，所以我拍了3下。

生：因?yàn)橐屠蠋熞粯佣唷?/p>

生：要以老師為準(zhǔn)。

師小結(jié)：“一樣多”，以老師的3下為標(biāo)準(zhǔn)。

⑶畫一畫

師：我畫△，你們畫○跟我“一樣多”。

①△——○

師：為什么畫1個(gè)？

生：老師畫了1個(gè)。

②△△△△——○○○○

師：畫了幾個(gè)？為什么？

這個(gè)環(huán)節(jié)，俞老師從“一樣多”素材引入，通過“拍手游戲”“畫圖”激活、改造學(xué)生“一樣多”的經(jīng)驗(yàn)。這里有兩個(gè)體驗(yàn)點(diǎn)，其一是“一樣多”怎么來？在“你和我”的比較中讓學(xué)生體會(huì)關(guān)系；其二是“以我為準(zhǔn)”，體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)。將生活中的“以我為準(zhǔn)”改造為數(shù)學(xué)上的“以誰為標(biāo)準(zhǔn)”。

2.教學(xué)“兩個(gè)一樣多”

板書：兩個(gè)一樣多

⑴拍手游戲

師：讀，懂嗎？

師拍3下。

生1連著拍6下。

生2先拍3下，再拍3下。

師：他們拍得有不一樣嗎？

生1：一個(gè)連續(xù)拍6下，一個(gè)拍3下停一停又拍3下。

師：你為什么拍3下停下后又拍3下？

生2：兩個(gè)一樣多，先拍3下，再重復(fù)一次。

師：哪位同學(xué)拍得好？為什么？

師小結(jié)：兩個(gè)“一樣多”，先確立“一樣多”，再重復(fù)一次。

全班拍手游戲體驗(yàn)：兩個(gè)一樣多。

⑵畫一畫：兩個(gè)一樣多

△△→△△ △△

師：為什么要分開？

3.體驗(yàn)“三個(gè)一樣多”（同上）

學(xué)生在體驗(yàn)“兩個(gè)一樣多”時(shí)，通過對(duì)比兩種不同的拍手方法，感受拍“兩個(gè)一樣多”的竅門，首先，要以“一個(gè)一樣多”為標(biāo)準(zhǔn)，你幾下，我就幾下；其次，體會(huì)重復(fù)。兩個(gè)一樣多，重復(fù)兩次；三個(gè)一樣多，重復(fù)三次。有了拍手游戲?qū)Α皹?biāo)準(zhǔn)”的體驗(yàn)，畫圖時(shí)學(xué)生自然而然能明白將每個(gè)一樣多分開或畫圈的“理”?！?三個(gè)一樣多”的體驗(yàn)也就水到渠成，一氣呵成。

流程二：概念的建立

活動(dòng)：換個(gè)說法

師：我說誰和誰一樣多，你說誰是誰的1倍。（師說生改）

板書： △和○一樣多

△是○的1倍

師：…… 兩個(gè)一樣多。

生：……的2倍。

問題1：你能依次說嗎？

問題2：你能用這句話，舉個(gè)生活中的例子嗎？誰是誰的幾倍？

“倍”概念不是橫空出世的，它根植于生活經(jīng)驗(yàn)“一樣多”?！耙粋€(gè)一樣多”改造為“1倍”，“兩個(gè)一樣多” 改造為“2倍”，“三個(gè)一樣多” 改造為“3倍”，依次類推。“倍”不需要教，只是換個(gè)名字，學(xué)生自然而然就體會(huì)“標(biāo)準(zhǔn)”“關(guān)系”，建立了“倍”概念。

流程三：練習(xí)

1.填空

△：△△△

○：○○○○○○○○○

問題：○的個(gè)數(shù)是△個(gè)數(shù)的 倍。

2.畫○

△：△△

○：

要求：○的個(gè)數(shù)是△個(gè)數(shù)的4倍。

3.畫△

△：

○：○○○○○○○○

要求：○的個(gè)數(shù)是△個(gè)數(shù)的2倍。

練習(xí)在精，不在多。三道練習(xí)題，針對(duì)三種不同的類型。第一道是求倍數(shù)，第二道是求幾倍數(shù)，第三道是求1倍數(shù)。當(dāng)我們不明白時(shí)，通常用增加作業(yè)量來強(qiáng)化。當(dāng)我們想明白時(shí)，作業(yè)量是可以減少下來的。

二、討論：倍是一種運(yùn)算

一直以來，教師教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”都很重視運(yùn)用豐富的情境、直觀的圖式和多種表征幫助學(xué)生理解概念，可謂是使出渾身解數(shù)?？蓪W(xué)生在運(yùn)用“倍”概念時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)許多困難和問題。特別是，當(dāng)上課后，小朋友看到“倍”就想到乘法。在學(xué)生心里，“倍”就是一種運(yùn)算。我們傳統(tǒng)教學(xué)是怎么上的？基本流程如下。

B版本

1.以舊引新

師（出示蝴蝶2只、蜻蜓2只）：它們的只數(shù)有怎樣的關(guān)系？

生：相等。

師（再出示2只蜻蜓）：現(xiàn)在呢？

生：蜻蜓比蝴蝶多2只。

生：蝴蝶比蜻蜓少2只。

生：蜻蜓是蝴蝶的2倍。endprint

師：“倍”這樣的說法以前聽說過嗎？（許多學(xué)生表示聽說過）那今天我們就來研究“倍”。（揭示課題并板書）

傳統(tǒng)教學(xué)，“倍”的教學(xué)從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，不管是設(shè)置動(dòng)物的情境還是花朵的情境，都從說說兩者關(guān)系的問題入手。從兩個(gè)數(shù)量比較多少開始，進(jìn)而引出兩個(gè)數(shù)量的“2倍”關(guān)系。

2.實(shí)踐操作

師：說“2倍”的這位同學(xué)是怎樣想的呢？請(qǐng)他上臺(tái)把它們分一分、擺一擺，讓其他同學(xué)一眼就看出它們之間是2倍的關(guān)系。（學(xué)生上臺(tái)操作）

師：蜻蜓是蝴蝶的2倍，你們都能看出來了嗎？怎么看出來的？同桌交流一下想法。

生4：蝴蝶是2只，蜻蜓有這樣2個(gè)2只，就是蝴蝶的2 倍。

師：說得真好！像這樣，以蝴蝶2只為標(biāo)準(zhǔn)，2只看作1份，蜻蜓有這樣的2份，我們就說蜻蜓的只數(shù)是蝴蝶的2 倍。

教學(xué)時(shí)，對(duì)“倍”的意義的理解，我們主要通過分一分、擺一擺等操作，讓學(xué)生對(duì)乘法意義中的“幾個(gè)幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)；在給出例子后，說出類似這樣的一句話：“我們就說蜻蜓的只數(shù)是蝴蝶的2倍?！敝苯咏o出了“倍”的概念。因而，小朋友看到“倍”就想到乘法。

3.變式比較

⑴師（繼續(xù)出示6只蜜蜂）：現(xiàn)在蜜蜂和蝴蝶有什么關(guān)系？你是怎么想的？（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后指名上臺(tái)分一分、圈一圈、說一說）

比較：為什么蝴蝶都是2只，而蜻蜓是蝴蝶的2倍，蜜蜂卻是蝴蝶的3倍呢？

學(xué)生在交流中逐漸明確：把2只蝴蝶看作1份，別的有幾個(gè)2只，就是蝴蝶的幾倍。

⑵師（飛走2只蜻蜓，剩下2只蜻蜓）：現(xiàn)在蜻蜓和蝴蝶有什么關(guān)系？你又是怎么想的？（一般學(xué)生會(huì)有兩種解答：1倍和0倍）

通過全班討論：1倍和0倍，讓學(xué)生明白把2只蝴蝶看作1份，蜻蜓2只也是1份，所以說蜻蜓是蝴蝶的1倍。

在變式練習(xí)中，通過比較、畫圖等形式，讓學(xué)生明白“怎么確定標(biāo)準(zhǔn)”，強(qiáng)化“幾個(gè)幾”就是“幾倍”。對(duì)于“1倍”和“0倍”之爭，教師往往回頭看“2倍”的建立，遷移得出當(dāng)兩個(gè)物體數(shù)量同樣多就是“1倍”。

三、比較：差別在哪里

我們來比較兩種教學(xué)流程所呈現(xiàn)的教學(xué)意義上的差別。

差別一：對(duì)概念內(nèi)涵的理解不同

這兩種主張，對(duì)于知識(shí)而言，學(xué)生最終要建立“倍“概念，并運(yùn)用它解決簡單的實(shí)際問題。但對(duì)知識(shí)的獲得過程，兩種主張的差別是巨大的。本文主張（即A版本），要使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到“倍”是一種關(guān)系，其概念原型是生活經(jīng)驗(yàn)中的“一樣多”，將學(xué)生的“一樣多”改造為數(shù)學(xué)的“倍”。傳統(tǒng)教學(xué)主張的特征是，“倍”是一種運(yùn)算，其知識(shí)基礎(chǔ)是乘法意義的“幾個(gè)幾”，使學(xué)生對(duì)乘法意義中的“幾個(gè)幾”與“幾倍”形成關(guān)聯(lián)。

差別二：對(duì)概念學(xué)習(xí)起點(diǎn)的認(rèn)知不同

我們將兩種教學(xué)流程的導(dǎo)入環(huán)節(jié)理一理，對(duì)比如下。

[環(huán)節(jié) A版本 B版本 導(dǎo)入 教學(xué)“一樣多”

⑴師板書：一樣多

問題：什么時(shí)候會(huì)用到“一樣多”？

結(jié)論：“一樣多”肯定是誰和誰在比多少

板書：△和○一樣多

⑵拍手游戲

要求：請(qǐng)你跟我一樣多，我就跟你一樣多

師拍3下，學(xué)生也拍了3下

結(jié)論：“一樣多”，以老師的3下為標(biāo)準(zhǔn) 以舊引新

⑴材料：蝴蝶2只、蜻蜓2只

問題1：它們的只數(shù)有怎樣的關(guān)系？

結(jié)論：相等

⑶材料：蝴蝶2只、蜻蜓4只

問題2：現(xiàn)在它們的只數(shù)有怎樣的關(guān)系？

結(jié)論1：蜻蜓比蝴蝶多2 只

結(jié)論2：蜻蜓是蝴蝶的2 倍

揭示課題并板書 ]

A版本從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)“一樣多”引入，B版本從 “蝴蝶和蜻蜓比多少”引入。兩個(gè)版本的導(dǎo)入環(huán)節(jié)不同是基于對(duì)概念學(xué)習(xí)起點(diǎn)的認(rèn)知不同。一種認(rèn)為“倍”概念學(xué)習(xí)起點(diǎn)是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)“一樣多”。另一種認(rèn)為“倍”概念學(xué)習(xí)起點(diǎn)是學(xué)生的已有知識(shí)“比多少”。

筆者認(rèn)為，“倍”概念的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是生活經(jīng)驗(yàn)“一樣多”。第一，生活中，學(xué)生積累了大量的“一樣多”經(jīng)驗(yàn)?！澳愫臀业谋咀右粯佣唷薄澳阌袃蓚€(gè)蘋果，我有兩個(gè)蘋果，我們一樣多”……豐富的生活經(jīng)驗(yàn)利于將“一樣多”改造為“倍”。第二，“一樣多”經(jīng)驗(yàn)利于學(xué)生體會(huì)“關(guān)系”與“標(biāo)準(zhǔn)”。在“你和我”的拍手游戲中體會(huì)關(guān)系；在“以我為準(zhǔn)”中，體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)。將生活中的“以我為準(zhǔn)”改造為數(shù)學(xué)上的“以誰為標(biāo)準(zhǔn)”。 將“一樣多”改造為“倍”，只是換個(gè)名字，不需要教，學(xué)生自然而然就體會(huì)“標(biāo)準(zhǔn)”“關(guān)系”。這樣的數(shù)學(xué)，在學(xué)生眼里，是親切的。這樣的學(xué)習(xí)，在學(xué)生心里，是愉悅的。

而B版本，從 “兩個(gè)物體比多少”引入，當(dāng)我們說“蜻蜓比蝴蝶多2 只”，也可以用“蜻蜓是蝴蝶的2 倍”來表示兩者的關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生將“倍”和“多”相聯(lián)系。變式練習(xí)時(shí)，當(dāng)蝴蝶和蜻蜓數(shù)量相等，有部分學(xué)生認(rèn)為沒有多，就是“0倍”，因而不可避免地產(chǎn)生“1倍和0倍之爭”?；叵雮鹘y(tǒng)教學(xué)，我們經(jīng)常用畫圖、操作、比較、說練等多種形式讓學(xué)生明白“誰是標(biāo)準(zhǔn)”“誰是誰的幾倍”，學(xué)生常常表達(dá)不清，或標(biāo)準(zhǔn)說錯(cuò)了。這正說明B版本的問題所在。

四、結(jié)論：想明白，上好課

俞正強(qiáng)老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的兩種基本樣式》一文中，對(duì)概念的意義構(gòu)建進(jìn)行了分類。類型一：概念本身能夠在生活中找到原型。學(xué)生在生活中因?yàn)閷?duì)原型的經(jīng)歷，已經(jīng)具備對(duì)該概念所包含的內(nèi)涵和外延的理解。我們將學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)水平改造為老師的學(xué)科水平。

[明白][學(xué)生 ] [明白][老師][經(jīng)驗(yàn)水平][學(xué)科水平][改造型][學(xué)習(xí)]

類型二：概念本身在生活中找不到原型。學(xué)生在生活中沒有關(guān)于該概念的任何經(jīng)歷。我們把這種概念的意義構(gòu)建表述為：

[空白][學(xué)生 ] [明白][老師][輸入型][學(xué)習(xí)]

按照這兩種分類考察我們對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”的定義，應(yīng)該屬于第一種。知識(shí)是有類型的，我們教師首先要想明白概念是哪種類型即“它是什么”，其次想明白概念本身在生活中是否有原型，即“學(xué)生是明白的還是空白的”。當(dāng)我們把這兩個(gè)核心問題想明白，其余的選材和立序問題也會(huì)迎刃而解。

教師想明白，才是上好課的前提！

（浙江省金華市湯溪鎮(zhèn)中心小學(xué) 321000）endprint