謝東伊

摘 要：作為小學(xué)數(shù)學(xué)“綜合與實踐”的內(nèi)容，如何在課堂教學(xué)中做到“綜合運用”與“實踐探究”并重，且能高效地達成兩個方面的教學(xué)目標(biāo)一直都是筆者關(guān)注的核心問題。本文基于對《探索圖形》的教材研讀及后續(xù)課堂教學(xué)實踐，主要從“借助直觀教具開展活動，使學(xué)生經(jīng)歷整個探究過程，逐步抽象得出規(guī)律，最終用于解決問題”等環(huán)節(jié)進行“反饋式”思考。為實現(xiàn)上述兩個方面目標(biāo)指向的學(xué)生數(shù)學(xué)活動能力和思維能力的提升與發(fā)展提出一定的見解。

關(guān)鍵詞：直觀；過程；發(fā)展思維

在整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)中，使用教具、學(xué)具帶來的直觀體驗，始終是學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”知識的最佳手段。即使到了高年級，當(dāng)空間想象受阻或?qū)W習(xí)較為抽象的知識時，提供操作材料動手實驗，依然是最為有效的教學(xué)策略。毫無疑問，對于《探索圖形》內(nèi)容的教學(xué)，首先要實現(xiàn)的就是有效的實踐操作，使學(xué)生在具體的活動中，動手、動口、動腦，多種感官協(xié)調(diào)參與，在獨立思考與小組合作中多角度地感悟該教學(xué)內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)思想，豐富自己的思維活動經(jīng)驗。

一、借助“真”直觀，真實達成高效

在“綜合與實踐”活動的課堂教學(xué)中，一直存在著這樣一種現(xiàn)象：因為教具、學(xué)具準(zhǔn)備的難度較大，使得教學(xué)設(shè)計的思路受限于課堂實施的可行性。在此種情況下，教師通常會退而求其次，用課件演示的方式加以替代。然而，從學(xué)生認(rèn)知特點來分析，這樣的方式僅僅能夠達成視覺上的直觀，而缺少了其余各方面的體驗。以本課教學(xué)為例，圖1是兩種方式下課堂呈現(xiàn)的立方體效果對比圖。

用課件的方式似乎更為標(biāo)準(zhǔn)，并可以在演示涂色效果的基礎(chǔ)上，通過顏色的對比、動畫等手段把各種不同涂色情況“直觀”地呈現(xiàn)在屏幕上。相比之下，立方體包裝盒搭建的大立方體并沒有進行涂色的具體操作，但在學(xué)生親手搭建的過程中，對于各種涂色小立方體所處位置的理解卻更為直觀和真切。

在操作過程的組織上，結(jié)合所教班級的實際情況，以四人小組的形式，利用同桌合作拼成棱長為2的立方體，兩個小組合作搭建棱長為3的立方體，利用四個小組的立方體組成棱長為4的立方體，最后全班學(xué)生的小立方體拼成棱長為5的立方體。這樣的設(shè)計和實施，充分調(diào)動了學(xué)生參與活動的熱情，并在潛移默化之中感受到合作學(xué)習(xí)的重要性。借助于真實的直觀，還能極大地提升課堂教學(xué)的實效性，這也使得通過本課教學(xué)，對學(xué)生“綜合運用知識”方面的目標(biāo)設(shè)定有了更高的起點，最終達成“經(jīng)歷過程”與得出“數(shù)學(xué)模型”的兩者兼顧。

二、經(jīng)歷“全”過程，水到方能渠成

任何數(shù)學(xué)知識的形成與習(xí)得都須符合其特有的客觀規(guī)律。就“探索圖形”內(nèi)容本身來說，是發(fā)展學(xué)生推理能力、空間觀念、幾何直觀非常好的教學(xué)載體。那么，如何在一堂課的教學(xué)中盡可能多地去豐富學(xué)生開展多方面思維活動的經(jīng)驗?zāi)?？結(jié)合教學(xué)實際，筆者認(rèn)為：給全體學(xué)生創(chuàng)設(shè)并提供足夠的活動空間與時間，使他們積極主動地參與實踐操作的整個過程，無疑是實現(xiàn)上述目標(biāo)的最佳策略。因此，在課始搭建研究了棱長為2的立方體涂色情況之后，展開以下探索：

【片段一】分類計數(shù)

師：現(xiàn)在要搭建棱長為3的立方體，只用你桌子上的夠不夠？（不夠）怎么辦？（用兩個小組的立方體拼起來）請大家試一試。（學(xué)生操作）

師：現(xiàn)在給這個立方體表面涂上顏色，會有幾種情況？

生：3種。8個頂點上的是三面涂色，中間的是一面涂色，還有兩面涂色。

師：中間的一面涂色是指在立方體的哪里？（面上）兩面涂色的呢？（棱上）涂色的會產(chǎn)生三種情況，不涂色的呢？有沒有？（有）在立方體上找一找。

師：這樣，我們把涂色情況分成了幾類？（四類）你能分別找出個數(shù)嗎？填在學(xué)習(xí)單上。

根據(jù)回答板書。小結(jié)：這種方法就叫作分類計數(shù)（板書），想一想，這樣分類的依據(jù)是什么？（三面涂色的在頂點上，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在內(nèi)部）也就是依據(jù)了？（正方體的特征）板書：依據(jù)特征。

【片段二】探索發(fā)現(xiàn)

師：現(xiàn)在把兩張桌子上的小立方體集中在一起，試試看能搭成更大的立方體嗎？（學(xué)生操作搭成兩個棱長為4的立方體）完成學(xué)習(xí)單，在填的過程中如果有疑惑，可以隨時對立方體進行觀察和操作。

指名回答：三面涂色的有8個，兩面涂色的有24個。（追問：說說你是怎么數(shù)的？）一條棱上有2個，有12條棱，一共有24個。一面涂色的有24個（你又是怎么數(shù)的呢？）在一個面上一面涂色的有4個，4乘以6個面就是24個。

師：最后這個有點難，沒有涂色的有幾個？（4個，8個）我們可以用總數(shù)減去這三類，結(jié)果是8，也可以在立方體上找一找，操作演示：把涂色的都移開，取出不涂色的部分，有幾個？（8個）你能在這些教具中找一找嗎？也就是誰？（棱長為2的立方體）

請這個小組把桌上的立方體拼到這張桌子上，形成棱長為5的立方體。（學(xué)生操作）其他同學(xué)可以思考棱長為5的立方體不同情況的個數(shù)。

如果你在填的時候有問題，可以上來對這個立方體進行觀察操作?？倲?shù)會是幾個？（125個）三面涂色的？（8個）為什么還是8個？（立方體始終是8個頂點）兩面涂色呢？

生：36個，因為每條棱上有3個，乘以12就是36個。（一面？）有54個，因為大立方體一個面上可以找到9個，乘以6就是54個。（請你上來找一找）

學(xué)生數(shù)1，2，3，…，8，9。（還有別的方法嗎？）3乘以3。（為什么？）這里一面涂色的剛好形成了一個邊長為3的正方形。（你太棒了，掌聲！）

師：沒有涂色的有幾個？（27個）能在臺上找到嗎？（棱長為3的立方體）

“經(jīng)歷過程”比“得出結(jié)果”更重要，這在課題“探索圖形”中已經(jīng)做出了明確的課堂定位。以上環(huán)節(jié)實施中，利用學(xué)具逐步搭建棱長為3、4、5的立方體的過程，同時也是引導(dǎo)學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。從知識特征分析，三面涂色、兩面涂色、一面涂色，再到?jīng)]有涂色，各種立方體的數(shù)量規(guī)律呈現(xiàn)出較為明顯的“梯次難度”，這種現(xiàn)象與整個“空間與圖形”知識的編排形成對應(yīng)。正是豐富了學(xué)生親歷過程的“源頭之水”，才能真正開拓他們頭腦中的“思維之渠”。endprint

【片段三】得出規(guī)律

生：老師，我已經(jīng)知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3。（追問：你的想法？）當(dāng)棱長為n時，沒有涂色的個數(shù)正好是棱長為（n-2）的立方體總個數(shù)。

師：你真棒，已經(jīng)預(yù)先知道了下面要講的知識。我們一起來研究當(dāng)棱長為n時的情況，先在學(xué)習(xí)單上獨立完成，再進行小組的討論交流。

指名回答：當(dāng)棱長為n的時候，總個數(shù)是n3，三面涂色是8個，兩面涂色（n-2）×12。（說說你的想法？）因為在一條棱上是（n-2）個，再乘以12。

師：這里為什么要減去2？（根據(jù)學(xué)生回答直觀演示）減去的2是處于頂點位置的兩個立方體。

生：一面涂色的是（n-2）2×6。（又是怎么得出來的呢？）一面涂色的個數(shù)正好是邊長為（n-2）的正方形。

沒有涂色的為什么是（n-2）3呢？學(xué)生回答后，利用教具直觀演示（如圖2）。

利用這些規(guī)律，請你先想象一下，等棱長是6或者9的時候，各種小立方體的位置和個數(shù)是多少？（展開想象）

你能把它們分別計算出來嗎？板書：解決問題（學(xué)生練習(xí)，分析過程略）

在這里，首先引用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》在“空間觀念”一節(jié)中的闡述：“空間想象力主要體現(xiàn)在對諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對簡單形體空間位置的想象和變換上，以及對抽象的數(shù)學(xué)式子（算式或代數(shù)式等）給予具體幾何意義的想象解釋或表象能力上?！比绾螌⒅庇^的經(jīng)歷內(nèi)化為學(xué)生個體的理解，并能對最終得出的規(guī)律進行解釋，可以看作是對以上作為本課教學(xué)難點的環(huán)節(jié)進行設(shè)計和實施時的“核心問題”。

具體表現(xiàn)在本次課堂實踐中，當(dāng)有學(xué)生自己提出“老師，我已經(jīng)知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3”并能有合理的解釋時，已然使筆者意識到源于直觀和親身經(jīng)歷的探索過程使得部分學(xué)生自主完成了對知識的初步內(nèi)化。因而在這里，筆者把教學(xué)設(shè)計中對棱長為6的立方體各種涂色情況進行推算的環(huán)節(jié)進行了后置處理，順勢引出將規(guī)律抽象成數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。對于如何引導(dǎo)學(xué)生從已有的初始經(jīng)驗向更高更深的層次“歸流”與“掘進”，在實際教學(xué)中，筆者采用了“直觀+抽象”的表現(xiàn)手法。筆者借助顏色對比鮮明的小棒教具，使學(xué)生感受從一維到二維再到三維的空間轉(zhuǎn)換，在不斷加深對數(shù)學(xué)模型理解程度的同時，使學(xué)生頭腦中的空間想象和思維能力也得到了相應(yīng)的發(fā)展。

三、拓展“新”方法，鞏固再謀發(fā)展

在完成上述內(nèi)容的教學(xué)后，教材中呈現(xiàn)了另一組由小立方體按規(guī)律拼出的幾何體，旨在引導(dǎo)學(xué)生將解決問題的經(jīng)驗和策略遷移應(yīng)用到新的問題中。然而，在實際教學(xué)中，學(xué)生很容易受到由“分類計數(shù)”這種方法造成的思維定式的影響。針對這一現(xiàn)象，筆者在鞏固已學(xué)知識的基礎(chǔ)上，對拓展環(huán)節(jié)進行了不同的處理。

【片段四】課堂小結(jié)

師：（結(jié)合板書）我們來回顧一下整個過程（如圖3）。

你覺得哪一個環(huán)節(jié)最重要？（指名回答）老師相信每一個回答背后都有自己的理由，但是，你們感受到了嗎？這五個環(huán)節(jié)中每個環(huán)節(jié)都非常重要，環(huán)環(huán)相扣形成了一個整體。就像這節(jié)課上用全班同學(xué)的小立方體搭成了棱長為5的大立方體，若缺少了其中一個，還能夠搭成嗎？

【片段五】拓展延伸

想不想試試難一點的？出示四層的實物教具（如圖4）?，F(xiàn)在涂色的情況會有幾類？

生：五面涂色、四面涂色、三面涂色，還有兩面涂色、一面涂色、沒有涂色。

師：要分幾類？（6類）太復(fù)雜了吧？注意對這個圖形的要求是計算涂色的總面積，也就是這個幾何體的？（表面積）

我們可以考慮簡單一點的，出示二層、三層的實物教具。數(shù)一數(shù)，二層的一共有幾個面涂色？（5+5+5+3=18個）你還有別的數(shù)法嗎？

生：還可以3乘以6。（說說你的想法）因為一個方向看過去有3個面涂色，總共要從6個方向去看，即上下、前后、左右。

師：同學(xué)們聽懂了嗎？這個幾何體有幾個面？（6個）也就是說我們?nèi)匀灰罁?jù)了？（正方體的特征）

那么三層的呢？（6×6=36）四層？（10×6=60）這里的層數(shù)和涂色總面積有什么關(guān)系呢？當(dāng)層數(shù)為的時候，涂色部分的總面積會是多少？這個問題就留到下課的時候同學(xué)們自己去思考解決。

課堂小結(jié)中，重點突出對探索學(xué)習(xí)整個過程的回顧，也可以看作是引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗。在最后的拓展環(huán)節(jié)，首先出示四層的幾何體實物教具，營造出在具體方法上的認(rèn)知沖突，先破后立，使學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向?qū)で蟛煌慕鉀Q路徑。然受限于課堂教學(xué)的時間，適時地把問題留在課后由學(xué)生自主探索完成。

綜合以上對“探索圖形”的教學(xué)實踐與思考，進一步拓寬至日常的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，需要教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容實際，有意識地采用更多的直觀教學(xué)手段，使學(xué)生充分地、全方位地經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動與知識形成的整個過程，這對于發(fā)展學(xué)生的思維能力乃至更大范疇的數(shù)學(xué)能力，都有極為重要的現(xiàn)實意義。endprint