郁健新

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。思維是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)動(dòng)機(jī)，數(shù)學(xué)教學(xué)要激活學(xué)生的思維引擎。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要呵護(hù)學(xué)生的原創(chuàng)思維，舒展學(xué)生的過程思維，引領(lǐng)學(xué)生的深度思維。著眼于學(xué)生的思維發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)才能夠讓學(xué)生形成認(rèn)識(shí)世界的“第三只眼睛”。

關(guān)鍵詞：思維引擎；原創(chuàng)思維；過程思維；深度思維

從根本上說，數(shù)學(xué)是一門思維科學(xué)，是嚴(yán)謹(jǐn)、有序的思維科學(xué)。思維是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)動(dòng)機(jī)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)的起點(diǎn)，把握學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方向，留足學(xué)生數(shù)學(xué)思維的空間，教給學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法，進(jìn)而讓學(xué)生展開高質(zhì)量的思維甚至展開高階思維。當(dāng)下許多數(shù)學(xué)課堂，打著探究、合作旗號(hào)，卻走著傳授老路，究其根本，是因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維的缺失。因此，激活學(xué)生思維引擎就顯得尤為必要，要尊重學(xué)生的原創(chuàng)思維，引導(dǎo)學(xué)生的過程思維，著眼于學(xué)生的深度思維，讓學(xué)生的思維不斷生長(zhǎng)。

一、呵護(hù)學(xué)生數(shù)學(xué)“原創(chuàng)思維”

所謂“原創(chuàng)思維”，是指學(xué)生獨(dú)創(chuàng)、首創(chuàng)意義的思維，體現(xiàn)為思維的發(fā)散性、創(chuàng)造性。學(xué)生對(duì)問題解決方向的窺測(cè)，對(duì)問題的原初思考在某種意義上就是學(xué)生的原創(chuàng)思維。教學(xué)中，教師要呵護(hù)學(xué)生的原創(chuàng)思維。

1. 提倡個(gè)性化思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是屬于學(xué)生的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要提倡學(xué)生的個(gè)性化思維，讓學(xué)生超越教材和他人的固化思路。例如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第12冊(cè)），教材中的方法是沿著側(cè)面的高剪開，將圓柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形面積。一位同學(xué)在閱讀中生發(fā)出自己的個(gè)性思維：為什么沿著側(cè)面的高剪開呢？可以斜著剪開嗎？個(gè)性化的思維讓學(xué)生產(chǎn)生了深刻的感悟：沿著高剪開能夠得到長(zhǎng)方形，斜著剪能夠得到平行四邊形，通過長(zhǎng)方形和平行四邊形都能推出圓柱的側(cè)面積。這樣的獨(dú)特思考讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不再單一、狹隘，而是走向豐富和深刻。

2.關(guān)注另類性思維

當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想都能夠得到尊重，當(dāng)學(xué)生的每一個(gè)聲音都能夠被傾聽，學(xué)生才會(huì)迸發(fā)出另類性思維火花、思維靈感。例如教學(xué)“20以內(nèi)退位減法”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第2冊(cè)），對(duì)于“13-5”，有學(xué)生用的是“破十法”，即10-5=5，5+3=8；有學(xué)生用的是“平十法”，即13-3=10，10-2=8；還有學(xué)生用的是“算減想加法”，即8+5=13，所以13-5=8等。但對(duì)一位學(xué)生的另類算法——5-3=2，10-2=8，是“碰巧對(duì)”還是“可以這樣進(jìn)行計(jì)算”，學(xué)生展開了爭(zhēng)論。通過驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)答案都是對(duì)的，為什么呢？這個(gè)另類的解法引發(fā)了普遍的關(guān)注。經(jīng)過交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，個(gè)位上3減5不夠減，還差2個(gè)，所以用10再減去2得8。學(xué)生依靠自己的直覺產(chǎn)生了突破常規(guī)、突破定式的另類思維，正是由于教師的精心呵護(hù)，學(xué)生的另類思維得以彰顯、放大，成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要課程資源。

二、舒展學(xué)生數(shù)學(xué)“過程思維”

學(xué)生的思維是一個(gè)過程，是從感性到理性、從模糊到清晰的不斷演進(jìn)的過程。因此，教師要給予學(xué)生思維時(shí)空，充分暴露其原初思維，舒展、激活、展現(xiàn)其過程性思維。一方面，數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是過程性學(xué)習(xí)，因?yàn)閴嚎s化的數(shù)學(xué)知識(shí)必須解壓；另一方面，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過程也不是一蹴而就的，而是一個(gè)緩慢的、不斷咀嚼、不斷消化甚至需要反芻的過程。只有學(xué)生親歷這樣的過程，才能提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

1. 找準(zhǔn)思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)中教師不僅要解讀教材，更要解讀學(xué)生，尤其是學(xué)生的思維起點(diǎn)。思維起點(diǎn)是學(xué)生展開數(shù)學(xué)之思的前提和條件，能夠明確學(xué)生思維“現(xiàn)在在哪里”和“能夠到哪里”。只有號(hào)準(zhǔn)了學(xué)生的思維起點(diǎn)，教學(xué)才能有的放矢，切入學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，了解學(xué)生的思維障礙、思維盲點(diǎn)。通過檢測(cè)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的分?jǐn)?shù)概念中缺少“許多物體組成的整體”這一概念。為此，教學(xué)中重點(diǎn)向?qū)W生展示“由許多物體組成的整體集合”，讓學(xué)生對(duì)集合整體進(jìn)行平均分操作。教學(xué)中，有學(xué)生認(rèn)為，所謂“分?jǐn)?shù)”其實(shí)就是“整體的幾分之一”。這樣的原創(chuàng)思維，超越了教師的形式化、抽象化概括，具有深刻的意義。

2. 賦予思維時(shí)空

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握是一個(gè)逐步累積直至頓悟的過程。教學(xué)中，教師要賦予學(xué)生思維的時(shí)空，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維緩慢生長(zhǎng)。快捷化教學(xué)往往讓學(xué)生思維處于狹窄、逼仄的狀態(tài)，甚至讓學(xué)生無所適從。開放性教學(xué)能夠讓學(xué)生的思維縱橫馳騁，為此，教師要開拓學(xué)生的思維空間。例如教學(xué)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），為了凸顯負(fù)數(shù)的意義——表示具有相反意義的量，筆者以這樣的問題貫穿課堂教學(xué)的始終——“以哪一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn)”，學(xué)生的思維被充分地激活。在海拔高度上，學(xué)生認(rèn)為以海平面作為標(biāo)準(zhǔn)；在物體的運(yùn)進(jìn)和運(yùn)出上，學(xué)生認(rèn)為以原有物體的數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)；在溫度計(jì)上，學(xué)生認(rèn)為以零攝氏度作為標(biāo)準(zhǔn)等。當(dāng)學(xué)生確定標(biāo)準(zhǔn)后，哪些量用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示也就一目了然了。在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維被充分地打開，有學(xué)生認(rèn)為，如果我們以20攝氏度作為標(biāo)準(zhǔn)，100攝氏度就是+80 ℃，以班級(jí)身高最高的同學(xué)作為標(biāo)準(zhǔn)，其他所有同學(xué)的身高都是負(fù)數(shù)等。核心問題給了學(xué)生充分的思考時(shí)間和空間，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維打開了一扇新的窗戶。

3. 把脈思維方向

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是自然生長(zhǎng)的，教師要順著學(xué)生思維生長(zhǎng)的順序，把脈思維方向，對(duì)學(xué)生誤入歧途的思維要及時(shí)糾偏，對(duì)于學(xué)生的固著思維要善于解套，對(duì)于學(xué)生的受阻思維要及時(shí)疏導(dǎo)。例如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第10冊(cè)），學(xué)生由于受到了“2的倍數(shù)的特征”和“5的倍數(shù)的特征”的影響，思維的方向自然集中于個(gè)位上的數(shù)。筆者順著學(xué)生思維的方向，舉出了一些例子。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在這些例子中，有些數(shù)個(gè)位上的數(shù)不是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)卻是3的倍數(shù)，有些數(shù)個(gè)位上的數(shù)是3的倍數(shù)，但這個(gè)數(shù)卻不是3的倍數(shù)。至此，學(xué)生明白了通過個(gè)位上的數(shù)并不能判定這個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)。接著，筆者讓學(xué)生通過在計(jì)數(shù)器上撥算珠、數(shù)算珠的方式，調(diào)整學(xué)生的思維方向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)的特征”。endprint

三、導(dǎo)引學(xué)生數(shù)學(xué)“深度思維”

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)不僅體現(xiàn)在思維廣度上，還體現(xiàn)在思維深度上。思維深度體現(xiàn)為思維的靈活性、批判性、創(chuàng)造性。某種意義上，有深度的數(shù)學(xué)思維就是一種高階思維。教學(xué)中，教師要提高學(xué)生的思維含量，引導(dǎo)學(xué)生思維躍遷。如果學(xué)生思維始終處于適應(yīng)層面，始終在低層次徘徊，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是淺化的、窄化的。

1. 深度反思，形成思維的批判性

對(duì)于批判性思維，有許多不同闡釋。美國(guó)著名學(xué)者麥克派克認(rèn)為，“批判性思維是一種反思傾向和技巧”，是一種不迷信、不盲從、不輕信、不茍同、不消極的思維品質(zhì)，主要體現(xiàn)為學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中的一種懷疑、審慎態(tài)度，其核心是引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問難的品格。故而，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于反思問題、發(fā)現(xiàn)問題。例如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的“化簡(jiǎn)比”，教材中分三種不同形式（分別是整數(shù)比、分?jǐn)?shù)比和小數(shù)比）讓學(xué)生分別采用同時(shí)除以前項(xiàng)和后項(xiàng)最大公因數(shù)、同時(shí)乘分母最小公倍數(shù)、同時(shí)將前項(xiàng)和后項(xiàng)乘10，100，1000……等方法讓學(xué)生將比化成“最簡(jiǎn)整數(shù)比”。有學(xué)生在化簡(jiǎn)比的過程中認(rèn)為，這樣的方法比較煩瑣，花費(fèi)的時(shí)間多，而且書寫過程復(fù)雜，容易出錯(cuò)。為此，他們根據(jù)前面學(xué)的“比值意義”，用“求比值”的方法化簡(jiǎn)比。學(xué)生主動(dòng)挑戰(zhàn)教材、挑戰(zhàn)權(quán)威、挑戰(zhàn)自己，逐漸形成批判性思維的優(yōu)秀品質(zhì)。

2. 突破定式，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

所謂“思維定式”，是指學(xué)生在頭腦中用一種固定的模式進(jìn)行思維。當(dāng)學(xué)生的思維遭遇定式時(shí)，這種思維就如同緊箍咒，制約學(xué)生思維觸角的延伸、發(fā)展。教學(xué)中，教師要發(fā)散學(xué)生思維，消解學(xué)生思維的固著狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)突破思維的定式，鼓勵(lì)學(xué)生求新、求異，形成看問題的新視點(diǎn)、新思想、新思路以及解決問題的新策略。例如教學(xué)“圓的面積”，學(xué)生依循圓面積公式S=πr2，在計(jì)算圓面積時(shí)，總是習(xí)慣性地搜尋圓的半徑。為了突破學(xué)生的思維定式，筆者出示了這樣一道習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

（1）如圖1，已知小正方形的面積是25平方厘米，那么圓的面積是多少平方厘米？

（2）如圖1，已知小正方形的面積是20平方厘米，那么圓的面積是多少平方厘米？

學(xué)生對(duì)于第一個(gè)問題，還能夠求出正方形的邊長(zhǎng)，按照常規(guī)思路解決問題。但對(duì)于第二個(gè)問題，由于在學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，沒有一個(gè)數(shù)的平方等于20，因而學(xué)生試圖求出正方形的邊長(zhǎng)即圓的半徑是徒勞的。這時(shí)，他們主動(dòng)調(diào)整思維方向，努力突破定式，擺脫已成思維，謀劃新的思路。圓的面積與正方形的面積之間有無關(guān)聯(lián)呢？通過深入地觀察、比較、想象，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了半徑的平方就是正方形面積，正方形的面積與圓的面積的聯(lián)結(jié)由此形成。

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。讓學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”甚至“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思維”能夠讓學(xué)生形成認(rèn)識(shí)事物、探究事物的技巧，也讓學(xué)生形成了認(rèn)識(shí)事物、探究事物的范式和價(jià)值取向。激活學(xué)生思維引擎，一要?jiǎng)?chuàng)設(shè)自由的思考氛圍，二要給學(xué)生適時(shí)助力，三要對(duì)學(xué)生的異想天開、盲目過錯(cuò)給予寬容、呵護(hù)。唯其如此，學(xué)生才能順利地向未知出發(fā)、朝未知挺進(jìn)。在這個(gè)過程中，學(xué)生不斷地形成數(shù)學(xué)思想方法，形成看問題的著眼點(diǎn)，由此獲得認(rèn)識(shí)世界的“第三只眼”。endprint