■龐彥福

追求適合有深度的數(shù)學(xué)教學(xué)

■龐彥福

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》（2010—2020年）指出：“尊重教育規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，為每個學(xué)生提供適合的教育。”適合的教育才是最好的教育，同樣，適合的教學(xué)也才是最好的教學(xué)。學(xué)生是有差異的，面對不同層次的學(xué)生，設(shè)計并實施怎樣的教學(xué)才能適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，利于學(xué)生的成長，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，是有責(zé)任心的教育工作者及一線教師需要不斷思考的課題。

一、適合的教學(xué)需尊重學(xué)生

“九層之臺，起于壘土?！苯虒W(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體，立足學(xué)生的學(xué)，有助于學(xué)生的成長和發(fā)展。奧蘇貝爾曾在他的《教育心理學(xué)：認(rèn)知的觀點》一書中寫道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是建立在已有知識及其經(jīng)驗之上的。在“分式”教學(xué)時，筆者曾這樣設(shè)計新課的引入：

之所以這樣設(shè)計新課的引入，主要是基于以下幾點考慮。首先，易切入，好上手。凡事從簡單做起。我國古代著名哲學(xué)家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細(xì)?！彼俚刂赋鱿氤删鸵环聵I(yè)，必須從簡單的事情做起，從細(xì)微之處入手。以最簡單的小學(xué)知識“作為新課引入的切口，盡管起點低，但是立意高，這樣學(xué)生可以通過聯(lián)想類比學(xué)習(xí)新知識，易于將分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識遷移到新知識的學(xué)習(xí)上來。其次，回歸和體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從“1÷2”到“1÷2x”、從回顧了分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和意義，也喚醒學(xué)生了解從“分?jǐn)?shù)”到“分式”、從“整式”到“分式”的過渡過程，從而讓學(xué)生體悟知識間的互相聯(lián)系以及學(xué)習(xí)分式的基本方法。第三，學(xué)生感覺到親切自然。新課引入的問題情境并沒有刻意進(jìn)行“創(chuàng)設(shè)”，四個小問題貼近生活實際，貼近學(xué)生的生活。無論是從分?jǐn)?shù)到分式的過渡，還是老師上班的實例，既接地氣，又讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)就在自己身邊。第四，滲透整體架構(gòu)的意識，有利于建立起邏輯連貫的知識體系和學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)體系是一脈相承的，有了整體化的設(shè)計思想，對于整個的教學(xué)設(shè)計就會有全局的考慮。第五，滲透研究數(shù)學(xué)概念的一般套路和方法。設(shè)計的5個小問題，是先給出例子，并讓學(xué)生根據(jù)例子寫出式子，然后通過觀察、探尋來發(fā)現(xiàn)它們的共同屬性。這樣得到的分式定義才是學(xué)生自己習(xí)得的，如此的設(shè)計與學(xué)習(xí)過程才符合概念形成的規(guī)律。有了前面的鋪墊和基礎(chǔ)，到了學(xué)生自己舉例子、概念辨析以及新知識的應(yīng)用等環(huán)節(jié)，學(xué)生便會自主進(jìn)入有深度的探究之中。這樣的設(shè)計，學(xué)生習(xí)得知識的過程才符合深度學(xué)習(xí)的特征。第六，將隱性知識與顯性知識有機結(jié)合。從特殊到一般、從具體到抽象以及類比的思想方法，融入到了新課的情境問題之中（如圖1）。有了分式概念的深度探究，接下來學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)、運算及應(yīng)用就有了堅實的基礎(chǔ)以及可類比的基本方法。

圖1

二、適合的教學(xué)需因材施教

教學(xué)中，教師如果對學(xué)習(xí)薄弱的學(xué)生采取的方法不當(dāng)，薄弱生就會變成學(xué)困生，甚至跟不上課，只會越來越差。一個學(xué)生或個別學(xué)生在班級里或?qū)W校里只是集體中的一員，而對于家庭來說，他則可能是全部。因此，教育應(yīng)該對每一個學(xué)生負(fù)責(zé)。

小K同學(xué)由于基礎(chǔ)不好，學(xué)習(xí)起來相對困難，下面是小K作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤：（1）25的平方根是

老師并沒有在小K作業(yè)錯誤的地方打上大大的“×”或留下其他傷害性的標(biāo)記，而是利用課外時間找到小K了解情況：

小K：結(jié)果是一樣的，表示形式不同。

教師：結(jié)果是多少，怎樣表示呢？

教師：我們逆過來想，平方等于36的數(shù)是幾……

經(jīng)過老師和同學(xué)的幫助，小K的學(xué)習(xí)有了明顯的進(jìn)步。

蘇霍姆林基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強烈?！蔽覀兂Ｕf網(wǎng)絡(luò)是雙刃劍，其實，教學(xué)中的評價也可能是雙刃劍，既能發(fā)揮積極作用，也會產(chǎn)生消極影響。老師對小K的錯誤沒有打上大大的“×”號，沒有批評她“這么簡單的題目都不會”，沒有直接教她“訂正”，而是從類似的題目入手，讓她理解知識、明白道理、尋找方法。一個“×”號看上去是客觀的，但也是一種傷害；一句不經(jīng)意的“這么簡單的題目都不會”，從老師嘴里說出是那么的輕巧，可殺傷力是巨大的，在學(xué)生的內(nèi)心深處可能會留下“我就是笨孩子”“我就是學(xué)不會”的烙印。在“的平方根是多少”的問題中，小K等同學(xué)為什么會得出的結(jié)論？其實是沒有真正理解非負(fù)數(shù)的平方根，這樣哪能掌握平方根的性質(zhì)呢？所以當(dāng)老師再追問時，又出現(xiàn)了類似錯誤。只有真正理解了才會求的平方根。平時的教學(xué)中，針對學(xué)困生或基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，我們不妨換位思考一下。課堂提問時，簡單問題留給基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，從先后順序上，先提問學(xué)困生；布置作業(yè)與完成情況方面，采取分層的方式，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生不做統(tǒng)一要求，只完成基本的部分或選做；而對優(yōu)秀生則適當(dāng)增加特征類題目，真正做到因材施教。

三、深度學(xué)習(xí)應(yīng)該拾級而上

教學(xué)的過程中，當(dāng)學(xué)生掌握了基本知識之后，要引導(dǎo)學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化認(rèn)識和理解，這樣的過程其實就是深度學(xué)習(xí)。好的課堂教學(xué)應(yīng)該是有深度的，但不一定是難度大的；反過來，難度大的課堂不一定有深度。教學(xué)中，如何能讓深度學(xué)習(xí)在學(xué)生層面上落地生根，關(guān)鍵取決于教師對設(shè)計的問題是否適合于學(xué)生學(xué)習(xí)。在圓周角復(fù)習(xí)中，為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解圓周角與銳角三角函數(shù)的關(guān)系，我設(shè)計了這樣一個問題：

如圖2，⊙O的半徑為5，AB是直徑，BC的長是6，則cosA的值為________________。

當(dāng)學(xué)生能夠順利解決時，可設(shè)法讓學(xué)生的思維拾級而上，于是我對問題進(jìn)行了變形。

圖2

圖3

圖4

學(xué)生思考時，可能會想著連接OA或OB或OC；當(dāng)發(fā)現(xiàn)無法解決時，則有學(xué)生想到添加如圖4所示的輔助線，利用同弧上的圓周角相等、直徑所對的圓周角是直角、銳角三角函數(shù)等方法將問題解決。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是思維的訓(xùn)練。教學(xué)中，拾級而上的教學(xué)設(shè)計才是適合學(xué)生學(xué)習(xí)的，才可能促進(jìn)學(xué)生的思維逐步提升，學(xué)生的學(xué)習(xí)也才會是有深度的。

四、有效教學(xué)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

設(shè)計適合的有深度的數(shù)學(xué)教學(xué)就是追求有效教學(xué)。有效教學(xué)立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，站在學(xué)生的角度尋找解決問題的策略與途徑，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式與方法，設(shè)計教學(xué)時總是朝著“激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，鼓勵學(xué)生大膽創(chuàng)新與實踐”的方向進(jìn)行謀劃。

對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生采取小步走、多層次、勤練習(xí)、常反饋的由易到難、由淺入深的迂回措施，該分解的分解，該鋪墊的鋪墊。解題教學(xué)時可能會將一個題目分解成兩個或多個小題目，讓學(xué)生容易上手，不至于失去學(xué)習(xí)的信心。也可能是采取有針對性的輔導(dǎo)，使基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生感覺到教師的關(guān)心、愛護和幫助。對于學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生，更要因材施教，關(guān)注優(yōu)秀學(xué)生的思維層次和解決綜合問題的能力。通過適宜的方法，一方面讓優(yōu)秀學(xué)生更加優(yōu)秀，另一方面讓先知先覺者帶動后知后覺者，促進(jìn)學(xué)生的整體進(jìn)步。

隨著課堂教學(xué)改革的不斷深入，教學(xué)的過程越來越重視學(xué)生的學(xué)，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及思考問題的方式方法。傳統(tǒng)的課堂教學(xué)注重的是教師的教，教師主宰著課堂，教師是課堂的表演者，學(xué)生在課堂上只是聽眾和觀眾，在看教師的表演。隨著教育教學(xué)改革的推進(jìn)，大家逐漸意識到：在課堂教學(xué)中，學(xué)生才是真正的學(xué)習(xí)的主人，只有學(xué)生進(jìn)入了學(xué)習(xí)的狀態(tài)，教學(xué)才是有效的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，只有細(xì)心觀察、認(rèn)真思考、不斷反思與提煉，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律及本質(zhì)，才能不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力。隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提高，他們才會理解到數(shù)學(xué)知識中蘊涵的豐厚的思想方法，才會不斷生長出解決問題的能力，才可能變成有智慧的人。學(xué)習(xí)上、生活中，不能一條道走到黑，要注意觀察和思考，要注意解決問題的策略和藝術(shù)；要靈活多變，該搭橋鋪路時要搭橋鋪路，該峰回路轉(zhuǎn)時就峰回路轉(zhuǎn)。學(xué)以致用，無論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是生活方式，都需要在學(xué)習(xí)和生活的過程中不斷反思，不斷提煉，這樣學(xué)習(xí)的方法會更好，對數(shù)學(xué)知識的理解會更全面。

（作者為江蘇省特級教師，江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)教師）

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點自籌課題“初中數(shù)學(xué)‘深度學(xué)習(xí)’資源建設(shè)的理論與實踐研究”（課題編號：B-b/2016/02/155）的階段性研究成果。