■吳忠妙

初中數(shù)學(xué)“錯誤”資源的挖掘與利用

■吳忠妙

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)教師意想不到的錯誤，有一些錯誤易被忽略，不少錯誤也會在學(xué)生的作業(yè)和考試中反復(fù)出現(xiàn)。此情此景，教師會認為學(xué)生沒有用心聽，沒認真反思、訂正，甚至?xí)惫刂肛?zé)學(xué)生“不開竅”，但靜下心來，透過這個現(xiàn)象，是否也要找找我們教師自身的原因呢？是否在教學(xué)設(shè)計、教學(xué)過程等環(huán)節(jié)出了問題？是否可將學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)的“通病”合理利用呢？筆者也一直在嘗試、積累、反思，取得了較好的效果，現(xiàn)舉幾處學(xué)生犯的“錯誤”，談?wù)劰P者的心得。

一、利用錯誤，挖掘?qū)W生的探究因子。在每節(jié)數(shù)學(xué)課的相關(guān)環(huán)節(jié)，我都會精心設(shè)計與所學(xué)新知相關(guān)聯(lián)的素材，這些素材中一部分是學(xué)生作業(yè)、考試中的常見錯誤，有一部分是筆者從教材或課外學(xué)習(xí)材料中提煉設(shè)計的“陷阱”，利用孩子的天性，充分調(diào)動他們的探究積極性。這些教學(xué)資源來源于生活實際或是學(xué)生平時學(xué)習(xí)中易犯的錯誤，故更有說服力，讓學(xué)生在找錯、糾錯的過程中強化了對知識的理解，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

教學(xué)案例一：9.1“反比例函數(shù)”的教學(xué)片段。

實際問題：無錫到南京的路程大約是200km，一列火車的速度是vkm/h，從無錫到南京所用時間為th。

師：我和南京有著不解之緣，30年前，家人帶我從無錫坐火車去南京，不過那時火車的速度只有50km/h,請問需用多長時間？

生：4h。

師：15年前，我在南京讀大學(xué)時，火車速度大約是80km/h，從無錫到南京坐火車需用多長時間？

生：2.5h。

師：上周我坐高鐵去南京，速度達到了250km/h。

生：哇……只有0.8h呀?。ㄟ叴疬吿畋砀瘢?/p>

師：t是v的函數(shù)嗎？

生：是的。

師：你還能舉出生活中類似存在這種數(shù)量關(guān)系的實例嗎？

生：……

師：這些函數(shù)關(guān)系式的形式有何特征？（小組交流，合作探究。）

學(xué)生甲：因變量y隨著自變量x的增大而減小。

師：你是從兩個變量之間的對應(yīng)變化關(guān)系上分析的，切入點選得很好，但剛才我們所列舉的都是實際問題，使用數(shù)據(jù)都是正數(shù)，容易造成錯覺，通過后面知識的學(xué)習(xí)，我們就會知道這兩個變量之間的關(guān)系并不那么“單純”，這為以后學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的性質(zhì)埋下了很好的伏筆。

分析與反思：此處學(xué)生以偏概全地概括出反比例函數(shù)的增減性，由于是實際問題，很容易將自變量的范圍定為正數(shù)。每一個錯誤，都能折射出隱藏的思維問題：有的審題不清，忽略或錯誤理解題意；有的是順著前面的思路，沒有求異思維；有的是概念混淆，理解不深刻。合理利用學(xué)生“自創(chuàng)的錯誤”，以此為突破點，充分挖掘“問題所在”，這也是一種突破教學(xué)重點、難點的好點子。

二、利用錯誤，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識時，腦海里往往已經(jīng)儲存了不少對舊知識錯誤或片面的認識，若對學(xué)生的這些問題置之不理的話，則會影響對新知的認識、理解、應(yīng)用。為解決此類問題，筆者借助以前學(xué)生學(xué)習(xí)同類知識時最容易出現(xiàn)的錯誤，通過“設(shè)疑自探—解疑合探—質(zhì)疑再探”，讓學(xué)生在自我反思中發(fā)現(xiàn)問題，在小組討論中體現(xiàn)自身思維的價值，通過同伴幫助，教師點撥，完善對知識的理解，學(xué)生的質(zhì)疑創(chuàng)造意識逐漸建立起來。

教學(xué)案例二：“勾股定理”教學(xué)片段。

師：請思考Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C分別對應(yīng)邊a，b，c，若a=3，b=4，求c。

生：c=5，勾三股四弦五嘛。

師：反應(yīng)很快，勾股定理是對于直角三角形而言的。c=5就是根據(jù)勾股數(shù)得到的嗎？

生：根據(jù)∠C=90°。

師：很好，抓住了本質(zhì)——直角。

生：但不一定是∠C=90°，題目中沒有說明，無法確定哪個角是直角。

師：不確定怎么辦？

生：分情況討論，若∠C=90°，則c=5; 若∠B=90°，則不可能是直角，因為它所對的邊a不可能是最大邊。

師：這種思想方法還在學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容時用過？

生：等腰三角形的存在性問題，全等三角形的對應(yīng)關(guān)系不確定時……

分析與反思：此處錯誤是學(xué)生思維不嚴密所致，在不明確哪個角是直角的情況下，應(yīng)分情況討論，分類思想是很重要的數(shù)學(xué)思想，讓他們多“掉陷阱”，學(xué)生對此會理解得更深刻。學(xué)生犯錯誤的過程，是教育的最好契機；讓學(xué)生通過糾錯，完善思維方法，提升了自身的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，并讓學(xué)生在糾錯中獲取進一步學(xué)好數(shù)學(xué)的自信，甚至能從中發(fā)現(xiàn)一些有價值的數(shù)學(xué)思想方法。

三、利用錯誤，培養(yǎng)學(xué)生的生成意識。如何突破本節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)難點時，我總是“絞盡腦汁”，當(dāng)然課堂中會出現(xiàn)預(yù)設(shè)的“錯誤”，也會有一些“突發(fā)事件”，若教師采用教學(xué)智慧，合理利用，會達到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

教學(xué)案例三：“軸對稱圖形”教學(xué)片段

師：如下圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠ABC，問CD=BC嗎？請大家思考后再討論。

學(xué)生甲：根據(jù)原圖，沒辦法使用條件直接證明，由軸對稱想到連接AC,可通過證△ADC≌△ABC得到。

師：很好，從圖形的特征想到連接AC，不僅構(gòu)造了兩個三角形且為全等創(chuàng)造了一對等邊，真是“一箭雙雕”。

學(xué)生乙：有問題，“邊邊角”是不能證兩三角形全等的，太想當(dāng)然了。

師：嗯，學(xué)生甲雖然在證全等三角形方法上出了狀況，但你有嘗試改變現(xiàn)狀的勇氣。CD≠BC嗎？怎么回事？題目有問題呀？

學(xué)生丙：題目沒問題，若連接BD,由AB=AD，得∠ADB=∠ABD，又因為∠ADC=∠ABC，得∠CDB=∠CBD,由等角對等邊得CD=CB。

師：剛才該同學(xué)構(gòu)造了等腰三角形解決了問題。有時一種思路行不通，那就得改變策略，當(dāng)然要結(jié)合所學(xué)知識。若連接AC，BD，你還能得出哪些結(jié)論呢？

生：……

分析與反思：學(xué)生甲由對稱很自然地想到連接AC，但不能通過證明三角形全等來解決問題，教師并沒有急于否定，而是肯定了他的嘗試，通過學(xué)生間的互相補充，問題得到圓滿解決，并作了相應(yīng)的拓展。教學(xué)的節(jié)奏應(yīng)“正中”學(xué)生發(fā)展需要的“下懷”，當(dāng)然也要該出手時就出手，不直接給出結(jié)果，多鼓勵學(xué)生思考，爭取有更多的課堂生成。對于那些學(xué)習(xí)暫時落后的學(xué)生，請給他們更多的時間去慢慢思索，慢慢自己調(diào)整問題，讓他們相信自己能學(xué)好數(shù)學(xué)。

四、利用錯誤，提升學(xué)生的反思能力。在布置作業(yè)時，根據(jù)以前學(xué)生作業(yè)或考試中經(jīng)常出現(xiàn)的易錯題，適當(dāng)?shù)卦O(shè)計一些“陷阱”題，進一步促進學(xué)生通過“錯誤”強化對數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)的理解，達到“吃一塹長一智”的目的。

教學(xué)案例四：講評易錯題

關(guān)于x的一元二次方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0，有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2且有x1-x1x2+x2=1-a，求a的值。（給出以下解法，讓學(xué)生辨析，學(xué)生有說對的，有說錯的。）

解得a=1或-1。

這題在筆者所教的班級里，約有65%的同學(xué)是這樣做的，經(jīng)過再次深入地思考后，學(xué)生提出以下想法：

學(xué)生甲：對所得結(jié)果要檢驗，當(dāng)a=1時，原方程根的判別式△=0，此時原方程有兩個相等的實數(shù)根，故不符合題意，應(yīng)舍去。

學(xué)生乙：由題意得，原方程的根的判別式△＞0，先求出△的范圍，就會避免以上錯誤。

師：想想你們出現(xiàn)這類錯誤的原因是什么？

生：沒注意一元二次方程的概念，即a≠0(當(dāng)然本題沒體現(xiàn)出來)，還要準(zhǔn)確理解一元二次方程根的判別式，思維不嚴謹……

分析與反思：此處錯誤是學(xué)生常見的錯誤，一元二次方程有兩根的前提是a≠0且△＞0，多強調(diào)，讓學(xué)生抓住問題的實質(zhì)。教師應(yīng)再認真分析學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因，講清原委，讓學(xué)生再練習(xí)，再思考，再反思，以后遇到類似的問題，養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣，避免掉進“陷阱”，讓學(xué)生的思維更嚴謹，解題習(xí)慣更具科學(xué)性。

實踐表明，讓學(xué)生經(jīng)歷犯錯、找錯、糾錯、感悟提升，這樣的學(xué)習(xí)過程才是完整的。教師有預(yù)設(shè)性地設(shè)置一些障礙，利用學(xué)生本身具有喜歡找錯誤的特點，吸引其眼球，讓其探究、思考，放手讓“小馬”自己摸索過河，自己糾錯之后的快樂才是真快樂！

數(shù)學(xué)錯誤資源的挖掘和利用是一種教學(xué)手段，也是師生在教學(xué)活動中進行交流合作的一座橋梁。用心尋找這些“錯誤”并歸納分類，合理利用這些“錯誤”，能讓教師站在學(xué)生角度思考問題，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，從而拉近了師生距離，使學(xué)生產(chǎn)生更加深刻的認同感。

“錯誤”亦是一種資源，若教師能合理開發(fā)，甚至是創(chuàng)新性地重組、升華，必能達到“別有洞天”的教學(xué)境界。

（作者為江蘇省江陰市英橋國際學(xué)校教師）