高彩云

(山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同037009)

定滑輪兩側繩內張力差及摩擦力分析

高彩云

(山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同037009)

選擇定滑輪和繩組成的質點系為研究對象，根據質點系角動量定理，計算了定滑輪兩側繩所受的張力差，并且分析了僅當定滑輪質量不能忽略時的情況。結果表明，滑輪兩側所受拉力與繩和滑輪的質量、輪的半徑、軸摩擦力矩以及滑輪的角加速度有關，在極限情況下，滑輪兩側繩內張力趨于相等。定滑輪輪緣與繩子之間的靜摩擦在促使滑輪加速轉動。

張力；角動量；摩擦力；力矩；定滑輪

定滑輪實質是個等臂杠桿，根據杠桿平衡條件得出定滑輪可以改變力的方向,但不省力、不省距離的結論[1]，定滑輪兩側繩內的張力是相等的，這是中學物理教材中對于定滑輪的界定。但是這個結論成立條件是滑輪是“理想”的，即滑輪質量、繩的質量軸承摩擦均不計，也就是常見的“輕繩”、“輕滑輪”、“滑輪光滑”等字眼，最典型的例子就是阿特伍德機。[2]事實上，繩的張力并沒有直接作用在滑輪上，當滑輪轉動時，繩的張力是通過轉化為摩擦力矩或支承力矩間接起作用的。[3]并且，在滑輪運動的過程中，繩作用于滑輪的靜摩擦力對滑輪做了功,但繩與滑輪之間的一對靜摩擦力對系統(tǒng)做的總功為零,故系統(tǒng)的機械能守恒。[4]繩對輪緣的摩擦力矩的總和使輪子的角動量變化，而輪緣對繩元的摩擦力則與張力合力的切向分量平衡。[5]已有的文獻側重討論的是滑輪中靜摩擦力的問題，本文將重點分析定滑輪兩側繩內的張力的差與定滑輪的質量、繩的質量以及軸承的摩擦的具體定量關系。

1 質點系的總角動量

定滑輪系統(tǒng)如圖1所示，將定滑輪視作質量為m，半徑為R的均質圓盤，設均質繩的質量為m0，繩總長度為L，滑輪轉動時受軸承摩擦力矩為M。[6]兩側繩端下懸重物，釋放重物后滑輪角加速度為α（逆時針），且設此瞬間滑輪左側繩比右側繩長l。

選擇滑輪和繩組成的質點系作為研究對象，建立直角坐標系Oxyz。整個質點系對z軸的角動量分為滑輪和繩的兩部分，其中，滑輪對z軸的角動量為：

設繩的一質元mi，它對z的角動量為mivR，故繩對z軸的角動量為：

因繩與輪間無相對滑動，故：

質點系總角動量為

圖1 定滑輪結構圖

2 定滑輪兩側繩內張力差

質點系受力分析如圖2，因滑輪兩側繩的對稱部分所受重力對z軸的合力矩為零，故只有左側多余部分繩所受的重力會產生力矩。考慮到α表示角加速度。

圖2 質點系受力圖

根據質點系角動量定理，有：

于是，繩兩端的張力差為：

由(2)式可知，定滑輪兩端存在張力差，與滑輪、繩的質量，以及軸承摩擦力矩都有關系。如果滑輪是“理想”的，繩與滑輪的質量不計，軸承摩擦不計，繩不伸長。即m,m0,M都忽略不計，則滑輪兩側的張力相等。

3 定滑輪轉動時的摩擦力

根據上述計算結果，如果不考慮繩的質量和軸承摩擦力矩，而滑輪的質量不能忽略，那么繩子兩端的張力差為：

圖3 繩子受力圖

隔離分析滑輪的受力情況就會知道，輪緣和繩子之間一定存在靜摩擦力，并且正是這個力在促使滑輪加速轉動。下面我們通過計算進行驗證。

在繩子AB上假想地截取一段小弧，對應于平面角dθ，對其受力分析，T和T′為小弧兩端的拉力，設T′=T+dT，f為靜摩擦力，分別在切向列出動力學方程：

因dθ很 小 ，cos(dθ∕2)≈ 1 ，sin(dθ∕2)≈dθ∕2 ，dT-f=0,積分得，

故，靜摩擦力的對滑輪的力矩為：

4 結論

定滑輪兩側繩內張力差與繩的質量、定滑輪的質量、輪的半徑、軸摩擦力矩以及定滑輪轉動時的角加速度大小都有關系。

根據計算結果可以看到：

(1)繩和滑輪的質量越大，張力差就越大；滑輪軸承的摩擦力越大，張力差越大；只有當繩和滑輪的質量極小，軸摩擦極小，則在這兩個條件同時具備的極限情況下，滑輪兩側繩內張力趨于相等，這種極限情況即常提到的理想滑輪。除此以外，只要其中一個不能忽略不計，滑輪兩側的拉力就不相等。

(2)定滑輪兩側繩內張力差是不斷變化的，即在不同的時刻有不同的取值，具體大小取決于兩側繩子長度的差，長度差越大張力差反而越小。

(3)繩子兩側的張力實際上并沒有直接作用在滑輪上，彼此之間是始終存在著靜摩擦力，恰是這個靜摩擦力既維持繩子相對于滑輪的相對靜止，又在促使滑輪的加速轉動。所以，理想滑輪忽略的是滑輪軸承的摩擦力，對于輪緣和繩子之間的靜摩擦力是必須存在的。在只考慮滑輪重量的情況下，繩子和滑輪輪緣之間的靜摩擦力的大小正好等于繩子兩端的張力差。

[1]課程教材研究所.八年級上冊物理[M].北京：人民教育出版社.2012:84.

[2]陳鋼,晏世雷.質點系中阿特伍德機對有關定理的檢驗意義[J].物理與工程,2013,23(4):14-15.

[3]蔡厚貴.解析滑輪的轉動[J].貴陽學院學報(自然科學版)(季刊),2011,6(3):13-17.

[4]楊毅.滑輪轉動中的摩擦力做功問題[J].教育心地,2006(35):67.

[5]冀敏,蔣平.定滑輪中的力學原理[J].物理與工程,2016,26(3):9-11.

[6]漆安慎,杜嬋英.力學[M].2版.北京:高等教育出版社,2005.

〔責任編輯 高彩云〕

Analysis of the Tension Difference between the Ropes on Both Sides of the Fixed Pulley and the Friction Force

GAO Cai-yun
（School of Physics and Electronic Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

The particle system composed of fixed pulley and rope is chosen as the object of study.According to the angular mo?mentum theorem of the particle system,the tension difference between the ropes on both sides of the fixed pulley is calculated,and the condition that the quality of the fixed pulley can not be neglected is analyzed.The results show that the tension between the two sides of the pulley is related to the quality of the rope and pulley,the radius of the wheel,the friction moment of the shaft,and the angular accel?eration of the pulley.In the extreme case,the tension between the two sides of the pulley tends to be equal.The static friction between the flange of the fixed pulley and the rope causes the pulley to rotate rapidly.

tension;angular momentum;friction;torque;fixed pulley

O313.3

A

1674-0874(2017)05-0022-03

2016-11-15

高彩云(1980-)，女，山西五臺人，碩士，講師，研究方向：物理教育。